導數(shù)問答中虛設零點的三大策略分析

導數(shù)問題中虛設零點的三大策略導數(shù)在高中數(shù)學中可謂“神通廣大”，是解決函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、不等式證明等問題的“利器”.因而近幾年來與導數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題往往成為高考函數(shù)壓軸題.在面對這些壓軸題時，我們經(jīng)常會碰到導函數(shù)具有零點但求解相對比較繁雜甚至無法求解的問題.此時，我們不必正面強求，可以采用將這個零點只設出來而不必求出來，然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡，再結(jié)合其他條件，從而最終獲得問題的解決.我們稱這種解題方法為“虛設零點”法.下面筆者就一些高考題，來說明導數(shù)問題中“虛設零點”法的具體解題方法和策略.策略1整體代換將超越式化簡為普通式如果f′（x）是超越形式（對字母進行了有限次初等超越運算包括無理數(shù)次乘方、指數(shù)、對數(shù)、三角、反三角等運算的解析式，稱為初等超越式，簡稱超越式），并且f′（x）的零點是存在的，但我們無法求出其零點，這時采用虛設零點法，逐步分析出“零點”所在的范圍和滿足的關(guān)系式，然后分析出相應函數(shù)的單調(diào)性，最后通過恰當運用函數(shù)的極值與零點所滿足的“關(guān)系”推演出所要求的結(jié)果.通過這種形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡，從而將超越式化簡為普通式，有效破解求解或推理證明中的難點.謝謝閱讀1（2015年全國高考新課標Ⅰ卷文21）設函數(shù)f（x）=e2x-alnx.精品文檔放心下載（1）討論f（x）的導函數(shù)f′（x）的零點的個數(shù)；謝謝閱讀（2）證明：當a>0時，f（x）≥2a+aln2a.精品文檔放心下載解（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=2e2x-ax（x>0）.由f′（x）=0，得2xe2x=a.令g（x）=2xe2x，g′（x）=（4x+2）e2x>0（x>0），從而g（x）在（0，謝謝閱讀+∞）單調(diào)遞增，所以g（x）>g（0）=0.當a>0根，即f（′x）

時，方程g（x）=a有一個存在唯一零點；當a≤0即f′（x）沒

時，方程g（x）=a沒有根，有零點.（2）由+∞）的唯一時，f′（x）

（1），可設f′（x）在（0，零點為x0，當x∈（0，x0）<0；當x∈（x0，+∞）時，f′（x）>0.故f（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（x0）.感謝閱讀由于2e2x0-ax0=0，得e2x0=a2x0，由x0=a2e2x0，得lnx0=lna2e2x0=lna2-2x0，感謝閱讀所以f（x0）=e2x0-alnx0=a2x0-a（lna2-2x0）=a2x0+2ax0+aln2a≥2a2x0×感謝閱讀2ax0+aln2a=2a+aln2a.故當a>0時，f（x）≥2a+aln2a.評析本題第（2）問要證明f（x）≥2a+aln2a，只需要f（x）min≥2a+aln2a，f（x）min在f′（x）的零點取到.但f′（x）=0是超越方程，無法求出其解，我們沒有直接求解x0，而是在形式上虛設.這樣處理的好處在于，通過對x0滿足的等式e2x0=a2x0，lnx0=lna2-2x0的合理代換使用，快速將超越式e2x0-alnx0化簡為普通的代數(shù)式a2x0+2ax0+aln2a，然后使用均值不等式求出最小值，同時消掉了x0.在求解的過程中，不要急于消掉x0，而應該著眼于將超越式化簡為普通的代數(shù)式.謝謝閱讀借助f′（x0）=0作整體代換，竟能使天塹變通途！其實，這種做法早已出現(xiàn)在以下兩道試題中.我們一起來體會一下如出一轍的解法帶給我們的便捷.謝謝閱讀例2（2013年全國高考新課標Ⅱ卷理21）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.（1）設x=0是f（x）的極值點，求m并討論f（x）的單調(diào)性；精品文檔放心下載（2）當m≤2時，證明f（x）>0.解（1）m=1，f（x）增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）.精品文檔放心下載（2）當m≤2時，x+m≤x+2，ln（x+m）≤ln（x+2），-ln（x+m）≥-ln（x+2），所以f（x）≥ex-ln（x+2），令g（x）=ex-ln（x+2），則g′（x）=ex-1x+2，g″（x）=ex+1（x+2）2>0，所以g′（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增.