探究正方體的展開(kāi)圖

探究正方體的展開(kāi)圖將一個(gè)正方體的表面沿某些棱剪開(kāi)，展成一個(gè)平面，共有哪些不同的圖形呢？要搞清這個(gè)問(wèn)題，最好是動(dòng)手實(shí)踐，比如找一些正方體紙盒，沿著棱按不同方式將其剪開(kāi)（但不要剪斷，六個(gè)面要通過(guò)邊連在一起），展成平面，再觀察、對(duì)比一下不同形狀的圖形有哪些。如果不容易找到足夠的正方體紙盒，還可以找一些不太厚、易折疊的正方體紙板，利用逆向思維，先猜測(cè)正方體展開(kāi)圖會(huì)有哪些不同形狀，并將它們畫在紙板上，再將周圍多余部分剪去，然后沿所畫直線直行折疊，看看哪些圖形紙板可以折疊成正方體。這種探究方法雖然有點(diǎn)麻煩，但操作簡(jiǎn)便易行，快速有效。事先可多畫一些紙板（六個(gè)正方形邊與邊對(duì)齊，任意連接成不同的平面圖形），經(jīng)過(guò)逐個(gè)驗(yàn)證，記錄下所有可以折疊成正方體的圖形，再將這些圖形分類，總結(jié)并尋找出其中的規(guī)律。那么，沿棱剪開(kāi)展開(kāi)一個(gè)正方體，究竟有哪些不同的形狀呢？如果不考慮由于旋轉(zhuǎn)或翻折等造成相對(duì)位置的不同，只從本質(zhì)上講，有以下三類共11種。一、“141型”（共6種）特點(diǎn)：這類展開(kāi)圖中，最長(zhǎng)的一行（或一列）有4個(gè)正方形（圖1～圖6）。理解：有4個(gè)面直線相連，其余2個(gè)面分別在“直線”兩旁，位置任意。二、“231型”與“33型”（共4種）特點(diǎn)：這類展開(kāi)圖中，最長(zhǎng)的一行（或一列）有3個(gè)正方形（如圖7～圖10）。理解：在“231型”中，“3”所在的行（列）必須在中間，“2”、“1”所在行（列）分屬兩邊（前后不分），且“2”與“3”同向，“1”可以放在“3”的任意一個(gè)正方形格旁邊，這種情況共有3種，而“33型”只有1種。三、“222型”（只有1種）特點(diǎn)：展開(kāi)圖中，最多只有2個(gè)面直線相連（圖11）。評(píng)注：⑴將上面11個(gè)圖中的任意一個(gè)，旋轉(zhuǎn)一定角度或翻過(guò)來(lái)，看上去都與原圖似有不同，但這只是圖形放置的位置或方式不同。實(shí)際上，它與原圖能夠完全重合，不能算作一個(gè)獨(dú)立的新圖，而從上面11個(gè)圖中任取兩個(gè)，不論怎樣操作（旋轉(zhuǎn)、翻折、平移等），它們都不可能完全重合，即彼此是獨(dú)立的、不同的圖形。⑵對(duì)于由大小一樣的六個(gè)正方形通過(guò)邊對(duì)齊相連組成的平面圖，如果圖中含有“一”字型、“7”字型、“田”字型、“凹”字型，就一定不能折成正方體。概括地說(shuō)，只要不符合上述“141”、“231”和“33”、“222”的特點(diǎn)，就不能折成正方體。如圖12，如果將其看作“231”型，那么，無(wú)論怎么看，“2”和“3”都不是同向，故不能折成正方體。其實(shí)，它屬于“123”（或“321”）型。引導(dǎo)學(xué)生感悟：①正方體展開(kāi)圖各小圖形的特點(diǎn)（正方體的六個(gè)面大小都相等）②正方體展開(kāi)圖不唯一的特點(diǎn)（剪開(kāi)的方法不同，得到的展開(kāi)圖形也不相同）③正方體展開(kāi)圖中相對(duì)面的位置特點(diǎn)等（相對(duì)的面隔一個(gè)出現(xiàn)）正方體表面展開(kāi)圖共有11種形式，觀察這11種展開(kāi)圖我們發(fā)現(xiàn)，按最長(zhǎng)的一行（或一列）的不同可把它們分為以下4類:

（1）一四一型(3行4列)（2）二三一（一三二）型（3行4列）

（3）二二二型（3行4列）（4）三三型（2行5列）總結(jié)歸納出判斷圖形是否可以折疊成一個(gè)正方體的方法：=1\*GB3①數(shù)：小正方形的個(gè)數(shù)（6個(gè)）=2\*