多元統(tǒng)計檢驗

多元統(tǒng)計檢驗第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例:表1－112名學(xué)生5門課程的考試成績序號政治(x1）語文(x2)外語(x3)數(shù)學(xué)(x4)物理(x5)12345678910111299991009310090759387957685948898889178738473827275939681887282888360904350100999799969597687662673410097100967897898884397837第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月如果僅用一元統(tǒng)計方法作成績分析，每次分析處理一門課程的成績，由于忽視了課程之間可能存在的相關(guān)性，因此，一般說來，丟失的信息太多，分析的結(jié)果不能全面反映全年級的學(xué)習(xí)情況。需要研究很多問題：用各科成績的總和作為綜合指標，來比較學(xué)生學(xué)習(xí)成績的好壞；根據(jù)各科成績相近程度對學(xué)生進行分類（如成績好的和成績差的，又如文科成績好的與理科成績好的）；研究各科成績之間的相關(guān)關(guān)系（如物理與數(shù)學(xué)成績的關(guān)系，文科成績與理科成績的關(guān)系等）；

——都屬于多元統(tǒng)計分析的研究內(nèi)容。第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月多元分析是以p個變量的n次觀測數(shù)據(jù)所組成的數(shù)據(jù)矩陣為依據(jù)，對p維總體進行統(tǒng)計推斷的。第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月英國著名統(tǒng)計學(xué)家肯德爾（Kendall）在《多元分析》一書中把多元統(tǒng)計分析的研究內(nèi)容和方法概括為以下幾個方面：簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（降維問題）將復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)通過變量代換等方式使相互依賴的變量（較多）變成（較少）互不相關(guān)的；或把高維空間的數(shù)據(jù)投影到低維空間，使問題簡化而損失的信息又不太多。例如，主成分分析、因子分析等一類方法；第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月分類與判別（歸類問題）對所考察的觀測點（變量）按相似程度進行分類（或歸類）。如聚類分析、判別分析等；變量間的相互聯(lián)系相互依賴關(guān)系：分析一個變量或幾個變量的變化是否依賴于另一些變量的變化？如果是，建立變量間的定量關(guān)系式，并用于預(yù)測或控制——回歸分析；變量間的相互關(guān)系：分析兩組變量間的相互關(guān)系——典型相關(guān)關(guān)系。參數(shù)估計與假設(shè)檢驗

檢驗由多元總體參數(shù)表示的某種統(tǒng)計假設(shè)，據(jù)此證實假設(shè)條件的合理性。第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1.2

多元統(tǒng)計分析的應(yīng)用教育學(xué)：體育運動項目的研究（因子分析）；醫(yī)學(xué)：利用多元統(tǒng)計方法可建立診斷的準則（即專家系統(tǒng)）；氣象學(xué)：氣候預(yù)測,氣候信息分析；環(huán)境科學(xué)：大氣污染問題（假設(shè)檢驗、回歸分析）；地質(zhì)學(xué)——地質(zhì)數(shù)學(xué)：礦石歸類（判別分析）;考古學(xué);服裝工藝;經(jīng)濟學(xué)：經(jīng)濟現(xiàn)象分析，預(yù)測，實證研究;工、農(nóng)業(yè)：試驗方案的優(yōu)化;社會科學(xué):根據(jù)研究對象進行某種分類（聚類分析）;文學(xué);其它.第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1.3

樣本與常用統(tǒng)計量多維隨機向量（P381-P389）多元統(tǒng)計分析的基本概念包括分布、數(shù)字特征、正態(tài)隨機向量等，與一元統(tǒng)計分析類似有關(guān)概念如下：統(tǒng)計總體G，用p個數(shù)量指標來刻畫：

視X為一個p維隨機變量。第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月對總體進行n次獨立的觀察（抽樣）得到觀測數(shù)據(jù)稱為樣本，每個稱為樣品，記為矩陣

X稱為原始數(shù)據(jù)矩陣或（多元）樣本數(shù)據(jù)矩陣。第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月總體的均值向量、協(xié)方差矩陣、相關(guān)矩陣分別為其中多元統(tǒng)計分析的任務(wù)：

