河南省信陽市上石橋中學高三數(shù)學理月考試題含解析

河南省信陽市上石橋中學高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在三棱錐A-BCD中，，二面角A-BC-D的余弦值為，當三棱錐A-BCD的體積的最大值為時，其外接球的表面積為（

）A.5π B.6π C.7π D.8π參考答案：B【分析】根據(jù)兩個射影，結(jié)合球的圖形，可知二面角的平面角為；根據(jù)題意可知當，時，三棱錐的體積最大。根據(jù)體積的最大值可求得BC的長，結(jié)合圖形即可求得球的半徑，進而求得表面積。【詳解】如圖，設球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為則二面角的平面角為點在截面圓上運動，點在截面圓上運動，由圖知，當，時，三棱錐的體積最大，此時與是等邊三角形設，則，解得，所以，，設則解得∴球的半徑所求外接球的表面積為故選B.【點睛】本題考查了三棱錐外接球的綜合應用，根據(jù)空間幾何關(guān)系求得球的半徑，進而求得表面積，對空間想象能力要求較高，屬于難題。2.若實數(shù)列的前n項和為，則下列命題：（1）若數(shù)列是遞增數(shù)列，則數(shù)列也是遞增數(shù)列；

（2）數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列的各項均為正數(shù)；

（3）若是等比數(shù)列，則的充要條件是

其中，正確命題的個數(shù)是

（

）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：3.已知集合A=，若,則實數(shù)a的取值范圍是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】解不等式；集合關(guān)系及運算.

A1

E3【答案解析】C

解析：因為A=，所以B時成立，此時；時，即時，要使，需使，即，綜上得實數(shù)a的取值范圍是，所以選C.【思路點撥】先由已知求得集合A，再由知需要討論與兩種情況.4.設f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且對于任意的x都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果實數(shù)m、n滿足不等式組那么m2＋n2的取值范圍是()A．(3,7) B．(9,25)

C．(13,49) D．(9,49)參考答案：C略

5.若△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足

A．

B．

C．

D．參考答案：B根據(jù)正弦定理知，不妨設，則，所以，選B.6.若定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集是(

)A.(3，＋∞)

B.(－∞，3)

C.(－3，＋∞)

D.(－∞，－3)參考答案：A7.反復拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，每一次拋擲后都記錄下朝上一面的點數(shù)，當記錄有三個不同點數(shù)時即停止拋擲，則拋擲五次后恰好停止拋擲的不同記錄結(jié)果總數(shù)是（

）（A）種

（B）種

（C）種

（D）種參考答案：B8.

設全集，集合，，則的值為（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：答案:C9.設變量滿足約束條件，目標函數(shù)的最小值為－4，則a的值是A．1

B．0

C．－1

D．參考答案：C作出約束條件所對應的可行域（如圖），由，解得，，目標函數(shù)可化為，平移直線可知，當直線經(jīng)過點截距取最大值，最小，，解得，故選C.

10.已知是虛數(shù)單位，則=

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若拋物線y2=2px的焦點坐標為（1，0）則準線方程為

．參考答案：x=﹣1考點：拋物線的簡單性質(zhì)；拋物線的標準方程．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由拋物線的性質(zhì)可知，知=1，可知拋物線的標準方程，從而可得準線方程．解答： 解：∵拋物線y2=2px的焦點坐標為（1，0），∴=1，p=2，拋物線的方程為y2=4x，∴其標準方程為：x=﹣1，故答案為：x=﹣1．點評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎題．12.若隨機變量，且，則=

