行列式的計算方法

PAGEPAGE4行列式的計算方法摘要：線性代數(shù)主要內(nèi)容就是求解多元線性方程組，行列式產(chǎn)生于解線性方程組,行列式的計算是一個重要的問題。本文依據(jù)行列式的繁雜程度，以及行列式中字母和數(shù)字的特征，給出了計算行列式的幾種常用方法：利用行列式的定義直接計算、化為三角形法、降階法、鑲邊法、遞推法，并總結(jié)了幾種較為簡便的特殊方法：矩陣法、分離線性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且對這些方法進行了詳細(xì)的分析，并輔以例題。關(guān)鍵詞：行列式矩陣降階TheMethodsofDeterminantCalculationAbstract：Solvingmultiplelinearequationsisthemaincontentofthelinearalgebra,determinantsproducedinsolvinglinearequations,determinantcalculationisanimportantissue.Thisarticleisbasedonthecomplexitydegreeofthedeterminant,andthecharacteristicsoflettersandnumbersofthedeterminant,andthengivesseveralcommonlyusedmethodstocalculatethedeterminant:directcalculationusingthedefinitionofdeterminant,intothetriangle,reductionmethod,edgingmethod,recursion,andsummarizesseveralrelativelysimpleandspecificmethods:matrix,linearseparationfactormethod,toborrow"thethirdparty"method,usingVandermondedeterminantmethod,usingLaplacetheorem,alsoanalyzethesemethodsindetail,andsupportedbyexamples.Keywords:determinantmatrixreduction.1．引言線性代數(shù)主要內(nèi)容就是求解多元線性方程組，行列式產(chǎn)生于解線性方程組,然而它除了用于研究線性方程組、矩陣、特征多項式等代數(shù)問題外,還在各種工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,是一種不可缺少的運算工具，所以說行列式的計算是一個重要的問題。二階行列式：⑴三階行列式：⑵由此可以看出二階、三階行列式計算結(jié)果的一些規(guī)律：eq\o\ac(○,1)⑵中每項都是三個數(shù)的乘積，并由行標(biāo)與列標(biāo)可以看出，這三個數(shù)分別取自行列式的不同行與不同列；eq\o\ac(○,2)⑵式正好有6項，它恰好是1，2，3全排列的個數(shù)。eq\o\ac(○,3)每項前面的符號為，其中為的逆序數(shù)。這就是比較簡單的采用對角線的方法計算行列式。在行列式的定義中，雖然計算結(jié)果的每一項是個元素的乘積，但是由于這個元素是取自不同的行與列，所以對于某一確定的行中的個元素譬如來說，每一項都含有其中的一個且只含有其中的一個元素，而級行列式一共有項，計算它就需要做個乘法。當(dāng)較大時，是一個相當(dāng)大的數(shù)字，直接從定義采用對角線法計算行列式幾乎是不可能的事，[1]本文依據(jù)行列式元素間的規(guī)律和行列式的性質(zhì)總結(jié)了計算行列式幾種常用和特殊的方法。2.計算行列式的常用方法2.1利用行列式的定義直接計算根據(jù)行列式的定義=，可以利用行列式的定義直接計算低階稀疏行列式。利用行列式的定義計算階行列式(-1)值得注意的是，根據(jù)行列式的性質(zhì)利用降階法時，應(yīng)該將某行（列）元素盡可能多地變成零，之后再按行（列）展開，這樣計算才能體現(xiàn)出降階法計算行列式的簡便性，但是針對一些構(gòu)造特殊的行列式，因為階行列式的第行構(gòu)成的級子式有個，故一般行列式只是能降階而不能減少其計算量，這種方法往往無效。[2]利用降階法可以計算行列式，那是不是也可以通過加邊使其變成一個相等的階行列式呢？2.4鑲邊法一個階行列式，如果或中除了外其余元素全為0，那么該行列式便可利用行列式按行（列）展開定理將其轉(zhuǎn)化為一個計算階行列式。反過來，也可以利用相同的方法把一個階行列式轉(zhuǎn)化為一個與之相等的階行列式，這就是鑲邊法。2.4.1鑲邊法解題步驟eq\o\ac(○,1)通過加邊（列）的方法把一個級行列式轉(zhuǎn)化為一個與之相等的階行列式；eq\o\ac(○,2)根據(jù)行列式的性質(zhì)把添加進去的行（列）的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行（列）使其它行（列）出現(xiàn)更多的0元素后再進行計算。2.4.2鑲邊的一般方式eq\o\ac(○,1)首行首列eq\o\ac(○,2)首行末列eq\o\ac(○,3)末行首列eq\o\ac(○,4)末行末列。[3]當(dāng)然也可以添加在行列式任意某一行與某一列的位置，但是等價變形后，總變成上述四種情況之一。利用鑲邊法計算階行列式解：2.5遞推法遞推法就是利用行列式元素間的規(guī)律，在階與階（或更低階）行列式之間建立遞推關(guān)系，再利用所得的關(guān)系式計算行列式的值。遞推法主要是降階遞推法，常見的有兩種類型：1.型；這時根據(jù)遞推關(guān)系可推出關(guān)系式2.型；這時可設(shè)、是方程的根，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，于是有：-(Ⅰ)(Ⅱ)若，則由（Ⅰ）和（Ⅱ）得注意又由（Ⅰ）和（Ⅱ）遞推可得若，則（Ⅰ）和（Ⅱ）可變成，即，故=====……以此類推，最后可得：例5利用遞推法計算階行列式=解：由于，則不妨設(shè)、是方程的根，則：。