第二十四章 圓章末基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)檢測(cè)試卷（含解析）

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人教版2023年九年級(jí)上冊(cè)第24章《圓》章末基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)檢測(cè)試卷

一、選擇題（本大題有8小題，每小題3分，共24分）

1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝2OE，則∠BCD的度數(shù)為（）

A．15°B．22.5°C．30°D．45°

2.如圖，⊙O中，弦AB與CD交于點(diǎn)M，∠A=45°，∠AMD=75°，則∠B的度數(shù)是（）

A．15°B．25°C．30°D．75°

3.（2023四川宜賓）如圖，已知點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)．若，則等于（）

A.B.C.D.

4.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形．若，則的度數(shù)為（）

A.138°B.121°C.118°D.112°

5.如圖，是的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)A，連接，若，則的度數(shù)為（）

A.B.C.D.

6.如圖所示，已知三角形為直角三角形，為圓切線，為切點(diǎn)，則和面積之比為（）

A.B.C.D.

7.有一個(gè)正n邊形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，則n為（）

A.6B.9C.12D.15

8.如圖，在等腰直角中，點(diǎn)E在OA上，以點(diǎn)O為圓心、OE為半徑作圓弧交OB于點(diǎn)F，連接EF，已知陰影部分面積為，則EF的長(zhǎng)度為（）

A.B.2C.D.

二、填空題（本大題有8小題，每空3分，共24分）

1.正八邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是____度．

2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=32°，則∠C=°．

3.如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過(guò)圓心O交于點(diǎn)D，并且，，則的半徑長(zhǎng)為______m．

4.如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，AO=3，⊙O的半徑為2，則AC的長(zhǎng)為_____．

5.（2023龍東）已知圓錐的母線長(zhǎng)，側(cè)面積，則這個(gè)圓錐的高是______．

6．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∠P＝70°，C為弧AB上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為___．

7．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC＝3，則線段AB掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為．

8.如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為弧AD上一點(diǎn)，若∠BOC＝70°，則∠BED的度數(shù)為°．

三、解答題（本大題有4小題，共52分）

1.（12分）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，且．

（1）求的度數(shù)；

（2）若的半徑為3，求圓弧的長(zhǎng)．

2.（16分）如圖，以為直徑的經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，，分別平分和，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．

（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若，，求的長(zhǎng)．

3．（12分）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)N，分別連接EB，CN．

（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）求證：＝；

（3）若AM＝，MB＝1，求陰影部分圖形的面積．

4．（12分）如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上，CD切⊙O于點(diǎn)C，AE⊥CD于點(diǎn)E

（1）求證：AC平分∠DAE；

（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的長(zhǎng)．

解析卷

一、選擇題（本大題有8小題，每小題3分，共24分）

1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝2OE，則∠BCD的度數(shù)為（）

A．15°B．22.5°C．30°D．45°

【答案】B

【解析】由垂徑定理知，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，則∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圓周角定理即可求解．

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，

∴CD＝2ED＝2CE，

∵CD＝2OE，

∴DE＝OE，

∵CD⊥AB，

∴∠DOE＝∠ODE＝45°，

∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．

2.如圖，⊙O中，弦AB與CD交于點(diǎn)M，∠A=45°，∠AMD=75°，則∠B的度數(shù)是（）

A．15°B．25°C．30°D．75°

【答案】C．

【解析】由三角形外角定理求得∠C的度數(shù)，再由圓周角定理可求∠B的度數(shù)．

∵∠A=45°，∠AMD=75°，

∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，

∴∠B=∠C=30°，故選C．

3.（2023四川宜賓）如圖，已知點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)．若，則等于（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】連接，如圖所示，根據(jù)圓周角定理，找到各個(gè)角之間的關(guān)系即可得到答案．

連接，如圖所示：

點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，

，

，

，

根據(jù)圓周角定理可知，

，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度問(wèn)題，涉及圓周角定理，找準(zhǔn)各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