．參考答案：．∵隨機變量，∴正態(tài)曲線關(guān)于對稱，∵，∴．13.如圖，A，B，C是直線上三點，P是直線外一點，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=30°，則=．參考答案：【考點】向量在幾何中的應用；平面向量數(shù)量積的運算．【專題】計算題；解三角形；平面向量及應用．【分析】取PC中點D，連結(jié)BD，設BD=x．利用三角形中位線定理與含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，算出∠BDC=120°，CD=PD=2x．在△BCD中利用余弦定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)建立關(guān)于x的方程，解出x=，即BD=，從而得出PA=且PC=．最后利用數(shù)量積的公式加以計算，可得的值．【解答】解：取PC中點D，連結(jié)BD．設BD=x，∵BD是△PAC的中位線，∴BD∥PA且BD=PA．∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，∵∠BPD=30°，BD=x，∴PD=2BD=2x，CD=PD=2x，△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+30°=120°，BC=1，由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD?CDcos∠BDC=1，即x2+4x2﹣2x?2xcos120°=1，解之得x=，即BD=．∴PA=2BD=，PC=4BD=，可得==××（﹣）=﹣．故答案為：﹣【點評】本題給出三角形的中線與一條邊垂直且與另一邊成30度角，求向量的數(shù)量積．著重考查了向量數(shù)量積計算公式、三角形中位線定義及其應用、利用余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．14.若2x+4y=4，則x+2y的最大值是

．參考答案：2【考點】基本不等式．【分析】利用基本不等式的運算性質(zhì)、指數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵2x+4y=4，∴=2，化為2x+2y≤4=22，∴x+2y≤2，當且僅當x=2y=1時取等號．則x+2y的最大值是2．故答案為：2．15.已知實數(shù)x，y滿足，則目標函數(shù)z=x﹣y的最大值是

．參考答案：4【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作平面區(qū)域，化簡目標函數(shù)z=x﹣y為y=x﹣z，從而求最大值．【解答】解：作平面區(qū)域如下，化簡目標函數(shù)z=x﹣y為y=x﹣z，故當過點（2，﹣2）時，z=x﹣y有最大值為2﹣（﹣2）=4，故答案為：4．16.若函數(shù)f（x）=，則不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集為．參考答案：（﹣∞，﹣）【考點】分段函數(shù)的應用；其他不等式的解法．【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；不等式的解法及應用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式判斷函數(shù)的單調(diào)性，討論變量的取值范圍進行比較即可．【解答】解：若x≥1，即x≥2時，x2﹣3≥1，此時函數(shù)f（x）在[1，+∞）為減函數(shù)，則由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＜x，即2x2﹣x﹣6＜0，得﹣＜x＜2，此時x無解．若x＜1，即x＜2時，若x2﹣3＜1，即﹣2＜x＜2，時，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1]上是增函數(shù)，則由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＞x，即2x2﹣x﹣6＞0，得x＜﹣或x＞2（舍），此時﹣2＜x＜﹣．若x≤﹣2，則x≤﹣1，此時f（x）＜0，而x2﹣3≥1，則f（x2﹣3）＞0，此時不等式f（x2﹣3）＞f（x）恒成立，綜上不等式的解集為（﹣∞，﹣），故答案為：（﹣∞，﹣）．【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應用，根據(jù)函分段函數(shù)的表達式判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．17.已知函數(shù)，且在處的切線與直線垂直，則a=

．參考答案：1函數(shù)，求導得：.在處的切線斜率為.解得.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在△ABC中，∠C=45°，D為BC中點，BC=2．記銳角∠ADB=α．且滿足cosα=﹣．（1）求cos∠CAD；（2）求BC邊上高的值．參考答案：考點：解三角形的實際應用．專題：應用題；解三角形．分析：（1）由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可求cosα，根據(jù)∠CAD=α﹣45°，即可求cos∠CAD；（2）由（1）得，sin∠CAD=sin（α﹣45°）sinαcos45°﹣sin45°cosα=，再由正弦定理，可求AD，從而可由h=ADsin∠ADB求解．解答：解：（1）∵cos2α=2cos2α﹣1，∴cos2α=，∵α∈（0°，45°），∴cosα=，∴，∵∠CAD=α﹣45°，∴=．（2）由（1）得，sin∠CAD=sin（α﹣45°）=sinαcos45°﹣sin45°cosα=，在△ACD中，由正弦定理得：，∴AD===5，∴高h=ADsin∠ADB==4．點評：本題主要考查了同角平方關(guān)系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的應用，解題的關(guān)鍵是熟練應用基本公式．19.已知曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是：.(1)求曲線的直角坐標方程；(2)是上的點，是上的點，求的最小值.參考答案：(1)曲線的直角坐標方程為，即；(2)設與同圓心的圓的方程為，聯(lián)立，得，當時，即時圓與橢圓相切，∴.20.

