2023年數(shù)學(xué)建模學(xué)生面試問(wèn)題

學(xué)生面試問(wèn)題

摘要

本文研究的學(xué)生面試問(wèn)題，是在給定學(xué)生數(shù)量的前提下，按照每名學(xué)生的面試組

由四名老師構(gòu)成，且各個(gè)學(xué)生的面試組兩兩不完全相似的規(guī)定，研究需要的老師數(shù)量,

并求出面試分組方案。為了保證面試的I公平性，組織者還提出了四條規(guī)定，需要考慮

除Y2外使其他三條規(guī)定盡量滿(mǎn)足歐I分派方案。

第一問(wèn)是已知學(xué)生數(shù)量為N,求任意兩個(gè)面試組最多只有一名老師相似的最小老

師數(shù)量，我們將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一種0-1規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)了優(yōu)化搜索措施，通過(guò)

MATLAB編程實(shí)現(xiàn)了至少M(fèi)的近似解。

在第二問(wèn)的處理中，首先對(duì)Y1-Y4四個(gè)規(guī)定進(jìn)行了分析，并分別建立了對(duì)應(yīng)的I

量化指標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，建立了一種多目的規(guī)劃模型。針對(duì)學(xué)生數(shù)較多，模型求解運(yùn)

算量大歐I問(wèn)題，尤其設(shè)計(jì)了優(yōu)化算法，減少了搜索中日勺運(yùn)算量。同步，通過(guò)討論均衡

與公平性的含義，以分目的為基礎(chǔ)，建立了綜合評(píng)價(jià)目的，以此為指導(dǎo)，使搜索算法

更具有針對(duì)性。計(jì)算成果表明，分派方案滿(mǎn)足Y1-Y4的狀況是非常好的

第二問(wèn)中還運(yùn)用組合數(shù)學(xué)中區(qū)組設(shè)計(jì)的理論，論證了N=379、M=24時(shí)不存在完

全滿(mǎn)足均衡和公平規(guī)定的理想分派方案。

第三問(wèn)中，將老師組提成文、理兩類(lèi)，首先修改了問(wèn)題一中的對(duì)應(yīng)模型和算法，

給出了求解成果。在第二問(wèn)中提出了啟發(fā)式一混合交叉算法，從模擬成果看，分派方

案比原第二問(wèn)中的方案要差些，但總體上在各個(gè)指標(biāo)上滿(mǎn)足的狀況也是很好於J。

第四問(wèn)首先分析了均勻性與面試公平性的關(guān)系，并提出了公平率日勺評(píng)價(jià)指標(biāo)。為

了處理學(xué)生與面試?yán)蠋熡刑厥怅P(guān)系，及個(gè)別老師打分過(guò)于苛刻或?qū)捤扇丈讍?wèn)題，本文提

出了規(guī)避的處理措施。

關(guān)鍵詞：多目的規(guī)劃算法評(píng)價(jià)指標(biāo)

1.問(wèn)題重述

某高校采用專(zhuān)家面試的方式進(jìn)行自主招生錄取工作。通過(guò)初選合格進(jìn)入面試的I

考生有N人，擬聘任老師M人進(jìn)行面試。每位學(xué)生要分別接受“面試組”的每一位

老師的單獨(dú)面試。每個(gè)面試組由4名老師構(gòu)成。各位老師獨(dú)立地對(duì)考生提問(wèn)并根據(jù)其

回答問(wèn)題的狀況給出評(píng)分。為了保證面試工作的I公平性，組織者提出如下規(guī)定：

Y1：每位老師面試的學(xué)生數(shù)量應(yīng)盡量均衡；

Y2：面試不一樣考生的“面試組”組員不能完全相似；

Y3：兩個(gè)考生的“面試組”中有兩位或三位老師相似的情形盡量的少；

Y4：任意兩位老師面試的兩個(gè)學(xué)生集合中出現(xiàn)相似學(xué)生的I人數(shù)盡量少。

請(qǐng)回答如下問(wèn)題:

