河北省石家莊市寧遠(yuǎn)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

河北省石家莊市寧遠(yuǎn)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.曲線y=lnx﹣2x在點(diǎn)（1，﹣2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是（）A． B． C．1 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把x=1代入求出切線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程并化簡，分別令x=0和y=0求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再代入面積公式求解．【解答】解：由題意得y′=﹣2，則在點(diǎn)M（1，﹣2）處的切線斜率k=﹣1，故切線方程為：y+2=﹣（x﹣1），即y=﹣x﹣1，令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=﹣1，∴切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積S==，故選A．【點(diǎn)評】試題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計(jì)算能力．2.過點(diǎn)（0，1）引x2+y2－4x+3=0的兩條切線，這兩條切線夾角的余弦值為（

）.A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則所有滿足條件的數(shù)列中，的最大值為（

）A．3

B．6

C．9

D．12參考答案：B4.三棱錐中，平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A

【知識點(diǎn)】球的體積和表面積．G8解析：取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中線OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平PSAB內(nèi)的相交直線∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB，因此Rt△BSC中，中線OB=PC，∴O是三棱錐P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半徑R=PC=，∴外接球的表面積S=4πR2=5π故選A．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，證出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中線OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱錐S﹣ABC的外接球心．利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PC=，得外接球半徑R=，從而得到所求外接球的表面積。5.設(shè)集合A={}，則滿足AB={0，1，2}的集合B的個數(shù)是(

)A1

B3

C4

D6參考答案：C6.以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，兩坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線C的離心率為（）A．2或 B．2或 C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】由已知得，由此能求出雙曲線C的離心率．【解答】解：∵以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，兩坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為，∴或，當(dāng)時，b=，c2=a2+3a2=4a2，c=2a，此時e==2，當(dāng)時，b=a，，c=，此時e=．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．7.右圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于(

)

A．

B．C．

D．參考答案：A8.已知全集為R，集合A={}，B={}，=A．[0，2)

B．[0，2]

C．(1，2)

D．(1，2]參考答案：A9..函數(shù)的圖象大致是(

)A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.10.已知命題：函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則下列命題為真命題的是A． B．

C． D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在二項(xiàng)式（ax2+）5的展開式中，若常數(shù)項(xiàng)為﹣10，則a=

．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：二項(xiàng)式（ax2+）5的展開式中，通項(xiàng)公式Tr+1==a5﹣r，令10﹣=0，解得r=4．∴常數(shù)項(xiàng)=a=﹣10，∴a=﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.一只螞蟻在邊長分別為3，4，5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點(diǎn)的距離均超過1的概率是_______。參考答案：13.變量x、y滿足條件的最小值為參考答案：514.已知向量，若，則實(shí)數(shù)______．參考答案：試題分析：因?yàn)橄蛄?，，所以，即，解得；考點(diǎn)：向量垂直的充要條件15.已知圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=1，則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

．參考答案：（﹣1，1），（1，1）【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；分析法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】求出圓的普通方程，直線的普通方程，然后聯(lián)立方程組求解即可．【解答】解：圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），則圓的普通方程為：x2+（y﹣1）2=1，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=1，普通方程為：y=1．則，解得或，∴直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（﹣1，1），（1，1）．故答案為：（﹣1，1），（1，1）．【點(diǎn)評】本題考查圓的參數(shù)方程以及直線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力．16.等比數(shù)列，，前項(xiàng)和為

.參考答案：17.曲線，所圍成的封閉圖形的面積為

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，存在常數(shù)a，b（），使得

恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）對稱，

已知函數(shù)（I）求證：存在定點(diǎn)M，使得函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)M對稱，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（II）定義，求的表達(dá)式，并求除以31的余數(shù)；（III）對于（II）中的求證：對于任意都有

.參考答案：解：（I）設(shè)，則由（常數(shù)）對任意x恒成立，則，解得，所以，存在定點(diǎn)，使得函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱。………………4分（II）由（I）得，…………5分又①得②①+②得

