江西省南昌市第十五中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某班數(shù)學(xué)課代表給全班同學(xué)出了一道證明題.甲說：“丙會證明.”乙說：“我不會證明.”丙說：“丁會證明.”丁說：“我不會證明.”以上四人中只有一人說了真話，只有一人會證明此題.根據(jù)以上條件，可以判定會證明此題的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．已知集合，，，則（）A． B． C． D．3．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小4．中，，是的中點(diǎn)，若，則（）.A． B． C． D．5．已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若四邊形為矩形，記直線的斜率為，則的最小值為（）．A．4 B． C．2 D．6．長方體中，，，則直線與平面ABCD所成角的大?。ǎ〢． B． C． D．7．甲、乙兩名游客來龍巖旅游，計劃分別從“古田會址”、“冠豸山”、“龍崆洞”、“永福櫻花園”四個旅游景點(diǎn)中任意選取3個景點(diǎn)參觀游覽，則兩人選取的景點(diǎn)中有且僅有兩個景點(diǎn)相同的概率為（）A． B． C． D．8．方程至少有一個負(fù)根的充要條件是A． B． C． D．或9．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時的過程中，由到時，不等式的左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)C．增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)10．某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A．0 B．-1 C．-2 D．-811．已知函數(shù)，若，且對任意的恒成立，則的最大值為A．3 B．4 C．5 D．612．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量，則，.已知隨機(jī)變量，則__________．14．一個高為的正三棱錐的底面正三角形的邊長為3，則此正三棱錐的表面積為_______.15．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件.再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.給出下列結(jié)論：①P（B）25；②P（B|A1）511；③事件B與事件A1相互獨(dú)立；④A1,A2,A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因?yàn)樗cA1,A2,A3中究竟哪一個發(fā)生有關(guān)；其中正確的有（）②④①③②④⑤②③④⑤16．已知是與的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(為常數(shù))在處取得極值.(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值；(Ⅱ)求當(dāng)時，函數(shù)的最大值.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，底面點(diǎn)是的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若且與平面所成角的大小為，求二面角的正弦值．19．（12分）互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費(fèi)中手機(jī)支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式.某學(xué)生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進(jìn)行了調(diào)查研究.采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機(jī)支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機(jī)支付，做出以下促銷活動：凡是用手機(jī)支付的消費(fèi)者，商品一律打八折.已知某商品原價50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費(fèi)者購買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費(fèi)者的支付方式都是相互獨(dú)立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知集合，．(Ⅰ)當(dāng)時，求A∩(?RB)；(Ⅱ)當(dāng)時，求實(shí)數(shù)m的值．21．（12分）甲、乙兩種不同規(guī)格的產(chǎn)品，其質(zhì)量按測試指標(biāo)分?jǐn)?shù)進(jìn)行劃分，其中分?jǐn)?shù)不小于82分的為合格品，否則為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取兩種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測，其結(jié)果如下：測試指標(biāo)分?jǐn)?shù)甲產(chǎn)品81240328乙產(chǎn)品71840296(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的有把握認(rèn)為兩種產(chǎn)品的質(zhì)量有明顯差異？甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品合計合格品次品合計(2)已知生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若為合格品，則可盈利40元，若為次品，則虧損5元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若為合格品，則可盈利50元，若為次品，則虧損10元.記為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品所得的總利潤，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（將產(chǎn)品的合格率作為抽檢一件這種產(chǎn)品為合格品的概率）.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.7022.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】如果甲會證明，乙與丁都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意；排除選項(xiàng)；如果丙會證明，甲乙丁都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意，排除選項(xiàng)；如果丁會證明，丙乙都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意，排除選項(xiàng)，故選B.2、D【解析】

按照補(bǔ)集、交集的定義，即可求解.【詳解】，，.

