山西省太原市太鋼第四中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

山西省太原市太鋼第四中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題，正確的是（

）A.若z∈C，則z2≥0

B.若a，b∈R，且a>b，則a＋i>b＋iC.若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)

D.若z＝，則z3＋1對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第一象限參考答案：D略2.若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線經(jīng)過點(diǎn)可得的關(guān)系式，從而可得離心率.【詳解】雙曲線的漸近線為，所以，即，，，，離心率，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，求解雙曲線的離心率時，一般是尋求的關(guān)系式.側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（

） A

B

C

Ｄ

參考答案：C略4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是（）Ａ．假設(shè)都是偶數(shù)Ｂ．假設(shè)都不是偶數(shù)Ｃ．假設(shè)至多有一個是偶數(shù)Ｄ．假設(shè)至多有兩個是偶數(shù)參考答案：B5.已知，，則等于(

)A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)余弦的半角公式化簡、運(yùn)算，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可知，則，又由半角公式可得，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡、求值問題，其中解答中熟練應(yīng)用余弦函數(shù)的半角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6.若a＞b＞0，則a2+的最小值為(

)A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由基本不等式可得b（a﹣b）≤，再次利用基本不等式可得a2+≥a2+≥2=4，注意兩次等號同時取到即可．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴b（a﹣b）≤=，∴a2+≥a2+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)b=a﹣b且a2=即a=且b=時取等號，∴則a2+的最小值為4，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式求最值，注意兩次等號成立的條件是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．7.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動時，使取得最小值的的坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.若、兩點(diǎn)分別在圓上運(yùn)動，則的最大值為（

）A．13

B．19

C．32

D．38參考答案：C9.下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤參考答案：C【考點(diǎn)】F3：類比推理；F1：歸納推理．【分析】本題解決的關(guān)鍵是了解歸納推理、演繹推理和類比推理的概念及它們間的區(qū)別與聯(lián)系．利用歸納推理就是從個別性知識推出一般性結(jié)論的推理，從而可對①②進(jìn)行判斷；由類比推理是由特殊到特殊的推理，從而可對④⑤進(jìn)行判斷；對于③直接據(jù)演繹推理即得．【解答】解：所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結(jié)論的推理．故①對②錯；又所謂演繹推理是由一般到特殊的推理．故③對；類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理．故④錯⑤對．故選：C．10.點(diǎn)（1，2）到直線y=2x+1的距離為（）A． B． C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．【解答】解：由點(diǎn)到直線的距離公式d==，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，的夾角為60°，則k=______．參考答案：【分析】由，利用向量的夾角公式，求得，再由向量的數(shù)量積的公式，可得，即可求解．【詳解】由題意，向量，則，又由的夾角為，所以，解得，所以，又由向量的夾角為，則，即，所以實(shí)數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，其中解答中熟記空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12.設(shè)x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點(diǎn)，則常數(shù)a－b的值為.參考答案：21∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴?∴a－b＝－3＋24＝21.13.設(shè)A為圓上一動點(diǎn)，則A到直線的最大距離為______.參考答案：14.已知樣本的平均數(shù)是，標(biāo)準(zhǔn)差是，則

.參考答案：96略15.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號是．參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理、圓的性質(zhì)即可得出．【解答】解：①∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∵AE?平面PAC．∴BC⊥AE．因此①正確．④由①可知：AE⊥BC，又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC．因此④正確．②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．因此②正確．③AF⊥BC不正確；用反證法證明：假設(shè)AF⊥BC，又AF⊥PB，PB∩BC=B．∴AF⊥平面PBC．這與AE⊥平面PBC相矛盾．因此假設(shè)不成立．故③不正確．綜上可知：只有①②④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、圓的性質(zhì)，屬于中檔題．16.歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第_______象限.參考答案：三【分析】e-3i＝cos3-isin3，由三角函數(shù)值的符號及其復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出．【詳解】由題e-3i＝cos3-isin3，又cos3<0,sin3>0,故表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第三象限.故答案為三【點(diǎn)睛】本題考查了歐拉公式、三角函數(shù)求值及其復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.如果一個等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10，前10項(xiàng)的和等于50，那么前15項(xiàng)的和等于

.參考答案：210三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.,參考答案：19.如圖，在三棱柱中，底面ABC，ABAC，，

E、F分別是棱BC、的中點(diǎn)．(I)求證：AB平面;(Ⅱ)若線段AC上的點(diǎn)D滿足平面DEF//平面，試確定點(diǎn)D的位置，并說明理由；(III)證明：EF參考答案：20.(10分)某幾何體的三視圖如下，其中俯視圖的內(nèi)外均為正方形，邊長分別為和，幾何體的高為，求此幾何體的表面積和體積．參考答案：21.在直角坐標(biāo)系中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果一個橢圓經(jīng)過點(diǎn),且以點(diǎn)F(2,0)為它的一個焦點(diǎn).（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在（1）中求過點(diǎn)F(2,0)的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.參考答案：略22.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F1（1，0），離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程及左頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△PAB的面積為，求直線AB的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）利用橢圓的右焦點(diǎn)為F1（1，0），離心率為，建立方程，結(jié)合b2=a2﹣c2，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理面結(jié)合△PAB的面積為，即可求直線AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知：c=1，，所以a=2，所以b2=a2﹣c2=3．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，左頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，0）．…（Ⅱ）根