4.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形．若，則的度數(shù)為（）

A.138°B.121°C.118°D.112°

【答案】C

【解析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，再由圓周定理可得．

∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，

∴

∵

∴

∴

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解答本題的關(guān)鍵

5.如圖，是的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)A，連接，若，則的度數(shù)為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由切線性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是、對(duì)頂角相等求出，即可得出答案；

PA與⊙O相切于點(diǎn)A，AD是⊙O的直徑，

，

，

，

，

，

，

，

．

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)求角的度數(shù)，涉及知識(shí)點(diǎn)：切線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和是，解題關(guān)鍵根據(jù)切線性質(zhì)推出．

6.如圖所示，已知三角形為直角三角形，為圓切線，為切點(diǎn)，則和面積之比為（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．

如圖取中點(diǎn)O，連接．

∵是圓O的直徑．

∴．

∵與圓O相切．

∴．

∵．

∴．

∵．

∴．

又∵．

∴．

∵，，．

∴．

∴．

∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)．

∴．

∴．

∴

故答案是：1∶2．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周角定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的前提．

7.有一個(gè)正n邊形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，則n為（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】C

【解析】根據(jù)選項(xiàng)求出每個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的正多邊形的中心角度數(shù)，與一致或有倍數(shù)關(guān)系的則符合題意．

如圖所示，計(jì)算出每個(gè)正多邊形中心角，是的3倍，則可以旋轉(zhuǎn)得到．

A.B.C.D.

觀察四個(gè)正多邊形的中心角，可以發(fā)現(xiàn)正12邊形旋轉(zhuǎn)90°后能與自身重合

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形中心角與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是求出中心角的度數(shù)并與旋轉(zhuǎn)度數(shù)建立關(guān)系．

8.如圖，在等腰直角中，點(diǎn)E在OA上，以點(diǎn)O為圓心、OE為半徑作圓弧交OB于點(diǎn)F，連接EF，已知陰影部分面積為，則EF的長(zhǎng)度為（）

A.B.2C.D.

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可得：OE=OF，∠O=90°，設(shè)OE=OF=x，利用陰影部分面積列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可．

根據(jù)題意可得：OE=OF，∠O=90°，

設(shè)OE=OF=x，

∴

，

解得：，

∴，

故選：C．

【點(diǎn)睛】題目主要考查不規(guī)則圖形的面積，一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．

二、填空題（本大題有8小題，每空3分，共24分）

1.正八邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是____度．

【答案】135

【解析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）180°（n≥3且n為正整數(shù)）求出內(nèi)角和，然后再計(jì)算一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)即可.

正八邊形的內(nèi)角和為：（8﹣2）×180°=1080°，

每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：1080°÷8=135°.

2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=32°，則∠C=°．

【答案】58

【解析】由題意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠AOB，再利用圓周角定理確定∠C．

如圖，連接OB，

∵OA=OB，

∴△AOB是等腰三角形，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠OAB=32°，

∴∠OAB=∠OAB=32°，

∴∠AOB=116°，

∴∠C=58°．

故答案為58．

【點(diǎn)評(píng)】本題是利用圓周角定理解題的典型題目，題目難度不大，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵，在解決和圓有關(guān)的題目時(shí)往往要添加圓的半徑．

3.如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過(guò)圓心O交于點(diǎn)D，并且，，則的半徑長(zhǎng)為______m．

【答案】

【解析】連接，先根據(jù)垂徑定理、線段中點(diǎn)的定義可得，設(shè)的半徑長(zhǎng)為，則，，再在中，利用勾股定理即可得．

【詳解】如圖，連接，

是中的弦的中點(diǎn)，且，

，，

設(shè)的半徑長(zhǎng)為，則，

，

，

在中，，即，

解得，

即的半徑長(zhǎng)為，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．

4.（2022湖南懷化）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，AO=3，⊙O的半徑為2，則AC的長(zhǎng)為_____．