問(wèn)題一：設(shè)考生數(shù)N已知，規(guī)定在滿(mǎn)足條件二的狀況下，闡明聘任老師數(shù)M至少分

別應(yīng)為多大，才能做到任兩位學(xué)生日勺“面試組”都沒(méi)有兩位以及三位面試?yán)蠋熛嗨频?/p>

情形。

問(wèn)題二：請(qǐng)根據(jù)條件一至條件四的規(guī)定建立學(xué)生與面試?yán)蠋熤g合理日勺分派模型，并

就N=379,M=24的情形給出每位老師面試學(xué)生名單的|詳細(xì)分派方案，并分析該方

案滿(mǎn)足條件一至條件四日勺狀況。

問(wèn)題三：假設(shè)面試?yán)蠋熤欣砜婆c文科的老師各占二分之一，并且規(guī)定每位學(xué)生

接受兩位文科與兩位理科老師的面試，請(qǐng)?jiān)诖思僭O(shè)下分別回答問(wèn)題一與問(wèn)題二。

問(wèn)題四：請(qǐng)討論考生與面試?yán)蠋熤g分派的均勻性和面試公平性的關(guān)系。為了

保證面試的公平性，除了組織者提出的規(guī)定外，你們認(rèn)為尚有哪些重要原因需要考慮,

試給出新的分派方案或提議。

2.模型假設(shè)

根據(jù)題意，可以進(jìn)行如下假設(shè)：

1.所有參與面試的考生在建模中不作辨別，認(rèn)為是完全同樣的；

2.所有面試?yán)蠋熞舱J(rèn)為是沒(méi)有差異，完全同樣的；

3.只考慮面試分組，不考慮時(shí)間安排。

4.制定分派方案時(shí)，只考慮盡量使老師交叉混合，而不考慮學(xué)生的I主觀(guān)規(guī)定。

3.符號(hào)約定

M老師總數(shù)

N學(xué)生總數(shù)

N,碰到兩位老師相似狀況的I學(xué)生人數(shù)

N3碰到三位老師相似狀況的學(xué)生人數(shù)

N救敏感學(xué)生的人數(shù)

N.吃虧學(xué)生的人數(shù)

幸運(yùn)學(xué)生的人數(shù)

N幸

X第，?個(gè)學(xué)生假如分派給第/位老師面試則此值為1,否則為0

/第i位老師面試日勺學(xué)生人數(shù)

i

I單獨(dú)一位老師面試學(xué)生人數(shù)的最大值

max

R評(píng)價(jià)每位老師面試人數(shù)均勻性日勺指標(biāo)

T兩位老師共同面試人數(shù)的最大值的最小值

H公平率

京所有老師之間相似的學(xué)生個(gè)數(shù)的均值

a2所有老師之間相似的學(xué)生個(gè)數(shù)的方差

4.模型建立和分析

4.1問(wèn)題一

4.1.1分析與建模

無(wú)論是最多只有一位老師相似還是兩位老師相似，該問(wèn)題的處理都可以當(dāng)作滿(mǎn)

足一定的I約束規(guī)定，使得在給定時(shí)學(xué)生數(shù)下，尋求至少歐I聘任老師數(shù)。因此，我們把

問(wèn)題抽象為一種規(guī)劃模型來(lái)尋優(yōu)。

（1）最多只有一位老師反復(fù)的狀況

設(shè)x（x為0,1變量），取值為1時(shí)表達(dá)第i個(gè)學(xué)生分派給第7位老師面試，取值為0時(shí)

Uu

表達(dá)第，個(gè)學(xué)生不分派給第，位老師面試，滿(mǎn)足問(wèn)題規(guī)定的約束首先是每個(gè)學(xué)生面試

組的組員數(shù)為4,并且使得任意兩個(gè)學(xué)生日勺面試組最多只有一名老師反復(fù)。目的是使

聘任老師數(shù)M最小，即

MinM

x4-x+x+x=4Vi=l,2,???，N

ikijisil（4.1）

<X+X+X+X<44，，/2,/=1,2,…,"且各不相同

ikijhkhj

廿XO=1,2,…,N,f

x=0或

iu

針對(duì)該模型，我們?cè)O(shè)計(jì)了尋優(yōu)算法，采用Matlab編程實(shí)現(xiàn)。該算法的流程圖如

圖1所示。

是

圖1尋優(yōu)算法流程圖

表1列出了部分?jǐn)?shù)值，圖2是該數(shù)值的可視化。

表1任兩位學(xué)生的）“面試組”都沒(méi)有兩位老師相似時(shí)至少的）老師數(shù)

學(xué)生至少老師學(xué)生至少老師學(xué)生至少老師學(xué)生至少老師

人數(shù)人數(shù)人數(shù)人數(shù)人數(shù)人數(shù)人數(shù)人數(shù)