謝謝閱讀又g′（-1）=e-1-1<0，g′（0）=1-12>0，精品文檔放心下載所以存在唯一的x0∈（-1，0），使g′（x0）=0.感謝閱讀所以當-2<X<X0時，G′（X0）x0時，g′（x0）>0，g（x）單調(diào)遞增.謝謝閱讀評析在本題中，在確定出函數(shù)g′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上存在唯一的零點x0后，無法直接求解x0，在形式上虛設后，通過對x0滿足的等式條件ex0=1x0+2，x0=-ln（x0+2）的合理代換使用，快速將超越式g（x0）=ex0-ln（x0+2）化簡為普通的代數(shù)精品文檔放心下載g（x0）=1x0+2+x0，為證貌似不可能證的不等式g（x0）>0掃除了障礙.感謝閱讀3（2012年全國新課標卷文21第2問）設函數(shù)f（x）=ex-ax-2.若a=1，k為整數(shù)，且當x>0時，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.精品文檔放心下載解由于a=1，所以（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（ex-1）+x+1>0k0恒成立.令g（x）=x+1ex-1+x，原命題k評析本題中，在確定出h（x）=ex-x-2在（0，+∞）上存在唯一零點的情形下，通過虛設零點x0，并借助ex0=x0+2來簡化g（x0）=x0+1ex0-1+x0，為估計g（x0）的范圍創(chuàng)造了條件.虛設零點，讓我們感受到“柳暗花明又一村”的奇妙詩意.精品文檔放心下載如果f′（x）不是超越形式，而是可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，這時很容易想當然，用求根公式把零點求出來，代入極值中去.但接下來要么計算偏繁，要么無法化簡，復雜的算式讓人無處下手，導致后繼工作無法開展.正所謂“思路簡單，過程煩人”.這時有兩個策略：謝謝閱讀策略2反代消參構(gòu)造關(guān)于零點的單一函數(shù)如果問題要求解（或求證）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，這時我們一般不要用參數(shù)來表示零點，而是反過來用零點表示參數(shù)，然后把極值函數(shù)變成了關(guān)于零點的單一函數(shù)，再次求導就可解決相應函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式證明.謝謝閱讀4（2014年全國高考新課標Ⅱ卷文21第2問）已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+x+2，感謝閱讀曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.證明：當k<1時，曲線感謝閱讀y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點.解曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點g（x）=f（x）-kx+2的圖象與x軸只有一個交點.g（x）=x3-3x2+（1-k）x+4，g′（x）=3x2-6x+1-k.謝謝閱讀（1）當Δ=36-12（1-k）=24+12k≤0，即k≤-2時，g′（x）≥0，所以g（x）在R上為增函數(shù).因為g（-1）=k-1<0，g（0）=4>0，所以存在唯一x0∈（-1，0）使得g（x0）=0，所以g（x）的圖象與x軸只有一個交點.謝謝閱讀（2）當Δ=36-12（1-k）=24+12k>0，即-2<K0，g′（1）=-2-k<0，所以0<X1<1，1<X20，g（x）在（-∞，x1）內(nèi)為增函數(shù)；當x∈（x1，x2）時，g′（x）<0，g（x）在（x1，x2）內(nèi)為減函數(shù)；當x∈（x2，+∞）時，g′（x）>0，g（x）在（x2，+∞）內(nèi)為增函數(shù).g（x）的極小值點是x2.感謝閱讀所以g（x）的圖象與x軸只有一個交點，只需要g（x2）>0.感謝閱讀g′（x2）=3x22-6x2+1-k=0得1-k=-3x22+6x2，g（x2）=x32-3x22+（1-k）精品文檔放心下載x2+4=x32-3x22+（-3x22+6x2）x2+4=-2x32+3x22+4.精品文檔放心下載**x2=t，g（x2）=h（t）=-2t3+3t2+4（1<Th（2）=0，即g（x2）>0.