經(jīng)典的傅里葉變換(下)-一般人都能看明白課件

傅里葉變換（下）孔孔出品傅里葉變換（下）孔孔出品1上次的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這次的關(guān)鍵詞是：從下面看。在第二課最開始，我想先回答很多人的一個問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個分割線。先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：先在紙上畫一個sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線什么時候上升什么時候下降你都不一定畫的對吧？

上次的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這次的關(guān)鍵詞是：從下面看。2好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。

所以很多在時域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。再說一個更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲3下面我們繼續(xù)說相位譜：通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側(cè)面看的頻譜，但是這個頻譜并沒有包含時域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個對應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位?；A(chǔ)的正弦波A.sin（wt+θ）中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那么這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖。下面我們繼續(xù)說相位譜：4鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個用來標(biāo)記正弦波位置的東西5這里需要糾正一個概念：時間差并不是相位差。如果將全部周期看作2π或者360度的話，相位差則是時間差在一個周期中所占的比例。我們將時間差除周期再乘2π，就得到了相位差。在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜?！弊⒁獾?，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因?yàn)閏os（t+

π

）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對于周期方波的傅里葉級數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2π）=cos（t），所以相位差是周期的，π和3π，5

π，7

π都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)椋?

π

，

π］，所以圖中的相位差均為π

。這里需要糾正一個概念：時間差并不是相位差。如果將全部周期看作6經(jīng)典的傅里葉變換(下)-一般人都能看明白ppt課件7往昔連續(xù)非周期，回憶周期不連續(xù)，任你ZT、DFT，還原不回去。在這個世界上，有的事情一期一會，永不再來，并且時間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續(xù)的標(biāo)記在時間點(diǎn)上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶，在我們大腦里隔一段時間就會周期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因?yàn)?，往昔是一個連續(xù)的非周期信號，而回憶是一個周期離散信號。是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號變換為周期離散信號呢？抱歉，真沒有。比如傅里葉級數(shù)，在時域是一個周期且連續(xù)的函數(shù)，而在頻域是一個非周期離散的函數(shù)。這句話比較繞嘴，實(shí)在看著費(fèi)事可以干脆回憶第一章的圖片。往昔連續(xù)非周期，8而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個時域非周期的連續(xù)信號，轉(zhuǎn)換為一個在頻域非周期的連續(xù)信號。算了，還是上一張圖方便大家理解吧：或者我們也可以換一個角度理解：傅里葉變換實(shí)際上是對一個周期無限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個時域非周期的連續(xù)信9所以說，鋼琴譜其實(shí)并非一個連續(xù)的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了。因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？你見過大海么？為了方便大家對比，我們這次從另一個角度來看頻譜，還是傅里葉級數(shù)中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。所以說，鋼琴譜其實(shí)并非一個連續(xù)的頻譜，而是很多在時間上離散的10以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢？盡情的發(fā)揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續(xù)……直到變得像波濤起伏的大海：以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢？11很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計(jì)算參數(shù)，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來就像屎一樣了。不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計(jì)算上也從求和符號變成了積分符號。不過，這個故事還沒有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這里需要介紹到一個數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)，這個工具就是——宇宙第一帥歐拉公式。很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計(jì)算參12五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式虛數(shù)i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1的平方根，可是它真正的意義是什么呢?五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式13這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當(dāng)它乘以3的時候，它的長度發(fā)生了變化，變成了藍(lán)色的線段，而當(dāng)它乘以-1的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了180度。我們知道乘-1其實(shí)就是乘了兩次i使線段旋轉(zhuǎn)了180度，那么乘一次i呢——答案很簡單——旋轉(zhuǎn)了90度。這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當(dāng)它14同時，我們獲得了一個垂直的虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個復(fù)數(shù)的平面，也稱復(fù)平面。這樣我們就了解到，乘虛數(shù)i的一個功能——旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)在，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——

這個公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于Pi的時候。

同時，我們獲得了一個垂直的虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一15常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底，用這個公式來給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看，這個公式里既有自然底數(shù)e，自然數(shù)1和0，虛數(shù)i還有圓周率pi，它是這么簡潔，這么美麗??！“但是姑娘們心里往往只有一句話：”臭屌絲……“常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底，用這個公式來給16這個公式關(guān)鍵的作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式。我們來看看圖像上的涵義歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動的點(diǎn)，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實(shí)數(shù)部分，也就是螺旋線在左側(cè)的投影，就是一個最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)。而右側(cè)的投影則是一個正弦函數(shù)。關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解，大家可以參考：復(fù)數(shù)的物理意義是什么？：這個公式關(guān)鍵的作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式。我們來17六、指數(shù)形式的傅里葉變換有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個形象的栗子來理解是什么呢？

光波高中時我們就學(xué)過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn)：所以其實(shí)我們在很早就接觸到了光的頻譜，只是并沒有了解頻譜更重要的意義。但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從0到無窮所有頻率的組合。六、指數(shù)形式的傅里葉變換有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦18但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從0到無窮所有頻率的組合。這里，我們可以用兩種方法來理解正弦波：第一種前面已經(jīng)講過了，就是螺旋線在實(shí)軸的投影。另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有19我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線，那么e^(-it)則可以理解為一條順時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。而cos(t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半，因?yàn)檫@兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了！舉個例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消，電場加倍。這里，逆時針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率，而順時針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）。好了，剛才我們已經(jīng)看到了大?！B續(xù)的傅里葉變換頻譜，現(xiàn)在想一想，連續(xù)的螺旋線會是什么樣子：想象一下再往下翻：我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線，20是不是很漂亮？你猜猜，這個圖形在時域是什么樣子？是不是很漂亮？21哈哈，是不是覺得被狠狠扇了一個耳光。數(shù)學(xué)就是這么一個把簡單的問題搞得很復(fù)雜的東西。順便說一句，那個像大海螺一樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負(fù)頻率的部分沒有顯示出來。如果你認(rèn)真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