初二數(shù)學(xué)北京版勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理

初二年級數(shù)學(xué)北京市中小學(xué)空中課堂

復(fù)習(xí)回顧

1.直角三角形的定義.2.性質(zhì)

3.判定角直角三角形的兩個(gè)銳角互余；邊勾股定理.有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形；角角邊有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形；角

復(fù)習(xí)回顧

1.直角三角形的定義2.性質(zhì)

3.判定互逆定理？直角三角形的兩個(gè)銳角互余；勾股定理.

原定理寫出逆命題真

逆定理假無逆定理

判斷真假

新知探索

勾股定理

在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如果一個(gè)三角形是直角三角形，

如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

？

如果三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

？

如果三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

如果三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

？

動(dòng)手操作

尺規(guī)作圖已知：三條線段的長分別為3cm，4cm和5cm.求作：△ABC，使BC=

3cm，AC=

4cm，AB=

5cm.

尺規(guī)作圖

已知：三條線段的長分別為3cm，4cm和5cm.求作：△ABC，使BC=

3cm，AC=

4cm，AB=

5cm.作法：（1）作線段BC=

3cm；

尺規(guī)作圖

已知：三條線段的長分別為3cm，4cm和5cm.求作：△ABC，使BC=

3cm，AC=

4cm，AB=

5cm.作法：（1）作線段BC=

3cm；（2）分別以點(diǎn)B，C為圓心，以5cm，4cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A；

尺規(guī)作圖

已知：三條線段的長分別為3cm，4cm和5cm.求作：△ABC，使BC=

3cm，AC=

4cm，AB=

5cm.作法：（1）作線段BC=

3cm；（2）分別以點(diǎn)B，C為圓心，以5cm，4cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A；（3）分別連接AB，AC.

所以△ABC就是所求作的三角形.

尺規(guī)作圖

已知：三條線段的長分別為3cm，4cm和5cm.求作：△ABC，使BC=

3cm，AC=

4cm，AB=

5cm.用量角器測量∠C=90°

尺規(guī)作圖

已知：三條線段的長分別為3cm，4cm和5cm.求作：△ABC，使BC=

3cm，AC=

4cm，AB=

5cm.

思考這三邊長滿足了怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？32+42=52

畫一畫分別以下列各組數(shù)為邊長畫三角形（單位：cm).

(1)8，15，17；

(2)5，12，13.

量一量三角形的形狀(1)8，15，17；

(2)5，12，13.

思考

三邊長分別為8，15，17和5，12，13的兩個(gè)三角形都

滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方嗎？

82+152=172；52+122=132．

勾股定理的逆命題

如果三角形的三邊a，b，c，滿足

a2+b2=c2

，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

你能寫出已知和求證嗎？

已知：如圖，△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2．求證：∠C=90°．

已知：如圖，△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2．求證：∠C=90°．

證明:

作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=BC=a，A'C'=AC=b．

已知：如圖，△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2．求證：∠C=90°．

證明:

作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=BC=a，A'C'=AC=b．

∴A'B'

2=a2+b2．

已知：如圖，△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2．求證：∠C=90°．

證明:

作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=BC=a，A'C'=AC=b．

∴A'B'

2=a2+b2．

∵c2=a2+b2，

∴A'B'

2=c2=AB2．

∴A'B'=AB．

已知：如圖，△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2．求證：∠C=90°．

證明:

作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=BC=a，A'C'=AC=b．

∴A'B'

2=a2+b2．

∵c2=a2+b2，

∴A'B'

2=c2=AB2．

∴A'B'=AB．

在△ABC

和

△A'B'C'中，

BC=B'C'，AC=A'C'，AB=A'B'

，

已知：如圖，△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2．求證：∠C=90°．

證明:

作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=BC=a，A'C'=AC=b．

∴A'B'

2=a2+b2．

∵c2=a2+b2，

∴A'B'

2=c2=AB2．

∴A'B'=AB．

在△ABC

和

△A'B'C'中，

∴△ABC

≌

△A'B'C'．

BC=B'C'，AC=A'C'，AB=A'B'

，

已知：如圖，△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2．求證：∠C=90°．

證明:

作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=BC=a，A'C'=AC=b．

∴A'B'

2=a2+b2．

∵c2=a2+b2，

∴A'B'

2=c2=AB2．

∴A'B'=AB．

在△ABC

和

△A'B'C'中，

∴△ABC

≌

△A'B'C'．∴∠C=∠C'=90°．

BC=B'C'，AC=A'C'，AB=A'B'

，

勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊a，b，c，滿足

a2+b2=c2

，那么這個(gè)三角形是直角三角形.在△ABC中，∵a2+b2=c2（已知），∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°（勾股定理逆定理）.判定直角三角形的依據(jù)

例判斷下列以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形:

(1)a=1，b=1，c=

；

(2)a=3，b=5，c=7；

(3)a=10，b=8，c=6.

