概率論§23連續(xù)型隨機(jī)變量課件

§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間，對(duì)這種類型的隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣，以指定它取每個(gè)值的概率的方式去給出其概率分布，而是需要通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式來(lái)描述。

下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法。1§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量X定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,

有

連續(xù)型隨機(jī)變量則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X

的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。

可知,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是整個(gè)實(shí)軸上的連續(xù)函數(shù).若概率密度f(wàn)(x)在點(diǎn)x連續(xù),則

F(x)=f(x)2定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果存在非負(fù)函數(shù)f分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的幾何意義xyF(x)x3分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的幾何意義x概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(3)常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。(1)(2)P(x1<X≤x2)=F(x2)F(x1)

xof(x)P(x1<X≤x2)x2x1這條性質(zhì)是密度函數(shù)的幾何意義4概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(3)常利用這兩個(gè)(1)(2)P(注:對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X和任意實(shí)數(shù)a,總有P(X=a)=0,

即,取單點(diǎn)值的概率為0

∵a及>0,有得

P(X=a)=0

{X=a}{a

<X≤a}

0≤P(X=a)≤P(a<X≤a)=F(a)F(a)5注:對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X和任意實(shí)數(shù)a,總有P(X=a)=0故:(1)P(A)=0

A是不可能事件

(2)連續(xù)型隨機(jī)變量X落在區(qū)間的概率與區(qū)間是否包含端點(diǎn)無(wú)關(guān)

即:

P(a<X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X<b)=P(a≤X≤b)

6故:(1)P(A)=0A是不可能事件(2)連續(xù)型隨機(jī)例1

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

f(x)=Ae－|x|,<x<+試求:(1)常數(shù)A

(2)P(0<X<1)

(3)X的分布函數(shù)

解:(1)=2A=17例1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為試求:(1)常數(shù)A(3)

x>0x≤0(2)P(0<X<1)

8(3)x>0x≤0(2)P(0<X<1)8

X的分布函數(shù)為:綜合得:9X的分布函數(shù)為:綜合得:9例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

試求X的分布函數(shù)

解:當(dāng)x≤0時(shí),當(dāng)0<x≤1時(shí),=010例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求X的分布函數(shù)解:當(dāng)x當(dāng)1<x<2時(shí),當(dāng)x≥2時(shí),=111當(dāng)1<x<2時(shí),當(dāng)x≥2時(shí),=111綜上所述,可得隨機(jī)變量X的分布函數(shù):12綜上所述,可得隨機(jī)變量X的分布函數(shù):12試求:(1)系數(shù)A和系數(shù)B(2)X的概率密度(3)例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

解:(1)F(+)=1=A=1右連續(xù):得:

A=1,B=1=A+B=013試求:(1)系數(shù)A和系數(shù)B例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布(2)

f(x)=F(x)(3)

14(2)f(x)=F(x)(3)14試求X的概率密度.例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

解:令則f(x)為非負(fù)函數(shù)15試求X的概率密度.例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解:令且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x

有

故X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)。注：當(dāng)某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)連續(xù)，除有限個(gè)點(diǎn)外，導(dǎo)數(shù)F’(x)存在且連續(xù)時(shí)，則X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度可以按照下面的步驟來(lái)求。(1)在F’(x)

存在的點(diǎn)x處，令f(x)=F’(x)

;(2)在F’(x)

不存在的點(diǎn)x處，令f(x)為任意非負(fù)數(shù)16且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有故X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布。

記為

X～U[a,b]

1.均勻分布

17常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱由上式求得X的分布函數(shù):若X～U[a,b],

[c,d][a,b],有:P(c≤X≤d)即隨機(jī)變量X

落在(a,b)內(nèi)任何長(zhǎng)為d–c

的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān),只與其長(zhǎng)度成正比?？梢?jiàn)，X落在長(zhǎng)度相等的各個(gè)子區(qū)間的可能性相等。這正是幾何概型的情形。18由上式求得X的分布函數(shù):若X～U[a,b],[c,dxf(x)abxF(x)ba概率密度函數(shù)的圖像為分布函數(shù)的圖像為19xf(x)abxF(x)ba概率密度函數(shù)的圖像為分布函例4設(shè)隨機(jī)變量X在(2,8)上服從均勻分布,求二次方程y2+2Xy+9=0有實(shí)根的概率.解:方程有實(shí)根=4X236≥0