，所以

，…7分∵，∴……從而可知除以31的余數(shù)為1.……9分（III）當(dāng)時，由（II）知：，故要證：對于任意都有則只需證：對于任意都有…………10分構(gòu)造函數(shù),則顯然：在上恒成立，所以在為增函數(shù)，且所以：，即在上恒成立，取，則有：所以原不等式得證?！?4分略19.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的最大值；（2）①是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；②證明：不等式.參考答案：（1）（2）①;②見解析.知識點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．解析：解：（1）由已知得：，且函數(shù)在處有極值∴，即

∴∴,當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；∴函數(shù)的最大值為（2）①由已知得：(i)若，則時，∴在上為減函數(shù)，∴在上恒成立；(ii)若，則時，∴在上為增函數(shù)，∴，不能使在上恒成立；(iii)若，則時，，當(dāng)時，，∴在上為增函數(shù)，此時，∴不能使在上恒成立；綜上所述，的取值范圍是.②由以上得：,取得：令，則，.因此.又，]故.思路點(diǎn)撥：（1）由已知求得f′(x)，且函數(shù)f（x）在x=0處有極值，得，從而求出函數(shù)的表達(dá)式，找出單調(diào)區(qū)間求出最值；

（2）①由已知求得g′(x)再對b分類討論即可得出b的取值范圍；②由前兩問綜合得出．20.在四面體中，，，，且。⑴設(shè)是的中點(diǎn)，在上且，證明：；⑵求二面角的平面角的余弦值。參考答案：⑴證明：過點(diǎn)在平面內(nèi)作，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系。則，，，，，則設(shè)，由則，，即。⑵依題意有：面的法向量為。,設(shè)面的法向量為由即由于二面角的平面角是銳角，所以二面角的平面角的余弦值為。略21.已知函數(shù)f（x）=a﹣﹣lnx．（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若f（x）=0恰有一個解，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）導(dǎo)數(shù)值即為該點(diǎn)處的斜率，點(diǎn)斜式可得切線方程．（2）f（x）max=f（1）=a﹣1，分類討論，即可求得a的值．【解答】解：（1）∵a=2，∴f（1）=1．∵f′（x）=，∴f′（1）=0，∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=1；（2）f′（x）=，∴f′（x）=0，x=1，0＜x＜1，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；x＞1，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；∴f（x）max=f（1）=a﹣1．①f（x）max=0，a=1時，最大值點(diǎn)唯一，符合題意；②f（x）max＜0，即a＜1，f（x）＜0恒成立，符合題意；③f（x）max＞0，即a＞1，ea＞1f（ea）=﹣e﹣a＜0，∵e﹣a＜1，f（e﹣a）=2a﹣ea≤ea﹣ea＜0，則f（x）有兩個零點(diǎn)，不符合題意綜上所述，a=1．22.（本小題滿分13分）某校為了解高三年級不同性別的學(xué)生對體育課改上自習(xí)課的態(tài)度（肯定還是否定），進(jìn)行了如下的調(diào)查研究.全年級共有名學(xué)生，男女生人數(shù)之比為，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取若干名學(xué)生，每人被抽到的概率均為．（1）求抽取的男學(xué)生人數(shù)和女學(xué)生人數(shù)；（2）通過對被抽取的學(xué)生的問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

否定肯定總計(jì)男生

10

女生30

總計(jì)

①完成列聯(lián)表；②能否有的把握認(rèn)為態(tài)度與性別有關(guān)？（3）若一班有名男生被抽到，其中人持否定態(tài)度，人持肯定態(tài)度；二班有名女生被抽到，其中人持否定態(tài)度，人持肯定態(tài)度．現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取一男一女進(jìn)一步詢問所持態(tài)度的原因，求其中恰有一人持肯定態(tài)度一人持否定態(tài)度的概率．解答時可參考下面公式及臨界值表：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879

參考答案：（1）共抽取人，…………1分男生人，

女生人，……………3分（2）①

否定肯定總計(jì)男生451055女生302050總計(jì)7530105

…………4分②

假設(shè):學(xué)生對體育課改上自習(xí)課的態(tài)度與性別無關(guān)

因?yàn)?/p>

,

所以

有的把握認(rèn)為態(tài)度與性別有關(guān).………………8分（3）記一班被抽到的男生為，持否定態(tài)度，持肯定態(tài)度；

二班被抽到的女生為，持否定態(tài)度，持肯定態(tài)度.

則所有抽取可能共有20種：,,，；