數學模型在日常生活中的應用

數學模型在日常生活中的應用李青芳咸陽師范學院數學與信息科學學院信息與計算科學專業(yè)）摘要：21實際是知識經濟和信息時代，也是人才和科學技術激烈競爭的時代。為使人才和科學技術在激烈的競爭中立于不敗之地，隨著科學技術的發(fā)展和社會的不斷進步，數學這一重要的基礎科學迅速地向自然科學和社會科學的各個領域滲透，并在工程技術、經濟建設及金融管理、生物醫(yī)學等方面發(fā)揮出愈來愈明顯的作用。特別是數學與計算機技術相結合，已經形成一種重要的、可以實現的技術。要充分發(fā)揮數學的作用，首先要將所考查的現實世界中的現實問題歸結為一個相應的數學模型，即建立該問題的數學模型。數學模型一種培養(yǎng)綜合素質的有效手段，在實踐中樹立建模的思想對綜合素質發(fā)展有很大的幫助，通過對數學模型過程進行分析，應用數學求解實際問題。數學模型在社會各領域中的應用越來越廣泛，作用越來越大，本文舉例說明了利用數學模型可以解決現實生活中許多問題，有利于提高生活質量。關鍵詞：數學模型；數學建模；應用21實際是知識經濟和信息時代，也是人才和科學技術激烈競爭的時代。為使人才和科學技術在激烈的競爭中立于不敗之地，隨著科學技術的發(fā)展和社會的不斷進步，數學這一重要的基礎科學迅速地向自然科學和社會科學的各個領域滲透,并在工程技術、經濟建設及金融管理、生物醫(yī)學等方面發(fā)揮出愈來愈明顯的作用。特別是數學與計算機技術相結合，一經形成一種重要的、可以實現的技術。要充分發(fā)揮數學的作用，首先要將所考查的現實世界中的現實問題歸結為一個相應的數學模型，即建立該問題的數學模型。1從生活到數學模型隨著科學技術的迅速發(fā)展，數學模型在現代人的生產、工作和社會活動中發(fā)揮著重要的作用。插圖P4現實對象與數學模型的關系數學模型的概念數學模型即就是將某一領域或部門的某個實際問題，經過抽象、簡化、明確變量和參量，并依據某種“規(guī)律”建立變量和參量間的明確關系（數學模型），然后求解該問題，并對結果進行解釋和驗證，如果正確則可以投入使用，否則將重新對問題的假設進行改進，多次循環(huán)，直到正確。完成“實踐—理論—實踐”這一循環(huán)。數學模型的一般步驟這里所說的數學建模步驟只是大體上的規(guī)范，實際操作中應針對問題具體分析，靈活運用。建立數學模型的一半步驟如下：（1） 模型準備：對問題（事件或系統(tǒng)）進行觀察.想象其運動變化情況.掌握研究對象的各種信息（如數據、資料等）.用非形式語言（自然語言）進行描述。（2） 模型假設：分析處理數據、資料.確定現實原型的主要因素.拋棄次要的因素.對問題進行必要的簡化.用精確的語言找出必要的假設.這是非常關鍵的一步。（3） 模型建立：根據主要因素及所作假設.利用適當的數學工具描述有關變量和元素的關系.并建立相應的數學模型（如方程、不等式、表格、圖形、函數、邏輯運算式、數值計算式等）。在建模時，數學工具的采用要根據實際問題的特征、建模的目的和要求以及建模者的數學特長而定。因此，采用的數學方法不同，建立的模型也可能不同，但應遵循一條原則，及盡量采用簡單的數學工具，以使模型得到更廣泛的應用。（4） 模型求解使用已知數據，觀測數據或者實際問題的有關背景知識對所建模型中的參數給出估計值。利用數學工具，對模型進行求解，包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明、性質討論等，以找出數學上的結果。要求建模者掌握相關技巧和計算技術。（5） 模型分析：對模型求解的結果進行數學上的分析，有時需要根據問題的性質分析各變量之間的依賴關系或性態(tài)，有時需要根據所得結果給出數學式的預測和最優(yōu)決策、控制等。（6） 模型檢驗：把模型分析的結果返回到實際應用中，用實際現象、數據等檢驗模型的合理性和實用性，即驗證模型的正確性。通常，一個成功的模型不僅能夠解釋已知現象，而且還能預言一些未知現象。（7） 模型應用：如果檢驗結果與實際不符或與部分不符，而且求解過程沒有錯誤，那么問題一般出在模型假設上，此時應該修改或是補充假設。如果檢驗結果與實際相符，并滿足問題所需要的精度，則認為模型可用，便可進行模型應用。4數學模型介紹：4.1最優(yōu)化介紹線性模型例1（汽車租價問題）一個汽車租賃公司有150輛小汽車，每輛小汽車租價相等，最高租價為198元，最低租價為88元。經過一段時間的經營實踐，店長得到了一些數據：每輛小汽車租價為198元時，租車率為55%；每輛小汽車租價為168元時，租車率為65%；每輛小汽車租價為138元時，租車率為75%；每輛小汽車租價為108元時，租車率為85%.預使汽車租賃公司每天收入最高，每輛小汽車應如何定價？分析與思考：據店長提供的數據，小汽車租價每下降30元，租車率即提高10個百分點。