X≥3或X≤3

由已知

P{有實(shí)根}=P{X≥3}+P{X≤3}

20例4設(shè)隨機(jī)變量X在(2,8)上服從均勻分布,求二次2.指數(shù)分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。由上式可得X的分布函數(shù)為記作212.指數(shù)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從xF(x)0xf(x)0概率密度函數(shù)的圖像為分布函數(shù)的圖像為22xF(x)0xf(x)0概率密度函數(shù)的圖像為分布函數(shù)的用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：(1)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間(2)電話問(wèn)題中的通話時(shí)間(3)電子元件的壽命(4)動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似23用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：(1)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間(2)例5某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件,其壽命(單位:小時(shí))都服從同一指數(shù)分布,概率密度為試求:在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi),至少有一只電子元件損壞的概率解:以Xi(i=1,2,3)表示第i只元件的壽命,則Xi的概率密度為

24例5某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件,其壽命(單位:

以Ai(i=1,2,3)表示事件“在最初200小時(shí)內(nèi),第i只元件損壞”,則A1,A2,A3相互獨(dú)立,

且

P(Ai)=P(0≤Xi≤200)(i=1,2,3)

故所求概為:P(A1∪A2∪A3)

=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)]=1e125以Ai(i=1,2,3)表示事件“在最初23.正態(tài)分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為,的正態(tài)分布。記為

X～N(,

2)

其中,(

>0)為常數(shù)。

263.正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從棣莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。在十九世紀(jì)前葉高斯(Gauss)又將正態(tài)分布加以推廣，所以正態(tài)分布也通常稱為高斯分布。由密度函數(shù)可求得X的分布函數(shù)為

正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。27棣莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”28正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的密度曲線是一條正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度。—位置參數(shù)—形狀參數(shù)29正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)決定了圖形的中心正態(tài)分布下概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(1)圖形關(guān)于直線x=對(duì)稱：f(+x)=f(-x)(2)在x=時(shí),

f(x)取得最大值:(3)在x=±時(shí),曲線y=f(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn)(4)曲線y=f(x)以x軸為漸近線(5)曲線y=f(x)的圖形呈單峰狀30正態(tài)分布下概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(1)圖形關(guān)于直線應(yīng)用場(chǎng)合

若隨機(jī)變量X受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個(gè)別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布。可用正態(tài)變量描述的實(shí)例：各種測(cè)量的誤差；工廠產(chǎn)品的尺寸；海洋波浪的高度；熱噪聲電流強(qiáng)度等

人的生理特征；農(nóng)作物的收獲量；

學(xué)生們的考試成績(jī)；

31應(yīng)用場(chǎng)合若隨機(jī)變量X受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影一種重要的正態(tài)分布

N(0,1)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布其分布函數(shù)為如果隨機(jī)變量X～N(0,1),則其密度函數(shù)為課本附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表P351，可查表求得F(x)32一種重要的正態(tài)分布其分布函數(shù)為如果隨機(jī)變量X～N(0,1),(2)N(

,

2)的分布函數(shù)F(x)與N(0,1)的分布函數(shù)(x)的關(guān)系:N(0,1)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性:

(x)=(x)(x)=1(x)xo-x(x)33(2)N(,2)的分布函數(shù)F(x)與N(0,1)的(3)(4)

a<b,X～N(,

2),有:34(3)(4)a<b,X～N(,2),有:例2已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0)。解I:例1課本P6935例2已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0解II:圖解法由正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)可知0.20.336解II:圖解法由正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)可知0.20.336例3設(shè)X～N(3,4),試求:(1)P(2<X≤5)(2)P(2<X<7)

(3)若P(X>c)=P(X≤c),求c的值

解:又

=3,

=2(1)P(2<X≤5)=0.5328=F(5)F(2)=(1)(0.5)=(1)[1(0.5)]37例3設(shè)X～N(3,4),試求:(1)P(2<X≤5)(2)P(2<X<7)

=F(7)F(2)=(2)(2.5)=0.9710=(2)[1(2.5)](3)P(X>c)=1P(X≤c)=P(X≤