數(shù)學(xué)分析第三章函數(shù)極限課件

第三章函數(shù)極限由上章討論知，數(shù)列實質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)——整標(biāo)函數(shù)§1函數(shù)極限的概念7/31/20231第三章函數(shù)極限由上章討論知，數(shù)列實質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)引例7/31/20232引例7/31/20232

當(dāng)x無限增大時，函數(shù)f(x)=arctanx無限接近于問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃“無限增大”、“無限接近”?

直觀上，當(dāng)x無限增時7/31/20233當(dāng)x無限增大時，函數(shù)f(x)=arct對任給定的0，都存在自然數(shù)N=N()，使得當(dāng)n>N時，恒有|xn-a|=|f(x)-a|<成立。定義

設(shè)f(x)在[a,+∞]有定義，=A對任給定的0，都存在X=X()

a，使得當(dāng)x>X時，恒有|f(x)-A|<成立。7/31/20234對任給定的0，都存在自然數(shù)N=N()，使得當(dāng)7/31/202357/31/20235幾何解釋

y

A+

y=f(x)

A

A-

O

X

x即＝A

x+時，曲線y=f(x)

有水平漸近線

y=A.7/31/20236幾何解釋y

A+y=f(定義

f(x)在（-∞，a]有定義，＝A

對任給定的0，都存在X=X

()>0，使得當(dāng)x<-X

時，恒有|f(x)-A|<成立。7/31/20237定義f(x)在（-∞，a]有定義，幾何解釋

y

A-XO即＝A

x-時，曲線y=f(x)

有水平漸近線y=A。7/31/20238幾何解釋定義設(shè)f(x)在U(∞)有定義，＝A對任給定的0，都存在X=X()>0，使得當(dāng)|x|>X時，恒有|f(x)-A|<成立。簡寫為：7/31/20239定義設(shè)f(x)在U(∞)有定義，

幾何解釋

y

A-XOXx即＝A

x時，曲線y=f(x)有水平漸近線y=A.7/31/202310幾何解釋不難證明：7/31/202311不難證明：7/31/202311例1證7/31/202312例1證7/31/202312例2證7/31/202313例2證7/31/2023137/31/2023147/31/2023147/31/2023157/31/202315定義

設(shè)f(x)在x0的某個去心鄰域有定義義，＝A

對任給定的0，都存在=()>0，使得當(dāng)0<

|x-x0|<時，恒有|f(x)-A|<成立。7/31/202316定義設(shè)f(x)在x0的某個去心鄰域有定義義，幾何解釋:7/31/202317幾何解釋:7/31/202317定義設(shè)f(x)在x0的某個右去心鄰域有定義，

對任給定的0，都存在=

()>0,使得當(dāng)0<

x-x0<

(即x0<x<x0+

)時，恒有|f(x)-A|<

成立。7/31/202318定義設(shè)f(x)在x0的某個右去心鄰域有定義，定義設(shè)f(x)在x0的某個左去心鄰域有定義，

對任給定的0，都存在=

()>0,使得當(dāng)-

<

x-x0<0

(即x0-

<x<x0)時，恒有|f(x)-A|<

成立。7/31/202319定義設(shè)f(x)在x0的某個左去心鄰域有定義，不難證明（課后作業(yè)）：7/31/202320不難證明（課后作業(yè)）：7/31/202320注意：7/31/202321注意：7/31/202321總結(jié)：7/31/202322總結(jié)：7/31/202322例3證7/31/202323例3證7/31/202323例4

證明

2證：7/31/202324例4證明例5

證明：

證：對任給定的>0，7/31/202325例5證明：證：對任給定的>0，7/31/20232例6證明

7/31/202326例6證明證：準(zhǔn)備知識1證明：7/31/202327證：準(zhǔn)備知識1證明：7/31/202327準(zhǔn)備知識2兩角和公式7/31/202328準(zhǔn)備知識2兩角和公式7/31/202328準(zhǔn)備知識2積化和差、和差化積7/31/202329準(zhǔn)備知識2積化和差、和差化積7/31/202329例6證明

證7/31/202330例6證明左右極限存在但不相等,例7證7/31/202331左右極限存在但不相等,例7證7/31/202331例8解：7/31/202332例8解：7/31/202332例9證明：當(dāng)n是任意整數(shù)時，12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo

y=[x]證僅證第一式。不妨設(shè)

n<x<n+1則[x]=n7/31/202333例9證明：當(dāng)n是任意整數(shù)時，1234§2函數(shù)極限的性質(zhì)六種函數(shù)極限，以為代表，說明其性質(zhì)，其余類似。

7/31/202334§2函數(shù)極限的性質(zhì)六種函數(shù)極限，以一、唯一性定理2若存在，則此極限唯一.證7/31/202335一、唯一性定理2若存在，則此極限唯一7/31/2023367/31/202336二、局部有界性定理3若存在，則f在x0的某空心鄰域內(nèi)有界.證7/31/202337二、局部有界性定理3若存在，則f在x三、局部保號性0Ar定理4證設(shè)A>0,同理可證A<0的情況。7/31/202338三、局部保號性0Ar定理4證設(shè)A>0,同理可證A<0的情況。四、不等式性定理4證7/31/202339四、不等式性定理4證7/31/202339五、迫斂性（夾逼準(zhǔn)則）定理67/31/202340五、迫斂性（夾逼準(zhǔn)則）定理67/31/202340六、四則運算法則定理77/31/202341六、四則運算法則定理77/31/202341說明：同數(shù)列極限需注意7/31/202342說明：同數(shù)列極限需注意7/31/202342例1計算下列極限：解7/31/202343例1計算下列極限：解7/31/2023437/31/2023447/31/202344例2計算下列極限：解7/31/202345例2計算下列極限：解7/31/2023457/31/2023467/31/202346§3函數(shù)極限存在的條件一、歸結(jié)原則(Heine定理)定理87/31/202347§3函數(shù)極限存在的條件一、歸結(jié)原則(Heine定理)定證7/31/202348證7/31/202348(用反證法)7/31/202349(用反證法)7/31/2023497/31/2023507/31/202350例如,注1歸結(jié)原則是把函數(shù)極限問題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)列極限問題。7/31/202351例如,注1歸結(jié)原則是把函數(shù)極限問題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)列極限問題。注2若可以找到一個以x0為極限的數(shù)列{xn}，使或可以找到兩個以x0為極限的數(shù)列{xn1}{xn2}，使7/31/202352注2若可以找到一個以x0為極限的數(shù)列{xn}，使或可以找到兩例1證二者不相等,7/31/202353例1證二者不相等,7/31/202353例2證明

證7/31/202354例2證明證7/31/202354注3歸結(jié)原則對x→x0+,x→x0-,x→+∞,x→-∞,x→∞,也成立，但對x→x0+,x→x0-,x→+∞,x→-∞有更強的形式。定理97/31/202355注3歸結(jié)原則對x→x0+,x→x0-,x→+∞,

證7/31/202356證7/31/202356x0xnx2x1矛盾！7/31/202357x0xnx2x1矛盾！7/31/202357同樣有定理91定理927/31/2023