所以當-2<K<>精品文檔放心下載綜上（1）、（2）可知，當k<1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點.精品文檔放心下載評析本題當-2<K0.x2是可以求出的（實際上x2=1+6+3k3），但我們證關(guān)于k的不等式g（x2）=g（1+6+3k3）>0，讓人無處下手.于是，我們虛設零點x2，采用“反代”的方法，用零點x2來表示參數(shù)，有1-k=-3x22+6x2.巧妙地回避了這些繁雜的計算，簡潔而利索，可謂妙哉.感謝閱讀5（2009年全國高考Ⅱ卷理22第2問）設函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個極值點，證明：f（x）的極小值大于1-2ln24；謝謝閱讀證明f′（x）=2x+a1+x=2x2+2x+a1+x（x>-1）.令g（x）=2x2+2x+a，函數(shù)f（x）有兩個極值點g（x）=2x2+2x+a在（-1，+∞）上有兩個不等實根Δ=4-8a>0謝謝閱讀g（-1）=a>00<A<>設x1、x2是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實根，且x10，其對稱軸為x=-12，所以-1<X1<-12，-12<X20，f（x）在（-1，x1）內(nèi)為增函數(shù)；當x∈（x1，x2）時，f′（x）<0，f（x）在（x1，x2）內(nèi)為減函數(shù)；當x∈（x2，+∞）時，f′（x）>0，f（x）在（x2，+∞）內(nèi)為增函數(shù).所以，f（x）的極大值點是x1，f（x）的極小值點是x2.謝謝閱讀g（x2）=2x22+2x2+a=0得a=-（2x22+2x2），所以f（x2）=x22+aln1+x2=精品文檔放心下載x22-（2x22+2x2）ln（1+x2）.令x2=t，設f（x2）=h（t）=t2-（2t2+2t）ln（1+t），其中-12<T0，h（t）在[-12，0）單調(diào)遞增.所以當t∈（-12，0）時，h（x）>h（-12）=1-2ln24.故f（x2）=h（t）>1-2ln24.精品文檔放心下載評析f（x）=x2+aln1+x的極小值點x2來自f′（x）=2x2+2x+a1+x的零點，按常規(guī)思路，要證明f（x2）>1-2ln24，就要將x2=-1+1-2a2代入f（x）求解，其本質(zhì)就是用參數(shù)a表示零點x2，再證明關(guān)于a的不等式，-1+1-2a22+aln1+-1+1-2a2>1-2ln24，復雜的算式讓人無處下手.于是，我們采用“反代”的方法，用零點x2來表示參數(shù)a=-（2x22+2x2）.事實證明，這種變通是十分有效的.謝謝閱讀策略3降次留參建立含參數(shù)的方程（或不等式）如果問題要求解（或求證）的結(jié)論與參數(shù)有關(guān)，利用關(guān)系式f′（x）=0（大部分情況可轉(zhuǎn)化為二次方程），在保留參數(shù)的情況下，不斷地把零點的次數(shù)降到不可再降為止，再結(jié)合其他條件，建立含參數(shù)的方程（或不等式），就可求出參數(shù)的值或參數(shù)的范圍.感謝閱讀6（2012年高考全國大綱卷文科第21題）已知函數(shù)f（x）=13x3+x2+ax.精品文檔放心下載（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）設f（x）有兩個極值點x1、x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值；感謝閱讀（3）（筆者加編）函數(shù)f（x）的圖像與x軸有三個公共點，求a的取值范圍.謝謝閱讀解（1）略.（2）f′（x）=x2+2x+a，由題設知，x1、x2為方程f′（x）=0的兩個根，故有a<1，x21=-2x1-a，x22=-2x2-a.因此f（x1）=13x31+x21+ax1=13x1（-2x1-a）+x21+ax1=13x21+23ax1=13（-2x1-a）+23ax1=23（a-1）x1-a3，同理f（x2）=23（a-1）x2-a3.因此直線l的方程為y=23（a-1）x-a3，設l與x軸的交點為（x0，0），精品文檔放心下載x0=a2（a-1）.而f（x0）=13a2（a-1）3+a2（a-1）2+a22（a-1）=a224（a-1）謝謝閱讀3（12a2-17a+6），由題設知，點（x0，0）在曲線y=f（x）上，故f（x0）=0，解得a=0或a=23或a=34.所以，所求a的值為a=0或a=23或a=34.精品文檔放心下載（3）函數(shù)f（x）的圖像與x軸有三個公共點f（x）有極大值極小值且兩個極值異號.f（x）有極大值極小值f′（x）有兩零點Δ=4-4a>0即a<1.感謝閱讀評注對于問題（2），找到極值點橫坐標x1、x2與參數(shù)a之間的聯(lián)系（x21=-2x