（1）a=

1，b=

1，c=

；解:

①計(jì)算平方③得出結(jié)論∴a2+

b2

=

c2.∵a2

=

12=

1，

b2=

12=

1，

c2=(

)2=

2.∴a2+

b2=

2.∴這個(gè)三角形是直角三角形，且∠C

=90°.②判斷關(guān)系∴a2+

b2

≠

c2.∴這個(gè)三角形不是直角三角形.∵a2

=

32=

9，

b2=

52=

25，

c2=72=

49.∴a2+

b2=

34.

（2）a=

3，b=

5，c=

7；解:

∴這個(gè)三角形是直角三角形，且∠B

=90°.∴

a2+c2=

b2.∴a2+

b2

≠

c2.∴這個(gè)三角形不是直角三角形.∵a2

=

32=

9，

b2=

52=

25，

c2=72=

49.∴a2+

b2=

34.∵a2

=

82=64，

b2=

102=

100，

c2=

62=

36.∴a2+

c2=

100.

（2）a=

3，b=

5，c=

7；（3）a=8，b=10，c=6.

解:解:

計(jì)算三邊的平方

較短兩邊的平方和與最長邊平方的關(guān)系

相

等是直角三角形不是直角三角形

不相等

判斷思路最長邊所對的角是直角

思考

3，4，5；

6，8，10；

9，12，15?

思考∴(3k)2

+(4k)2

=(5k)2.∵(3k)2

+(4k)2

=25k2，

(5k)2=25k2，...

3k，4k，5k(k>0).

3，4，5；

6，8，10；

9，12，15；

如果以a，b，c為邊的三角形是直角三角形，那么以

ak，bk，ck

(k>0)為邊的三角形也是直角三角形.∴(3k)2

+(4k)2

=(5k)2.∵(3k)2

+(4k)2

=25k2，

(5k)2=25k2，...

3k，4k，5k(k>0).

3，4，5；

6，8，10；

9，12，15；

例已知：如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=

3，BC=

4，CD=

12，

AD

=13，∠B

=

90°.求四邊形

ABCD

的面積.

分析AB=3

BC=4∠B

=90°

例已知：如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=

3，BC=

4，CD=

12，

AD

=13，∠B

=

90°.求四邊形

ABCD

的面積.

分析AB=3

BC=4∠B

=90°

（勾股定理）

AC

=5

例已知：如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=

3，BC=

4，CD=

12，

AD

=13，∠B

=

90°.求四邊形

ABCD

的面積.

分析AB=3

BC=4∠B

=90°CD=12

AC

=5

AD=13

（勾股定理）

例已知：如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=

3，BC=

4，CD=

12，

AD

=13，∠B

=

90°.求四邊形

ABCD

的面積.

分析AB=3

BC=4∠B

=90°CD=12

AC

=5

AD=13

△ACD

是直角三角形(勾股定理逆定理)

例已知：如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=

3，BC=

4，CD=

12，

AD

=13，∠B

=

90°.求四邊形

ABCD

的面積.

分析AB=3

BC=4∠B

=90°CD=12

AC

=5

AD=13

△ACD

是直角三角形(勾股定理逆定理)

例已知：如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=

3，BC=

4，CD=

12，

AD

=13，∠B

=

90°.求四邊形

ABCD

的面積.

？不規(guī)則圖形的面積

從未知入手規(guī)則圖形的面積

轉(zhuǎn)化

例已知：如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=

3，BC=

4，CD=

12，

AD

=13，∠B

=

90°.求四邊形

ABCD

的面積.

思考：連接

BD

可求嗎？

不可求

例已知：如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=

3，BC=

4，CD=

12，

AD

=13，∠B

=

90°.求四邊形

ABCD

的面積.

解：連接AC.

在Rt△ABC中，∠B=90°，

∵AB=3，BC=4，

∴AC

=5（勾股定理）.

解：連接AC.

在Rt△ABC中，∠B=90°，

∵AB=3，BC=4，

∴AC

=5（勾股定理）.

∵CD=12，AD=13，

∴AC2+CD2=AD2.解：連接AC.