【答案】

【解析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．

連接OC，

∵AB與⊙O相切于點(diǎn)C，

∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，

在Rt△OCA中，AO=3，OC=2，

∴AC=，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．

5.（2023龍東）已知圓錐的母線長(zhǎng)，側(cè)面積，則這個(gè)圓錐的高是______．

【答案】12

【解析】利用圓錐的側(cè)面積公式可得到底面半徑，再利用勾股定理即可得到高．

根據(jù)圓錐側(cè)面積公式變形可得，

根據(jù)圓錐母線公式，可得，

故答案為：12．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和母線公式，熟知上述公式是解題的關(guān)鍵．

6．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∠P＝70°，C為弧AB上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為___．

【答案】125°

【解析】由切線的性質(zhì)得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和可求∠AOB=110°，再利用圓周角定理可求∠ADB=55°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可求∠ACB．

如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，

∵AP、BP是⊙O切線，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，

∴∠ADB=∠AOB=55°，

又∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，

∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．

7．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC＝3，則線段AB掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為．

【答案】。

【解析】根據(jù)圖形可以得出AB掃過(guò)的圖形的面積＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC＝S△A′B′C就可以得出AB掃過(guò)的圖形的面積＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．

解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，

∴△ABC≌△A′B′C，

∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．

∵AB掃過(guò)的圖形的面積＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，

∴AB掃過(guò)的圖形的面積＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，

∴AB掃過(guò)的圖形的面積＝﹣＝。

8.如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為弧AD上一點(diǎn)，若∠BOC＝70°，則∠BED的度數(shù)為°．

【答案】35°．

【解析】∵直徑AB⊥CD，

∴B是的中點(diǎn)；

∴∠BED＝∠BOC＝35°．

三、解答題（本大題有4小題，共52分）

1.（12分）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，且．

（1）求的度數(shù)；

（2）若的半徑為3，求圓弧的長(zhǎng)．

【答案】（1）（2）

【解析】【分析】（1）證明是等邊三角形，得到，從而計(jì)算出的度數(shù)；

（2）計(jì)算出圓弧的圓心角，根據(jù)圓弧弧長(zhǎng)公式計(jì)算出最終的答案．

【詳解】（1）如下圖，連接AO

∵是的切線

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴是等邊三角形

∴

∵

∴

（2）∵

∴

圓弧的長(zhǎng)為：

∴圓弧的長(zhǎng)為．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．

2.（16分）如圖，以為直徑的經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，，分別平分和，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．

（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若，，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）為等腰直角三角形，詳見解析

（2）

【解析】【分析】（1）由角平分線的定義、結(jié)合等量代換可得，即；然后再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°即可解答；

（2）如圖：連接，，，交于點(diǎn)．先說(shuō)明垂直平分．進(jìn)而求得BD、OD、OB的長(zhǎng)，設(shè)，則．然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程求解即可．

【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，證明如下：

證明：∵平分，平分，

∴，．

∵，，

∴．

∴．

∵為直徑，

∴．

∴是等腰直角三角形．

（2）解：如圖：連接，，，交于點(diǎn)．

∵，

∴．

∵，

∴垂直平分．

∵是等腰直角三角形，，

∴．

∵，

∴．

設(shè)，則．

在和中，．解得，．

∴．

∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂直平分線的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．

3．（12分）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)N，分別連接EB，CN．

（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）求證：＝；

（3）若AM＝，MB＝1，求陰影部分圖形的面積．

【答案】見解析。

【解析】（1）證得△BME是等腰直角三角形即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)垂徑定理得到∠EMB＝90°，進(jìn)而證得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根據(jù)題意得到＝，進(jìn)一步得到＝；

（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，從而得到∠EOB＝60°，證得△EOB是等邊三角形，則OE＝BE＝，然后證得△OEB≌△OCN，然后根據(jù)扇形的面積公式和三角形面積公式求得即可．

【解答】解：（1）∵AC為⊙O的直徑，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

∴∠ABE＝45°，

∵AB⊥EN，

∴△BME是等腰直角三角形，

∴BE＝EM，

故答案為BE＝EM；

（2）連接EO，AC是⊙O的