正弦定理第二課時課件蘇教版必修

1．1

正弦定理第二課時課標(biāo)要求：1.掌握正弦定理及其變式的結(jié)構(gòu)特征和功能，明確應(yīng)用正弦定理解斜三角形的可解類型，能熟練地運(yùn)用正弦定理解斜三角形，會用計算器求三角形的近似解．

2．探究三角形面積公式的表現(xiàn)形式，會結(jié)合正弦定理解與面積有關(guān)的斜三角形問題．重點難點：本節(jié)重點：三角形面積公式的理解及應(yīng)用．本節(jié)難點：三角形解的個數(shù)的判定．課標(biāo)定位基礎(chǔ)知識梳理1．三角形面積公式(1)S△＝

.(2)S△＝(其中ha，hb，hc分別表示三邊a，b，c上的高)1＝2absinC

＝1＝

2a·ha12bcsinA12c·hc1＝

2b·hb12acsinB2．已知兩邊a，b和一邊的對角B，求角A時的解的情況已知a、b和B，用正弦定理求A時，由于已知三角形的兩邊和其中一條邊所對的角不能確定惟一的三角形，因此，解答此類題目時常常出現(xiàn)無解、一解、兩解三種情況，具體解的情況如下：(1)當(dāng)角B為銳角時①當(dāng)b＝asinB時，如圖1，以點C為圓心，以b為半徑畫弧，弧與射線BA相切，只有一個交點，此時三角形只有一解；②當(dāng)b＜asinB時，如圖2，以點C為圓心，以b為半徑畫弧，弧與射線BA相離，無交點，此時三角形無解；③當(dāng)asinB＜b＜a時，如圖3，以點C為圓心，以b為半徑畫弧，弧與射線BA有兩個交點，此時三角形有兩解；④當(dāng)b＞a時，如圖4，以點C為圓心，以b為半徑畫弧，弧與射線BA只有一個交點，此時三角形只有一解；⑤當(dāng)b＝a時，顯然只有一解．當(dāng)角B為鈍角時①當(dāng)b＜a時，如圖，以點C為圓心，以b為半徑畫弧，弧與射線BA無交點，此時三角形無解；②當(dāng)b＞a時，如圖，以點C為圓心，以b為半徑畫弧，弧與射線BA只有一個交點，此時三角形只有一解；③當(dāng)b＝a時，無解．當(dāng)角B為直角時①當(dāng)b＞a時，顯然一解；②當(dāng)b＜a時或當(dāng)b＝a時，無解．課堂互動講練題型一三角形解的情況的判定已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而進(jìn)一步求出其它的邊與角．由于三角形的形狀不能惟一確定，因而會出現(xiàn)一解、兩解和無解三種情況．可結(jié)合示意圖進(jìn)行判斷．在△ABC

中，分別根據(jù)所給條件指出解的個數(shù)：(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝60°；a＝a＝3，b＝3，b＝2，B＝120°；6，A＝60°.例1【分析】畫出示意圖，由草圖判定解的個數(shù)．2【解】

(1)∵a<b，bsinA＝5<4＜5，∴有兩解．(2)∵a>b，A<90°，∴B<A＜90°，∴有一解．

(3)∵B>90°，a>b，∴A＞B＞90°，∴無解．(4)∵a<b，bsinA＝6×

3＝32

22，∴a<bsinA<b，∴無解．【點評】

在△ABC

中，已知

a、b

及

A，則a(1)若sinB＝bsinA>1，無解．a(chǎn)(2)若sinB＝bsinA＝1，一解．(3)若sinB＝bsinA<1，a①a>b

時，比較sinB

與sinA

的大小：若sinA>sinB，則A>B，一解．若sinA≤sinB，無解．②a＝b時，一解．③a<b時，比較sinB與sinA的大?。喝魋inA≥sinB，無解．若sinA<sinB，則A<B，兩解．1．在△ABC

中，分別根據(jù)下列條件指出解的個數(shù)．(1)a＝2，b＝3，A＝60°；(2)a＝2

3，b＝2

2，A＝45°.解：(1)∵a<b，bsinA＝3 3，∵a<bsinA<b，∴無解．2(2)∵a>b，A<90°，∴B<A，∴有一解．變式訓(xùn)練在解決與三角形面積有關(guān)的問題時合理地使用公式，尤其是

S

1

1

1＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，會使問題簡化．題型二利用三角形面積公式解決問題(2009

年高考北京卷)在△ABC中，角A、B、C

的對邊分別為a、b、c，Bπ

4＝3，cosA＝5，b＝

3.(1)求sinC

的值；(2)求△ABC

的面積．例2【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，A＋C＝π－B

2π，＝

32π

4即C＝

3

－A，只要再根據(jù)cosA＝5求出sinA

的值，根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出sinC

的值；(2)相當(dāng)于知道了三角形三個內(nèi)角以及一條邊長，只要再求出一條邊長就可以根據(jù)三角形面積公式求出△ABC

的面積．π【解】

(1)因為角

A，B，C

為△ABC

的內(nèi)角，且

B＝3，4cosA＝

5，所以C＝2π－A，sinA＝3.3

53

2

2

10于是

sinC＝sin(2π－A)＝

3cosA＋1sinA＝3＋4

3.(2)由(1)知sinA3103＋4

3＝5，sinC＝

.π又因為B＝3，b＝3，所以在△ABC

中，由正弦定理得a＝bsinA＝6.sinB

51

6于是△

ABC

的面積

S＝1absinC＝

×

×2

2

5103×3＋4

3＝36＋9

3.50【點評】

本題主要考查三角形的邊角關(guān)系和面積計算，靈活運(yùn)用三角變換公式是解決問題的關(guān)鍵．2．在△ABC

中，c＝22，a>b，Cπ＝4，且sinA3

10＝

10，sinB＝2

5，試求a，b

及三角形的面積．5變式訓(xùn)練解：由正弦定理得：csinAa＝

sinC

＝3

102

2·

10

22＝6

105，c·sinBb＝

sinC

＝2

52

2·

5

228

5＝

5

.∴S△ABC5＝1

6 10

8

52·

·

5

·sin4π＝245

.在利用正弦定理解題時要注意定理本身和以下的變式：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，或bsinA＝asinB，csinB＝bsinC

csinA＝asinC；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；S△ABC＝1absinC＝1bcsinA＝1acsinB.另外三角函數(shù)中的一些公式2

2

2也要注意，這些是解決有關(guān)問題的重要手段．題型三正弦定理及其變形的簡單應(yīng)用在△

ABC

中，

若

a

∶

b

∶

c

＝

1

∶

3

∶

5

，

求2sinA－sinB

sinC的值．例3【分析】

由結(jié)構(gòu)a∶b∶c＝1∶3∶5想到正弦定理的變式．【解】

由條件

＝a

sinAc

sinC1

1＝5，∴sinA＝5sinC，5同理可得sinB＝3sinC，sinC2sinA－sinB

5

5

∴

＝2×1sinC－3sinCsinC1＝－5【點評】利用比例性質(zhì)可使問題簡化．規(guī)律方法總結(jié)1．正弦定理表達(dá)了三角形的邊和角的關(guān)系，其作用是解三角形，而且正弦定理有若干變形形式，應(yīng)用正弦定理可以實現(xiàn)三角形中的邊角關(guān)系的互相轉(zhuǎn)換．通過應(yīng)用還應(yīng)發(fā)現(xiàn)它與三角函數(shù)、平面向量知識在解三角形中有密切的聯(lián)系．2．應(yīng)用正弦定理，要明確角化邊或邊化角的方向，正確判斷解的個數(shù)，特別注意對已知