1461116-171624-2720

277?91218?191728-3021

3910?1313201831?3222

4?51014?151521~23193323

18

40246fl101214161820

學(xué)生人數(shù)

圖2任兩位學(xué)生的“面試組”都沒(méi)有兩位老師相似時(shí)至少的老師數(shù)

（2）最多只有兩位老師反復(fù)的狀況

同（1）中x的含義相似，（4.1）式中第一種約束仍然不變，只是使得任意兩個(gè)

U

學(xué)生的I面試組最多只有兩名老師反復(fù)。

MinM

x+x+x+x-4X/i=l,…，N

kjisi(42)

x+x+x+x+x+x<6VA",s,/=L…,M且各不相同.

iifilieljU

Vi,/z=l,…，N

x=0或

表2列出了部分?jǐn)?shù)值，圖I3是數(shù)值的可視化。

表2任兩位學(xué)生的“面試組”都沒(méi)有三位老師相似時(shí)至少的老師數(shù)

學(xué)生至少老學(xué)生人至少老師學(xué)生人至少老師學(xué)生人至少老師

人數(shù)師數(shù)人數(shù)數(shù)人數(shù)數(shù)人數(shù)

人數(shù)

I420~2611141-14317310-35823

2~3627?4112144-16518359?40424

4~7742-5513166-19519

8~14856-7514196-22920

15-18976-10515230-26321

1910106?14016264~30922

24

Z2

20

18

16

514

屋

M12

10

8

6

學(xué)生入題

圖3任兩位學(xué)生的“面試組”都沒(méi)有三位老師相似時(shí)至少的老師數(shù)

4.1.2成果分析

從圖2、圖3可以看出，伴隨學(xué)生人數(shù)增長(zhǎng)，至少面試?yán)蠋煍?shù)是增多的；并且伴

隨老師數(shù)增多，學(xué)生人數(shù)的變化率是加緊的，這種趨勢(shì)是比較符合直觀(guān)經(jīng)驗(yàn)的。但在

圖3數(shù)據(jù)中也發(fā)既有個(gè)別不滿(mǎn)足這種狀況日勺點(diǎn)。對(duì)于原因尚未找到，有也許是算法精

度的問(wèn)題。并且每個(gè)至少面試?yán)蠋煍?shù)上，均有一種學(xué)生數(shù)的“持續(xù)期”。

4.2問(wèn)題二

4.2.1理想的分派方案的存在性分析

這里我們認(rèn)為理想的I分派應(yīng)當(dāng)是同步嚴(yán)格滿(mǎn)足題中四條規(guī)定的分派。通過(guò)對(duì)

Y1-Y4的分析，我們發(fā)現(xiàn)這樣的分派方案就是滿(mǎn)足平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)規(guī)定的某種構(gòu)

形。而具有3,匕廠(chǎng),七九)-構(gòu)形的平衡區(qū)組設(shè)計(jì)的)必要條件如定理u>i：

定理1對(duì)于一種平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)，有

bk=r(fc-1)=X(v-1)(43)

當(dāng)我們將學(xué)生與老師間的某個(gè)理想分派方案當(dāng)作一種平衡區(qū)組設(shè)計(jì)成果，則學(xué)生

數(shù)八老師數(shù)。、任兩位學(xué)生的“面試組”中相似的個(gè)數(shù)入以及每位老師面試的學(xué)生

人數(shù)上應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足(4.3)。我們以學(xué)生數(shù)379,老師數(shù)24進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)同步滿(mǎn)足(4.3)

式兩個(gè)方程的整數(shù)上是不存在歐I。這就闡明，并不是在任意給定的學(xué)生數(shù)和老師數(shù)下

均存在滿(mǎn)足Yl~Y4的理想方案。通過(guò)以上分析可知，當(dāng)N=379,M=24時(shí)，同步嚴(yán)

格滿(mǎn)足四條原則日勺理想分派是不存在的?；谏鲜龇治?，可知四條原則不能同步嚴(yán)格

滿(mǎn)足。那么，若僅以其中某一原則與否嚴(yán)格滿(mǎn)足作為衡量組員交叉混合好壞的唯一根

據(jù)，可行嗎？我們?cè)谡撟C絕對(duì)理想的分派與否存在的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：這四條原則間存在