一是分析各觀測數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；二是推斷總體的某些性質(zhì)。第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月常用統(tǒng)計量樣本均值（向量）、樣本協(xié)方差矩陣、樣本相關(guān)矩陣分別為第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月其中是一元統(tǒng)計中樣本統(tǒng)計量的自然推廣。對于i,j=1,2,…,p,有：第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月講解例7.1(P270)第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月定義7.1:如果樣品的函數(shù),滿足1）2）3）則稱是樣品之間的距離。7.1.4距離

為測度p維空間兩個樣品之間的差異，對樣品進行分類,引入”距離”。數(shù)學(xué)上對距離(如歐氏距離)的三個公理:

非負性、對稱性和三角不等式。第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月常用的距離歐氏距離不足之處:各分量的單位不同時,比較沒有意義。如考察患病指標＝(白血球數(shù)，體溫)，有三個樣品

但從醫(yī)學(xué)常識看，顯然是個謬誤。（“大數(shù)吃小數(shù)”，數(shù)值分析）。因此要考慮各項數(shù)值的加權(quán)問題。第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月馬氏距離定義：

為樣品之間的馬氏距離；為樣品到總體的馬氏距離。其中:μ,V分別是總體G的均值向量和協(xié)方差。離差大的分量在距離中相應(yīng)削弱它的影響程度。不足之處:馬氏距離與測量單位無關(guān),夸大了變化微小的變量的作用。第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月B－模距離對于給定的正定矩陣B,定義為樣品Xi與Xj之間的B－模距離；閔可夫斯基距離

為樣品Xi與Xj之間的閔可夫斯基距離q=2時為歐氏距離,q=1時為絕對距離,q=+∞時為切比雪夫距離。講解例7.2（P274）第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2多元正態(tài)分布的參數(shù)估計與檢驗

7.2.1預(yù)備知識與一元類似，多元正態(tài)分布在多元統(tǒng)計分析中處于中心地位。原因有三：大量實際問題服從正態(tài)分布；由中心極限定理，正態(tài)分布是其它分布的極限分布；理論完善。第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月多元正態(tài)分布的定義：設(shè)其中是相互獨立的標準正態(tài)隨機變量，則稱為p維正態(tài)隨機向量，記為其中是常向量，A是p×n的常數(shù)矩陣。特別第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月基本性質(zhì)設(shè)總體則X的密度函數(shù)為設(shè)

則第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)是總體X的樣本，樣本數(shù)據(jù)矩陣如前。由樣本得到關(guān)于未知參數(shù)的似然函數(shù)為第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月主要結(jié)論

（1）（引理7.1）A與S有關(guān)系式

（2）（引理7.2）證明：（見P276）第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）（引理7.3）設(shè)是總體的樣本，則樣本均值（4）（引理7.4）設(shè)，令則證明：（見P277）第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2.2參數(shù)μ和V的估計

定理7.1設(shè)總體是X的樣本，且n>p，則1）是μ的極大似然估計(引理7.2)；2）若μ已知，則是V的極大似然估計；3）若μ未知，則是V的極大似然估計。第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月定理7.2:設(shè)條件同前，則1）分別是μ和V的無偏估計；2）分別是μ和V的最小方差無偏估計；3）分別是μ和V的相合估計；定理7.3:設(shè)條件同前，則是R的極大似然估計和相合估計。

例7.3(P280)第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2.3參數(shù)μ的檢驗

僅討論均值的檢驗問題（一）單個多元正態(tài)總體的情形其中μ0是已知的p維向量。設(shè)是總體的樣本，分別是樣本均值向量和樣本協(xié)方差矩陣。構(gòu)造假設(shè)的檢驗統(tǒng)計量第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）當V已知時回顧，p=1時當假設(shè)為真時，。為推廣至多元，改寫為第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月類比引入統(tǒng)計量由引理7.4知，當為真時，當為假時，D將會變大。因此，給定顯著性水平α，假設(shè)的拒絕域為第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）當V未知時用S取代V,可以證明，當為真時統(tǒng)計量因此，假設(shè)的拒絕域為第29頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）兩個總體情形設(shè)

是分別取自上述兩個總體的樣本，且相互獨立，V>0