【數(shù)學(xué)】31-回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用-課件

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1比《數(shù)學(xué)3》中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計(jì)畫散點(diǎn)圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應(yīng)用問題選修2-3——統(tǒng)計(jì)案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因了解殘差圖的作用了解相關(guān)指數(shù)R2和模型擬合的效果之間的關(guān)系利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結(jié)果比《數(shù)學(xué)3》中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計(jì)選修2-3—2最小二乘法：稱為樣本點(diǎn)的中心。回歸直線過樣本點(diǎn)中心最小二乘法：稱為樣本點(diǎn)的中心?；貧w直線過樣本點(diǎn)中心3例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表142.回歸方程：1.散點(diǎn)圖；2.回歸方程：1.散點(diǎn)圖；5探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg。即，用這個(gè)回歸方程不能給出每個(gè)身高為172cm的女大學(xué)生的體重的預(yù)測(cè)值，只能給出她們平均體重的值。探究：答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，(3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=

(4)

在線性回歸模型(4)中，隨機(jī)誤差e的方差越小，通過回歸直線(5)預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高。隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間的誤差的原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差。另一方面，由于公式(1)和(2)中和為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因。我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，E(e7思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；2、忽略了其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素；3、身高y的觀測(cè)誤差。

以上三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。思考:隨機(jī)誤差e的來源(可以推廣到一般）：8探究:e是

用預(yù)報(bào)真實(shí)值Y的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么怎樣研究隨機(jī)誤差呢？回歸模型：其估計(jì)值為而言，它們的隨機(jī)誤差對(duì)于樣本點(diǎn)探究:回歸模型：其估計(jì)值為而言，它們的隨機(jī)誤差對(duì)于樣本點(diǎn)9顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。

R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型?？偟膩碚f：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果101354總計(jì)0.36128.361殘差變量0.64225.639隨機(jī)誤差比例平方和來源表1-3從表3-1中可以看出，解析變量對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是1354總計(jì)0.36128.361殘差變量0.64225.611一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對(duì)象，明確哪12相關(guān)系數(shù)1.計(jì)算公式2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小．問題：達(dá)到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？相關(guān)系數(shù)1.計(jì)算公式13相關(guān)系數(shù)ｒ＞０正相關(guān)；ｒ＜０負(fù)相關(guān)．通常，r∈[-1,-0.75]--負(fù)相關(guān)很強(qiáng);

r∈[0.75,1]—正相關(guān)很強(qiáng);

r∈[-0.75,-0.3]--負(fù)相關(guān)一般;r∈[0.3,0.75]—正相關(guān)一般;r∈[-0.25,0.25]--相關(guān)性較弱;相關(guān)系數(shù)ｒ＞０正相關(guān)；ｒ＜０負(fù)相關(guān)．通常，r∈[-1,-014例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù),試建立y與x之間的回歸方程解:1)作散點(diǎn)圖;從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用線性回歸模型來很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)15解:令則z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出x與z的散點(diǎn)圖x和z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來擬合x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.194.7455.784解:令x和z之間的關(guān)系162)用y=c3x2+c4模型,令,則y=c3t+c4,列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出t與y的散點(diǎn)圖散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。t44152962572984110241225y7112124661153252)用y=c3x2+c4模型,令,則y=17殘差表編號(hào)1234567x21232527293235y711212466115325e(1)0.52-0.1671.76-9.1498.889-14.15332.928e(2)47.719.397-5.835-41.003-40.107-58.26877.965非線性回歸方程二次回歸方程殘差公式殘差表編號(hào)1234567x21232527293235y7118在此處可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題需要注意的問題：對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)，有不同的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析，我們要用最有效的方法分