相當于平均每下降1元，租車率提高1個百分點。因此，可假設隨著租車價格的下降，租車率呈線性增長。這樣，我們可通過建立函數模型來求解本題。設y表示汽車租賃公司一天的總收入，X表示與最高價198元相比每輛小汽車降低的租價可建立數學模型：Y=150x(198-x)X(0.55+丄x)300解得，當x=16.5時，y取最大值16471.125元，即最大收入對應的租車價格為181.5元。如果為了方便管理，租價為180元/(輛.天)月也是可以的，因為總收入y=16470元，與理論上的最高收入只差僅為1.125元。本題建模的關鍵在于：根據小汽車租費的降幅與租車率的升幅關系，假設兩者存在著線性關系。/4.2建立方程(方程組)模型例2(航行問題)甲乙兩地相距120km,船從甲到乙順水航行需4h，從乙到甲逆水航行需6h,問船速、水速各為多少？解：設x，y分別代表船速和水速，可以列方程{4(x+y)=120 解得{x=256(x+y)=120 y=5列出方程，原問題已經轉化成純粹的數學問題。不等式模型例3(住房問題)一個星級旅館有30間客房，其中豪華房20間，標準房10間。現將這30間房間分給A、B兩地的游客，其中20間分給A地的游客，10間分給B地的游客，兩地游客與旅館經理商定每天價格如表1：表1每間豪華間價格每間標準間價格A地1000元/天800元/天B地900元/天600元/天設分給A地的標準間x間，旅館這30間房間共獲得y(元)，求y與x之間的函數解析式，并寫出x的取值范圍；2)若要使旅館這30間房間一天所獲得的總金額不低于26800元，請說明有多少種分配方案，并將各種方案設計出來。解:(1)y=1000(20-x)+900x+800x+600(10-x)=26000+100x(0<x<10)由題意得：26000+100x^26800，又因為0<x<10，且x是整數，所以x取8,，9，10，故方案有3種：方案1：A地派甲型車12輛，乙型車8輛；B地派甲型車8輛，乙型車2輛；方案2:A地派甲型車11輛，乙型車9輛；B地派甲型車9輛，乙型車1輛；方案3:A地派甲型車10輛，乙型車10輛；B地派甲型車10輛。例4學校食堂定期從糧食店以每噸1500元的價格購買大米，每次購進大米需支付運輸費100元，食堂每天需用大米1噸，儲存大米的費用為每噸每天2元，假設食堂每天將在用完大米的當天購買。（1） 該食堂每多少天購買一次大米可使平均每天支出的費用最少？（2） 糧食提出價格優(yōu)惠條件：一次購買量不少于20噸時，大米價格可享受九五折（即原價的95%），問食堂可否接受此優(yōu)惠條件？說明理由。解：（1）設每n天購進一次大米，則購米量為n噸，那么庫存費用為：2[n+（n-1）+ +2+1]=n（n+1），記平均每天總費用為，則『廣丄二山（n+1）+100]+1500=門凹+巧。^15211 1n n當且僅當n=^，即n=10時，等號成立，故應每10天購買一次大米，可使平n均每天支出的費用最少。（3）顯然，若接受優(yōu)惠條件，則至少每20天訂購一次，即每m天購一次時,有m>20，記此時每天總費用為y2，那么y2_[m（m+1）+100]+1500X0.95=m+100+1426（m>20）2— m因為y2_1-型，當m>20,時，有y2>0，2 m2 2所以函數是增函數，故當m=20時，y2最小值1451,因為1451<1521，所以接受優(yōu)惠價格條件。揭示：函數與不等式往往是形影相隨的伙伴，有時巧用不等式性質去解決問題能起到事半功倍的作用，幫助我們速達目的。4.2金融與經濟現在經濟生活中，人與金融的關系日益密切。金融的題目注重了針對性，典型性，新穎性，生活性和全面性，因而對數學能力和數學素質的要求也在力求。涉及金融與經濟的建模題常見的有投資問題，證券問題，住房問題，分期付款問題等。一般就是通過數學建模把現實問題轉換成初等數學中的常見只是來解決，如數列問題，冪函數問題，不等式問題等。例1（購房問題，小張年初向某銀行貸款20萬元用來購房，已知貸款年利率優(yōu)惠10%，按復利計算。若這筆貸款要求分10次等額歸還，每年一次，并從借款后次年年初開始歸還，問每年應還多少元（精確1元，？分析與思考：已知貸款數額、貸款利率、歸還年限，要求出每年的歸還額。本題即可化為求每年的歸還額與貸款數額、貸款利率、歸還年限的關系。不妨先把這個問題作一般化處理。設某人向銀行貸款元M0,年利率為a,按復利計算(即本年的利息記入次年的本金生息)，并從借款后次年年初開始每次k元等額歸還，第n次全部還清。那么，一年后欠款數M1=(1+a)M°-k兩年后欠款數M2=(1+a)M1-k=(1+a)2M0-k[(1+a)+1n年后欠款數Mn=(1+a)Mn-1-k=(1+a)M0一K[(1+a)2-1]由M=0可得k=a(1+a)_+M0n (1+a)n-1這就是每年歸還額與貸款數額、貸款利率