單個總體均值方差的檢驗

第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

第八章假設(shè)檢驗§8.1基本概念下面，我們討論不同于參數(shù)估計問題的另一類統(tǒng)計推斷問題——根據(jù)樣本提供的信息，檢驗總體的某個假設(shè)是否成立的問題。這類問題稱為假設(shè)檢驗。第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)檢驗參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗總體分布已知情形下，檢驗未知參數(shù)的某個假設(shè)總體分布未知情形下的假設(shè)檢驗問題先看一個例子。第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：某工廠生產(chǎn)

10

歐姆的電阻，根據(jù)以往生產(chǎn)的電阻實際情況，可以認為:電阻值X服從正態(tài)分布

N(,0.12)?，F(xiàn)在隨機抽取10個電阻,測得它們的電阻值為:9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10.0,10.5,10.1,10.2.

問:從樣本看，能否認為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值

=

10

歐姆?第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月●確定總體：記

X

為該廠生產(chǎn)電阻的測量值，則X

～

N(,0.12)；●明確任務(wù)：通過樣本推斷“X

的均值

μ

是否等于10歐姆”；●假設(shè)：“X

的均值μ=10”這一假設(shè)是否成立?I.如何建立檢驗模型第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月原假設(shè)的對立面是

“

X

的均值

μ≠10”，稱為

“對立假設(shè)”

或

“備擇假設(shè)”，記成

“H1:μ

≠10”。把原假設(shè)和對立假設(shè)合寫在一起，就是:H0：μ

=10；H1：μ≠10.在數(shù)理統(tǒng)計中，把

“

X的均值

μ

=10”

這樣一個待檢驗的假設(shè)記為

“原假設(shè)”

或

“零假設(shè)”,記成“H0：μ

=10”。第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月II.解決問題的思路因樣本均值是

μ

的一個很好的估計。所以，當

μ

=10，即原假設(shè)

H0成立時,應(yīng)比較??；如果該值過大,想必

H0

不成立。于是，我們就用的大小檢驗

H0

是否成立。

合理的做法應(yīng)該是：找出一個界限

c，第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月這里的問題是：如何確定常數(shù)

c呢？細致地分析:根據(jù)定理

6.4.1，有于是，當原假設(shè)

H0：μ=10

成立時，有第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月為確定常數(shù)

c，我們考慮一個很小的正數(shù)，如=

0.05。當原假設(shè)

H0:μ=10

成立時，有于是，我們就得到如下檢驗準則:第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月為原假設(shè)

H0

的拒絕域。第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月用以上檢驗準則處理我們的問題，所以，接受原假設(shè)

H0:μ=10。

第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月因為，當原假設(shè)是

H0:μ=10

成立時，所以，當

很小時，若

H0

為真(正確),則檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域是一小概率事件

(概率很小，為

)。前面我們曾提到：“通常認為小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生”。III.方法原理

那么，如果小概率事件發(fā)生了，即:發(fā)生,就拒絕接受

H0成立，即認為

H0不成立。第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月IV.兩類錯誤與顯著性水平

當我們檢驗一個假設(shè)

H0

時，有可能犯以下兩類錯誤之一：H0是正確的，但被我們拒絕了，這就犯了“棄真”的錯誤，即拋棄了正確假設(shè)；

H0

是不正確的，但被我們接受了，這就犯了“取偽”的錯誤，即采用了偽假設(shè)。因為檢驗統(tǒng)計量總是隨機的，所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯誤。第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月通常用

α

和

β

記犯第一、第二類錯誤的概率，即

在檢驗問題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯誤都總是不可避免的，并且減少犯第一類錯誤的概率，就會增大犯第二類錯誤的概率;反之亦然。所以，犯兩類錯誤的概率不能同時得到控制。第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.2正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗8.2.1單正態(tài)總體

N(,2)均值

的檢驗1.雙邊檢驗H0:μ

=

μ0；H1:μ≠μ0

假設(shè)

2已知，根據(jù)上節(jié)中的例1，當原假設(shè)

H0:μ

=

μ0成立時，有第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月在應(yīng)用上，2未知的情況是常見的。此時，和前面不同的是：常用樣本方差

S2代替未知的2。以上檢驗法稱作

U

檢驗法。第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

當

2未知時，根據(jù)基本定理6.4.1

，當原假設(shè)