于是其中：；所以：即原式上面介紹的幾種計算行列式的方法都是比較常用的，同時通過上面的例題分析和解題過程可以發(fā)現(xiàn)，上述幾種計算方法只是適用一些行列式較為簡單和行列式元素間具有明顯規(guī)律的情況，而對于一些比較特殊或行列式元素間的關(guān)系隱藏較深的行列式，就要通過其它的途徑來解決問題，下面給出幾種計算行列式的特殊方法。3．計算行列式的幾種特殊方法3．1矩陣法如果一個行列式的對應(yīng)矩陣可以轉(zhuǎn)化為兩個矩陣的乘積，而且這兩個矩陣所對應(yīng)的行列式都比較容易計算，即可利用公式=計算出階行列式的值。[4]例6利用矩陣法計算階行列式解：該行列式的第行第列元素可化為所以該行列式可轉(zhuǎn)化為兩個矩陣乘積的行列式，即==3.2分離線性因子法3.2.1分離線性因子法分離線性因子法就是把行列式看成含有一個或一些字母的多項式，將它變換，如果它可被一些因子互素的線性因子所整除，同時它也可被這些因子的積所整除，就可將行列式的某些項與線性因子的項進行比較，繼而找出多相式的所有因子，然后用這些因子的乘積除行列式的商，從而求得行列式的表達(dá)式。3.2.2一般的解題思路eq\o\ac(○,1)如果行列式有些元素是某一變量（參數(shù)）的多項式，不妨設(shè)此變量為，那么可將該行列式看作關(guān)于的多項式，然后找出因子互素的線性因子，即；eq\o\ac(○,2)在和中選出一個特殊項進行比較，如果與的次數(shù)相等，就用待定系數(shù)法，確定出的值；如果的次數(shù)比的次數(shù)小，繼續(xù)找出的線性因子，直至將的所有線性因子全部找出，從而求出行列式的值。例7利用分離線性因子法計算階行列式其中解：將行列式最后一行乘以（-1）后再加到上一行去，并以此類推，直至第2行為止，得顯而易見，是一個關(guān)于的多項式，且=0由行列式的性質(zhì)知……所以的根為0，故進而可得的次項系數(shù)，令其為，即=綜上可得：=3.2.3利用分離線性因子法的注意能夠利用分離線性因子法進行計算的行列式大都是含有字母變量（參數(shù)）的行列式，當(dāng)某個變量（參數(shù)）取某個特定值的時候行列式的值為0，則該行列式必含有某個特定因子。[3]類如：、、等3.3借用“第三者”法借用“第三者”法計算行列式，就是當(dāng)所給的行列式不易計算時，乘以一個適當(dāng)?shù)闹挡粸?的行列式，且,使其轉(zhuǎn)化為求乘積的行列式。使用這種方法有優(yōu)越，但的選取不易，需要有足夠的知識和經(jīng)驗。例8計算階行列式解：取，=上題中不但計算出了行列式的值，而且同時也證明了相似于一個對角矩陣。3.4利用范德蒙德行列式來計算范德蒙德行列式是一類比較特殊的行列式，通過觀察其中的任一列可以發(fā)現(xiàn)，它都是某個數(shù)（字母）的不同方冪，且從上至下其冪次數(shù)由0遞增至，通過證明已經(jīng)得知階范德蒙德行列式的值就等于組成這個行列式的個元素的所有可能差的乘積。利用范德蒙德行列式的時候，應(yīng)先根據(jù)范德蒙德行列式的特點，將所給的行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙德行列式，再利用其結(jié)果計算出所給行列式的值。例9利用范德蒙德行列式計算階行列式解：鑲邊得再將第一列的（-1）倍加到其它各列得：將此行列式拆分為兩項即得-===3.5利用拉普拉斯定理展開計算拉普拉斯定理：設(shè)在行列式中任意取定了個行，由這行元素所組成的一切級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式。在利用拉普拉斯定理計算行列式的時候，應(yīng)先根據(jù)行列式的性質(zhì)對所給行列式進行轉(zhuǎn)換，使其每行（列）的0元素盡可能的多，然后再利用行列式按行（列）展開定理將其中含0元素多的某一行（列）進行展開。實質(zhì)上，拉普拉斯定理是對行列式按行（列）展開定理的推廣。[1]例10利用拉普拉斯定理計算階行列式解：在所給行列式中取定第一、二行，得到六個子式：，，，,它們對應(yīng)的代數(shù)余子式為,,,根據(jù)拉普拉斯定理得例11利用拉普拉斯定理計算階行列式解：如果從第3行開始每一行都減去第2行，再從第3列開始每一列都加到第2列，可使行列式中更多的元素變?yōu)?。==再由拉普拉斯定理得=4.結(jié)束語行列式的計算方法有很多，上面只是列舉出了其中的一部分，并且根據(jù)所給行列式的不同特點給出了適用的方法以及使用時的注意，但這并不是孤立的，有時可以使用不同的方法計算出一個行列式的結(jié)果。行列式是解決線性代數(shù)的工具，它的產(chǎn)生和應(yīng)用都是在解線性方程組中?，F(xiàn)在它的應(yīng)用已拓寬的較為廣泛，它在消元法、矩陣論、坐標(biāo)變換、多重積分中的變量替換、解行星運動的微分方程組、將二次型化簡為標(biāo)準(zhǔn)型等諸多問題中都有著廣泛的應(yīng)用。[5]本文只是總結(jié)了幾種較為常用的一般和特殊的行列式計算方法，隨著行列式應(yīng)用的增多，會出現(xiàn)新類型的行列式，也隨之會出現(xiàn)很多新的計算行列式的方法。這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)中，善于發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系并及時總結(jié)好的方法。參考文獻：[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版，2003.[2]古家虹.關(guān)于行列式的計算方法[J].廣西：廣西大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2005-30（增刊）.[3]楊立英.階行列式的計算方法與技巧[J].廣西：廣西師范大學(xué)報（自然科學(xué)版），2006