空間向量判斷二面角是銳角或鈍角的方法

空間向量判斷二面角是銳角或鈍角的方法法向量一個(gè)指向內(nèi)部，一個(gè)指向外部，此時(shí)兩法向量所成的角與二面角的平面角相等。判斷方法是，當(dāng)向量AB與兩個(gè)法向量的數(shù)量積符號(hào)相同時(shí)，如圖（6）所示，平面的法向量都指向二面角內(nèi)部或外部，兩法向量所成的角與二面角的平面角互補(bǔ)；當(dāng)向量AB與兩個(gè)法向量的數(shù)量積符號(hào)不同時(shí)，如圖（7）所示，平面的法向量一個(gè)指向內(nèi)部，一個(gè)指向外部，兩法向量所成的角與二面角的平面角相等。這種方法更加可靠，避免了判斷法向量指向的困難。法向量有著重要的幾何意義，它是垂直于平面的向量。對(duì)于一個(gè)平面來(lái)說(shuō)，存在兩個(gè)法向量，一個(gè)指向內(nèi)部，一個(gè)指向外部。當(dāng)向量AB與兩個(gè)法向量的數(shù)量積符號(hào)相同時(shí)，兩法向量所成的角與二面角的平面角相等；當(dāng)向量AB與兩個(gè)法向量的數(shù)量積符號(hào)相異時(shí)，兩法向量所成的角與二面角的平面角互補(bǔ)。簡(jiǎn)單總結(jié)就是同等異補(bǔ)。下面具體舉兩個(gè)例子說(shuō)明方法的應(yīng)用。例1：如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°。（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。（1）由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP，CD⊥PD。由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD。又AB∥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。（2）在平面PAD內(nèi)做PF⊥AD，垂足為F。由（1）可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD。以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸正方向，|AB|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz。由（1）及已知可得A(2,2,2)，P(0,0,0)，B(0,1,0)，C(-2,2,2)。所以PC=(-2,2,-2)，CB=(2,0,0)，PA=(2,0,-2)，AB=(0,1,0)。設(shè)n=(x,y,z)是平面PCB的法向量，則n·PC=-x+y-z=0，即，2x=n·CB?？扇=(-1,-2,2)。設(shè)m=(x,y,z)是平面PAB的法向量，則m·PA=x-z=0，即，y=m·AB。可取m=(1,0,1)。由于AC=(-2,1,-2)，所以AC·n=3，AC·m=-3。由同等異補(bǔ)的性質(zhì)可知，兩法向量所成的角就是二面角的平面角。則cos<n,m>=-3/√14，所以二面角A-PB-C的余弦值為-3/√14。例2：如圖三棱錐ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1為菱形，AB⊥B1C1。（Ⅰ）證明：AC=AB1。首先，由于BB1C1為菱形，所以B1C1∥BC。又因?yàn)锳B⊥B1C1，所以AB垂直于平面B1C1C。設(shè)平面B1C1C的法向量為n，則n垂直于B1C1C，且與AB垂直，即n∥AB1。又因?yàn)锳C