在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為直角梯形，且平面平面.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若二面角為直二面角，（i）求直線與平面所成角的大??；（ii）棱上是否存在點，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：見解析【考點】立體幾何綜合證明：（Ⅰ）連結(jié)，設，

因為四邊形為正方形，

所以為中點．

設為的中點，連結(jié)，

則，且．

由已知，且，

所以．

所以四邊形為平行四邊形．

所以，即．

因為平面，平面，

所以//平面．

（Ⅱ）由已知，，

所以．

因為二面角為直二面角，

所以平面平面．

所以平面，

所以．

四邊形為正方形，所以．

所以兩兩垂直．

以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系（如圖）．

因為，

所以，

所以．

（i）設平面的一個法向量為，

由得即

取，得．

設直線與平面所成角為，

則，

因為，所以．

即直線與平面所成角的大小為．

（ii）假設棱上存在點，使得平面．

設，則．

設，則，

因為，所以．

所以，所以點坐標為．

因為，所以．

又，所以

解得．

因為，所以上存在點，使得平面，且．

（另解）假設棱上存在點，使得平面．

設，則．

設，則，

因為，所以．

所以，所以點坐標為．

因為，所以．

設平面的一個法向量為，

則由，

得

取，得．

由，即，

可得解得．

因為，所以上存在點，使得平面，且．21.已知函數(shù)f（x）＝（x﹣2）ex﹣+x，其中∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當＞0時，討論函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）+2﹣，證明：使g（x）≥0在上恒成立的實數(shù)a能取到的最大整數(shù)值為1．參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）討論的范圍，判斷f（x）的符號，得出f（x）的單調(diào)性；（2）分別計算＝1和＝2時g（x）的最小值，判斷g（x）的最小值的符號得出結(jié)論．【詳解】（1）f（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣x+＝（x﹣1）（ex﹣），令f（x）＝0解得x＝ln，①若ln≤1，即0＜≤e，則f（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；②若ln＞1，即＞e，則當1＜x＜ln時，f′（x）＜0，當x＞ln時，f（x）＞0，∴f（x）在（1，ln）上單調(diào)遞減，在（ln，+∞）上單調(diào)遞增，（2）g（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣x+2，①當＝1時，g（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣x+2，＝xex﹣1，＝（x+1）ex，∴當x＜﹣1時，＜0，當x＞﹣1時，＞0，∴在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴的最小值為g（﹣1）＝﹣﹣1＜0，又當x＜0時，＜0，g（0）＝﹣1，g（ln2）＝2ln2﹣1＞0，∴存在唯一一個實數(shù)x0∈（0，ln2），使得g（x0）＝0，即x0＝1．∴g（x）在（﹣∞，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）的最小值為g（x0）＝+x0﹣﹣x0+2＝3﹣（+x0），∵0＜x0＜ln2，∴1＜＜2，∴+x0＜2+ln2＜3，∴g（x0）＝3﹣（+x0）＞0，∴當＝1時，g（x）≥0在R上恒成立．②當＝2時，g（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣2x+2，＝xex﹣2，g（x）＝（x+1）ex，由①可知在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，的最小值為g（﹣1）＝﹣﹣2＜0，且當x＜0時，＜0，g（ln2）＝2ln2﹣2＜0，g（1）＝e﹣2＞0，∴存在唯一一個實數(shù)x0∈（ln2，1），使得g（x0）＝0，即x0＝2．∴g（x）在（﹣∞，x0）上單調(diào)遞減，在