河南省許昌市長葛第一高級中學2021-2022學年高二數(shù)學理測試題含解析

河南省許昌市長葛第一高級中學2021-2022學年高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為(

)A. B.

C. D.參考答案：C2.給出函數(shù)的一條性質(zhì)：“存在常數(shù)，使得對于定義域中的一切實數(shù)均成立”，則下列函數(shù)中具有這條性質(zhì)的函數(shù)是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D略3.函數(shù)（），對任意有，且，那么等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.設拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于不同的兩點，，與拋物線的準線相交于點，且，記與的面積分別為，，則(

)A. B. C. D.參考答案：A5.設，若函數(shù)有大于零的極值點，則（

）

參考答案：B略6.下列命題：①，；②，；③；④“”的充要條件是“且”中，其中正確命題的個數(shù)是（

）．A． B． C． D．參考答案：D或，所以①錯誤，②正確；或，所以③正確；且，所以④正確；綜上，正確命題的個數(shù)是．故選．7.命題“，”的否定是(

) A．,≤0 B．,≤0 C．,>0 D．,<0參考答案：A8.已知為拋物線上一個動點，為圓上一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線的準線距離之和的最小值是()A．5

B．8

C.

D.參考答案：C略9.函數(shù)在的零點個數(shù)為（

）A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：B【分析】令，得或，再根據(jù)x的取值范圍可求得零點.【詳解】由，得或，，．在的零點個數(shù)是3，故選B．【點睛】本題考查在一定范圍內(nèi)的函數(shù)的零點個數(shù)，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取特殊值法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題．10.拋物線的準線方程為參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線與函數(shù)圖象的切線垂直且過切點，則實數(shù)

▲

．參考答案：略12.已知函數(shù)（1）當時，求的最大值；（2）時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，證明對任意，均有.參考答案：解：（1）∴當變化時，變化情況如下表：1＋0－單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴當=1時，取得極大值，也是最大值即…………………3分（2）∵，,∴恒成立在是減函數(shù)…………6分（3）∵在單調(diào)減，∴不妨設則即∴在單調(diào)減設=

…………………8分∵∴△=16－4×2×=－8=－8≤0∴≤0恒成立∴為減函數(shù)∴對均成立………10分

略13.已知在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，如圖，動點P是在以O點為圓心，OB為半徑的扇形內(nèi)運動（含邊界）且∠BOC=90°；設，則x+y的取值范圍．參考答案：[﹣2，1]【考點】9F：向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義．【分析】以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，表示出點A、B的坐標，得出的坐標表示，從而求出x，y滿足的約束條件，再利用線性規(guī)劃的方法求出目標函數(shù)z=x+y的最值即可得出結(jié)果．【解答】解：以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示；則A（1，0），B（0，2），∴=x+y=（x，0）+（0，2y）=（x，2y），則x，y滿足條件，作出可行域如圖所示，令z=x+y，化目標函數(shù)為y=﹣x+z，由圖可知，當直線y=﹣x+z過點（0，1）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值1；當直線y=﹣x+z過點（﹣2，0）時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值﹣2；則x+y的取值范圍是[﹣2，1]．故答案為：[﹣2，1]．14.（3x+sinx）dx=．參考答案：π2+1【考點】定積分的簡單應用．【分析】運用微積分基本定理和定積分的運算律計算即可．【解答】解：（3x+sinx）dx=3xdx+sinxdx=﹣cosx=π2﹣（﹣1）=π2+1故答案為：π2+115.，，，，…以此類推，第個等式為

.參考答案：略16.已知直線與函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象相切，則實數(shù)的值為

▲

；切點坐標為

▲

.參考答案：

試題分析：設切點坐標為，那需滿足，所以解得：,所以，切點坐標為.考點：導數(shù)的幾何意義17.已知an=，n∈N*，則an=

．參考答案：1【考點】數(shù)列的極限．【分析】利用數(shù)列的極限求解即可．【解答】解：an=，n∈N*，則an===1．故答案為：1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓C：，左、右兩個焦點分別為、,上頂點，為正三角形且周長為6，直線與橢圓C相交于A、B兩點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求的取值范圍；參考答案：(1)依題意得因為為正三角形且周長為6由圖形可得.…………2故橢圓的方程為

……………4(2)由得……6由可得設則……………………8…………10因為,所以的取值范圍是…………………1219.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設是首項為1公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列前項和.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅰ）依題得………………2分解得………………4分，即……………6分（Ⅱ）………………7分

①

②…………9分兩式相減得：

………………13分20.某小型機械廠有工人共100名，工人年薪4萬元/人，據(jù)悉該廠每年生產(chǎn)x臺機器，除工人工資外，還需投入成本為(萬元)，且每臺機器售價為50萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的機器能全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式；（2）問：年產(chǎn)量為多少臺時，該廠所獲利潤最大？參考答案：（1）；（2）100臺時，850萬元【分析】（1）利用利潤等于銷售額減去成本可得利潤函數(shù).（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式可求利潤的最大值.【詳解】（1）依題意有.（2）當時，此時時，取得最大值萬元；

當時，

當且僅當時，即時，取得最大值萬元．

綜上可知當年產(chǎn)量為100臺時，該廠在生產(chǎn)中獲利最大，最大利潤為850萬元．【點睛】本題考查函數(shù)的應用，一般地，函數(shù)應用題應根據(jù)題設條件合理構(gòu)建數(shù)學模型，并利用常見函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)或基本不等式去求數(shù)學模型的最值.21.黃岡中學學生籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓練，都從中任意取出2個球，用完后放回．（1）設第一次訓練時取到的新球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）在第一次訓練時至少取到一個新球的條件下，求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率．

參考答案：解：（1）的所有可能取值為0，1，2．

．．．．．．．

1分設“第一次訓練時取到個新球（即）”為事件（0，1，2）．因為集訓前共有6個籃球，其中3個是新球，3個是舊球，所以，

．．．．．．．3分，

．．．．．．．4分．

．．．．．．．5分所以的分布列為（注：不列表，不扣分）012的數(shù)學期望為．

．．．．．．．6分（2）設“從6個球中任意取出2個球，恰好取到一個新球”為事件．則“第二次訓練時恰好取到一個新球”