H0:μ

=

μ0成立時，有此檢驗法稱作

t

檢驗法。第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月解：n=10,=0.05,0=10，

t10-1(

/2)=t9(0.025)=2.2622，例1(續(xù)例

8.1.1):假設(shè)2未知，檢驗所以，接受原假設(shè)H0:μ

=10.H0:

μ

=10；H1:

μ≠10.第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月上一段中，

H0:μ=μ0

;H1:μ≠μ0的對立假設(shè)為H1:μ

≠μ0,該假設(shè)稱為雙邊對立假設(shè)。2.單邊檢驗H0:μ=μ0;H1:μ

>μ0而現(xiàn)在要處理的對立假設(shè)為H1:μ

>μ0,稱為右邊對立假設(shè)。類似地，H0:μ

=μ0;H1:μ

<μ0中的對立假設(shè)H1:μ

<μ0，假設(shè)稱為左邊對立假設(shè)。右邊對立假設(shè)和左邊對立假設(shè)統(tǒng)稱為單邊對立假設(shè)，其檢驗為單邊檢驗。第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

例如：工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的數(shù)量指標服從正態(tài)分布，均值為

μ0；采用新技術(shù)或新配方后，產(chǎn)品質(zhì)量指標還服從正態(tài)分布，但均值為

。我們想了解“是否顯著地大于μ0”,即產(chǎn)品的質(zhì)量指標是否顯著地增加了。第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月如果μ=μ0，即原假設(shè)成立，則就不應(yīng)太大；反之，如果過大，就認為原假設(shè)不成立。在2已知情況下，根據(jù)定理6.4.1，知：當原假設(shè)成立時，單邊檢驗H0:μ=μ0;H1:μ

>μ0

第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月在2未知情況下，當原假設(shè)成立時，第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩,其質(zhì)量指標是繩子所承受的最大拉力，假定該指標服從正態(tài)分布，且該廠原來生產(chǎn)的繩子指標均值

μ0

=15公斤，采用一種新原材料后,廠方稱這種原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是說繩子所承受的最大拉力

μ比15公斤增大了。

為檢驗該廠的結(jié)論是否真實，從其新產(chǎn)品中隨機抽取50件，測得它們所承受的最大拉力的平均值為15.8公斤，樣本標準差S=0.5公斤。取顯著性水平

=0.01。問從這些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月解：問題歸結(jié)為檢驗如下假設(shè)H0:μ

=15;H1:μ>15(2未知)于是，從而，拒絕原假設(shè)，即認為新的原材料確實提高了繩子所能承受的最大拉力。第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月利用樣本方差

S

2是2的一個無偏估計，且(n-1)S2/

2~χ

2n-1

的結(jié)論。8.3.1單個正態(tài)總體方差的

χ

2檢驗

設(shè)

X1,X2,…,Xn為來自總體

N(

,2)

的樣本，

和

2未知，求下列假設(shè)的顯著性水平為

的檢驗。思路分析:1.H0:2=02；H1:2≠02

§8.3正態(tài)總體方差的檢驗第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月當原假設(shè)

H0:2=02成立時，S2和02應(yīng)該比較接近，即比值

S

2/02應(yīng)接近于1。所以,這個比值過大或過小

時，應(yīng)拒絕原假設(shè)。

合理的做法是:找兩個合適的界限

c1

和

c2

,●當c1<(n-1)S2/02<c2時，接受H0；●當(n-1)S2/02≤c1或(n-1)S2/02≥c2時,

拒絕

H0

。

第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月由于當原假設(shè)H0:2=02成立時，有上述檢驗法稱為χ2

檢驗法。c1與

c2的確定第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，當

H0:2=02成立時，有，此檢驗法也稱χ2

檢驗法。2.H0:2≤02；H1:2>02

第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：某公司生產(chǎn)的發(fā)動機部件的直徑(單位:cm)服從正態(tài)分布，并稱其標準差0=0.048?，F(xiàn)隨機抽取5個部件，測得它們的直徑為

1.32,1.55,1.36,1.40,1.44.取=0.05，問:(1).能否認為該公司生產(chǎn)的發(fā)動機部件的直徑的標準差確實為=0?(2).能否認為

≤0?解:

(1).的問題就是檢驗

H0:2=02;H1:2≠02.其中，n=5，=0.05，0=0.048.第29頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月故，拒絕原假設(shè)

H0，即認為部件直徑標準差不是

0.048

cm。經(jīng)計算，