故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合計算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.【詳解】，，，∴先增后減，因此選D.【點(diǎn)睛】4、D【解析】

作出圖象，設(shè)出未知量，在中，由正弦定理可得，進(jìn)而可得，在中，還可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)，，，，在中，由正弦定理可得，代入數(shù)據(jù)解得，故，而在中，，故可得，化簡可得，解之可得，再由勾股定理可得，聯(lián)立可得，故在中，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及勾股定理的應(yīng)用，屬于中檔題．5、B【解析】

設(shè)直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù),借助韋達(dá)定理化簡得.根據(jù),相互平分,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,即可求得,根據(jù)基本不等式即可求得最小值.【詳解】設(shè),,設(shè)直線:將直線與聯(lián)立方程組,消掉:得:由韋達(dá)定理可得:┄①,┄②，故,可得:┄③，，是上的點(diǎn),,可得:┄④由③④可得:,結(jié)合②可得:和相互平分,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，結(jié)合①②可得:,，故，根據(jù)對勾函數(shù)(對號函數(shù))可知時,.(當(dāng)且僅當(dāng))時,.(當(dāng)且僅當(dāng))所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,通過聯(lián)立直線方程與拋物線方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式,確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.6、B【解析】

連接，根據(jù)長方體的性質(zhì)和線面角的定義可知：是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用銳角三角函數(shù)知識可以求出的大小.【詳解】連接，在長方體中，顯然有平面ABCD，所以是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的求法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、A【解析】

先求出兩人從四個旅游景點(diǎn)中任意選取3個景點(diǎn)的所有選法，再求出兩人選取的景點(diǎn)中有且僅有兩個景點(diǎn)相同的選法，然后可求出對應(yīng)概率.【詳解】甲、乙兩人從四個旅游景點(diǎn)中任意選取3個景點(diǎn)參觀游覽，總共有種選法，兩人選取的景點(diǎn)中有且僅有兩個景點(diǎn)相同，總共有,則兩人選取的景點(diǎn)中有且僅有兩個景點(diǎn)相同的概率為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的求法，考查了排列組合等知識，考查了計算能力，屬于中檔題.8、C【解析】試題分析：①時，顯然方程沒有等于零的根．若方程有兩異號實(shí)根，則；若方程有兩個負(fù)的實(shí)根，則必有．②若時，可得也適合題意．綜上知，若方程至少有一個負(fù)實(shí)根，則．反之，若，則方程至少有一個負(fù)的實(shí)根，因此，關(guān)于的方程至少有一負(fù)的實(shí)根的充要條件是．故答案為C考點(diǎn)：充要條件，一元二次方程根的分布9、C【解析】解：n=k時，左邊="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k時，左邊="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故選C10、B【解析】根據(jù)流程圖可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第4次循環(huán)：；此時程序跳出循環(huán)，輸出.本題選擇B選項(xiàng).11、B【解析】由,則=可化簡為,構(gòu)造函數(shù),,令,即在單調(diào)遞增,設(shè),因?yàn)?,所以,且,故在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以,又,,即k的最小值為4,故選B.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的恒成立和有解問題,屬于較難題目.首先根據(jù)自變量x的范圍,分離參數(shù)和變量,轉(zhuǎn)化為新函數(shù)g(x)的最值,通過構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性,可知在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以,且,,通過對最小值化簡得出的范圍,進(jìn)而得出k的范圍.12、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出和的值即可得到結(jié)論．【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，，，即，則，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的計算，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.8185【解析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性和特殊區(qū)間上的概率可求出和，然后求出這兩個概率的和即可．詳解：由題意得，∴，，∴．點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)分布，考查正態(tài)曲線的對稱性和三個特殊區(qū)間上的概率，解題的關(guān)鍵是將所求概率合理地轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間上的概率求解．14、【解析】

