一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

2．如果x2＋px＋q＝0

的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1·x2＝.2

23．x1

＋x2

＝(x1＋x2)11

12x

x1

22，(x1－x2)

＝(x1＋x2).b－ac，x1·x2＝

a

，1．如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根為x1，x2，那么x1＋x2＝這個(gè)關(guān)系通常稱為

韋達(dá)定理．－pq12

－2x

x2

，x

＋x

＝（x1＋x）22－4x

x1

2一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1．(3

分)若x1，x2

是一元二次方程x2＋10x＋16＝0

的兩個(gè)根，則x1＋x2

的值是(A．－10

B．10

C．－16

D．16A

)2．(3分)(2015·金華)一元二次方程

x2＋4x－3＝0

的兩根為

x1，x2，則

x1·x2的值是(

D

)A．4

B．－4

C．3

D．－33．(3

分)已知方程x2－5x＋2＝0的兩個(gè)解分別為

x1，x2，則

x1＋x2－x1x2

的值為(

D

)A．－7

B．－3

C．7

D．34．(3

分)(2015·棗莊)已知關(guān)于x

的一元二次方程x2＋mx＋n＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1＝－2，x2＝4，則

m＋n

的值是(

A

)A．－10

B．10

C．－6

D．25．(3分)(2015·廣西)已知實(shí)數(shù)

x1，x2滿足

x1＋x2＝7，x1x2＝12，則以

x1，x2為根的一元二次方程是(

A

)A．x2－7x＋12＝0

B．x2＋7x＋12＝0C．x2＋7x－12＝0

D．x2－7x－12＝06．(3

分)(2015·懷化)設(shè)

x1，x2是方程

x2＋5x－3＝0

的兩個(gè)根，則

x

2＋x

2

的值是(

C

)1

2A．19

B．25

C．31

D．30m

的值是

．7．(2

分)(2015·南京)已知方程

x2＋mx＋3＝0

的一個(gè)根是

1，則它的另一個(gè)根是

3

，－48．(2

分)方程x2－2x－1＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為

x1，x2，則(x1－1)(x2－1)＝

－2

.2

3

9．(2

分)若

x1，x2

是方程

x2＋x－1＝0

的兩個(gè)根，則

x12＋x2

＝

.x1

x2x2

x111．(6

分)已知

x1，x2

是方程

x2＋3x－3＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式

＋ 的值．10．(2

分)已知方程

x2＋(k＋1)x＋k＝0

的兩根平方和是

5，則

k＝

±2

.因?yàn)閤1，x2

是方程x2＋3x－3＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以x1＋x2＝－3，x1x2＝－31x2

x1，所以x

＋x2＝x1x2

x1x2＝

＝x12＋x22

（x1＋x2）2－2x1x2

（－3）2－2×（－3）－3＝－512．(8

分)不解方程，檢驗(yàn)下列各方程后面括號內(nèi)的兩個(gè)數(shù)是不是它的兩個(gè)根．(1)x2－2

2x＋1＝0；( 2＋1，

2－1)(2)2x2－3x＋8＝0.(7＋

73

7－

734

4，

)bx1＋x2＝(

2＋1)＋(

2－1)＝2

2，x1x2＝(

2＋1)(

2－1)＝1，∵x1，x2

滿足x1＋x2＝－a，x1x2c＝a，∴此方程的解正確1x

＋x2＝4

47＋

73

7－

73

7

3＋

＝2≠2，∴此方程的解不正確一、選擇題(每小題4

分，共4

分)13．如果關(guān)于x

的一元二次方程x2＋4x＋a＝0

的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2

滿足x1·x2－2x1－2x2－5＝0，那么

a

的值為(

B

)A．3

B．－3

C．13

D．－13二、填空題(每小題4

分，共12

分)15．若關(guān)于

x

的方程

x2＋(a－1)x＋a2＝0

的兩根互為倒數(shù)，則a＝

.14．已知x1，x2

是方程

x2－2x－1＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1

－3x1

＋2x1＋x2

的值為

1

3

2－116．(2015·荊門)方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2.若x12＋x22＝4，則

m

的值為－1或－．3三、解答題(共44

分)17．(12

分)設(shè)方程4x2－7x－3＝0

的兩根為x1，x2，不解方程，求下列各式的值：(1)(x1－3)(x2－3)；x1＋1

x2＋1

x2

x1 (2)

＋

.7

3因?yàn)閤1，x2

是方程4x2－7x－3＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以x1＋x2＝4，x1x2＝－4，(1)(x1－3)(x21

2

1

23

7－3)＝x

x

－3(x

＋x

)＋9＝－4－

×4＋3

9＝3

x1

x2（x2＋1）＋x1（x1＋1）(2)

x2

＋

＝x1＋1

x2＋1

（x1＋1）（x2＋1）＝（x1＋x2）2＋（x1＋x2）－2x1x2x1x2＋（x1＋x2）＋1＝27

73（4）

＋4－2×（－4）3

7－4＋4＋1101＝

3218．(10

分)關(guān)于x

的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2.(1)求m

的取值范圍；13(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m

的值．(1)∵原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤4(2)由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1，∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得m＝－319．(10

分)已知關(guān)于x

的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0

有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.求k

的取值范圍；若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k

的值．21(1)依題意得

Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得

k≤

(2)依題意，有

x1＋x2＝2(k－1)，1

1x1x2＝k2，∵k≤2，∴x1＋x2<0，∴2(k－1)＝－(k2－1)，解得k1＝1，k2＝－3，∵k≤2，∴k＝－3【綜合運(yùn)用】k20．(12

分)關(guān)于x

的方程kx2＋(k＋1)x＋4＝0

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求k

的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k

的值；若不存在，說明理由．(1)由題意知，k≠0，且Δ＝(k＋1)2－k4k·4>01，∴k>－