取中點(diǎn)，連結(jié)，，過作平面，交于，則，，，，此正三棱錐的表面積：，由此能求出結(jié)果．【詳解】一個高為的正三棱錐中，，取中點(diǎn)，連結(jié)，，過作平面，交于，則，，，，此正三棱錐的表面積：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正三棱錐的表面積的求法，考查正三棱錐的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和空間想象能力．15、②④【解析】試題解析：：由題意可知A1,A2,AP(B|A3=P(A1)P(B|A1考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件，條件概率．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了相互獨(dú)立事件，條件概率的求法等，解題的關(guān)鍵是理解題設(shè)中的各個事件，且熟練掌握相互獨(dú)立事件的概率公式，本題較為復(fù)雜，正確理解事件的內(nèi)涵是解題的突破點(diǎn)．解答本題的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上判斷出A1,A2,A3是兩兩互斥的事件，根據(jù)條件概率公式得到P(B|A116、或【解析】分析：根據(jù)等比中項(xiàng)，可求出m的值為；分類討論m的不同取值時圓錐曲線的不同，求得相應(yīng)的離心率。詳解：由等比中項(xiàng)定義可知所以當(dāng)時，圓錐曲線為橢圓，離心率當(dāng)時，圓錐曲線為雙曲線，離心率所以離心率為或2點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，基本概念和簡單的分類討論，屬于簡單題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)是函數(shù)的最大值,即.【解析】分析：（1）先求一階導(dǎo)函數(shù)的根，求解或的解集，寫出單調(diào)區(qū)間，再判斷極值的情況。（2）先求在的極值，再判斷最值。詳解：(1),由題意知，.解得,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.(Ⅱ)證明:由(1)得.則，所以.當(dāng)時,,單調(diào)遞增；當(dāng)時,,單調(diào)遞減.所以是函數(shù)的最大值,即.點(diǎn)睛：極值轉(zhuǎn)化為最值的性質(zhì)：1、若上有唯一的極小值，且無極大值，那么極小值為的最小值；2、若上有唯一的極大值，且無極小值，那么極大值為的最大值；18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（I）根據(jù)已知條件得到，，由此證得平面.從而證得,結(jié)合，證得平面，進(jìn)而證得.（II）作出與平面所成的角，通過線面角的大小計算出有關(guān)的邊長，作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以．又由是梯形，，，知，而，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椋矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．（Ⅱ）解：如圖所示，過作于，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則平面，于是平面平面，它們的交線是．過作于，則平面，即在平面上的射影是，所以與平面所成的角是．由題意，．在直角三角形中，，于是．在直角三角形中，，所以．過作于，連接，由三垂線定理，得，所以為二面角的平面角，在直角三角形中，，．在直角三角形中，，所以二面角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查線面角的應(yīng)用，考查面面角的求法，屬于中檔題.19、（1）；（2）440【解析】

（1）先計算出選取的人中，全都是高于歲的概率，然后用減去這個概率，求得至少有人的年齡低于歲的概率.（2）首先確定“銷售的10件商品中以手機(jī)支付為首選支付的商品件數(shù)”滿足二項(xiàng)分布，求得銷售額的表達(dá)式，然后利用期望計算公式，計算出銷售額的期望.【詳解】（1）設(shè)事件表示至少有1人的年齡低于45歲，則.（2）由題意知，以手機(jī)支付作為首選支付方式的概率為.設(shè)表示銷售的10件商品中以手機(jī)支付為首選支付的商品件數(shù)，則，設(shè)表示銷售額，則，所以銷售額的數(shù)學(xué)期望（元）.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用對立事件來計算古典概型概率問題，考查二項(xiàng)分布的識別和期望的計算，考查隨機(jī)變量線性運(yùn)算后的數(shù)學(xué)期望的計算.20、（Ⅰ）{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}（Ⅱ）m＝1【解析】

（Ⅰ）求出A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3時，求出B＝{x|﹣1＜x＜3}，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可；（Ⅱ）根據(jù)A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}即可得出，x＝﹣2是方程x2﹣2x﹣m＝0的實(shí)數(shù)根，帶入方程即可求出m．【詳解】（Ⅰ）A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3時，B＝{x|﹣1＜x＜3}；∴?RB＝{x|x≤﹣1，或x≥3}；∴A∩（?RB）＝{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}；（Ⅱ）∵A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}；∴