著某些內(nèi)在的微妙的聯(lián)絡(luò)，僅以一條原則作為衡量根據(jù)，一味追求單一原則的嚴(yán)格滿(mǎn)

足，將會(huì)使其他原則的滿(mǎn)足程度發(fā)生對(duì)應(yīng)的變化，這種變化一般是向著不理想的方向

發(fā)展的I。因此，我們應(yīng)當(dāng)將四條原則綜合考慮，尋找一種使它們都盡量滿(mǎn)足的規(guī)則。

基于上述分析，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下模型。

根據(jù)對(duì)題目中組織者提出日勺規(guī)定的分析，發(fā)現(xiàn)Y2這一規(guī)定實(shí)際上是對(duì)學(xué)生和老

師分派模型作了強(qiáng)制性的限制，可以作為模型中日勺約束來(lái)考慮。而Yl、Y3、Y4條件

體現(xiàn)了組織者對(duì)面試工作日勺均衡性和公平性的規(guī)定。而根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)判斷，均衡性和

公平性往往是互相矛盾的兩個(gè)方面，因此這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是一種多目的規(guī)劃問(wèn)題。建

立模型的I關(guān)鍵首先需要通過(guò)對(duì)規(guī)定的理解，對(duì)每一種優(yōu)化目的進(jìn)行量化，同步還需要

考慮各個(gè)目的對(duì)整個(gè)分派方案的作用關(guān)系。

4.2.2對(duì)每一種評(píng)價(jià)原則的I量化

(1)對(duì)于題目給出的條件Y1

每位老師面試的人數(shù)完全均衡，是指分派方案中每位老師面試的人數(shù)完全相等。

不過(guò)在多種目的的約束下，完全到達(dá)這個(gè)目的是很難的。因此盡量均衡，也就要盡量

使每位老師面試人數(shù)與所有老師面試人數(shù)的最大值之比應(yīng)靠近lo用一種量化歐I指標(biāo)

來(lái)表達(dá)，我們選用上述比值與1之差的平方和獲得最小值，即

R=Min￡(yL-—1)2

max

⑵對(duì)于題目給出的條件Y2

不一樣考生的“面試組”組員不能完全相似，這是必須滿(mǎn)足的約束條件。對(duì)于那

些不一樣學(xué)生的“面試組”的四位老師完全相似的狀況，不符合此條件，可以直接排

除在本題的思索范圍之外，不進(jìn)行考慮。

(3)對(duì)于題目給出的I條件Y3

用任意兩位學(xué)生面試組中三位老師相似的組合數(shù)N與任意兩名學(xué)生面試分派的

3

總組合數(shù)N之比，來(lái)原則化有三位老師相似的情形；用任意兩位學(xué)生面試組中兩位老

師相似的組合數(shù)N與任意兩名學(xué)生面試分派的總組合數(shù)N之比，來(lái)原則化有兩位老師

2

相似的情形?？梢圆捎脙煞N方式來(lái)體現(xiàn)滿(mǎn)足條件Y3日勺規(guī)定。一種是采用優(yōu)先序的措

施，另一種是采用兩個(gè)指標(biāo)加權(quán)和來(lái)綜合兩個(gè)方面。從公平性的角度來(lái)看，我們認(rèn)為

優(yōu)先滿(mǎn)足使三位老師相似的狀況盡量少，在此基礎(chǔ)上深入規(guī)定兩位老師相似的狀況盡

量少，更能體現(xiàn)公平性的I原則。因此，在背面的詳細(xì)方案計(jì)算中，為了分派搜索中的I

尋優(yōu)，雖然采用兩個(gè)指標(biāo)的加權(quán)和，單是將滿(mǎn)足三個(gè)指標(biāo)時(shí)選的較大。

(4)對(duì)于題目給出的條件Y4

雖然用任意兩個(gè)老師共同面試的學(xué)生個(gè)數(shù)，中的I最大值可以反應(yīng)Y4的規(guī)定，但

考慮到雖然相似的max［值，對(duì)不一樣大小的I學(xué)生總數(shù)，它反應(yīng)公平性日勺程度是不一

樣樣的，因此，這里采用)除以總學(xué)生數(shù)來(lái)反應(yīng)Y4這一規(guī)定，并使該指標(biāo)盡量小，

即

max/

T=Min(-'Z)

4.2.3建立多目的規(guī)劃模型

對(duì)4.2.1提出的多種指標(biāo)，應(yīng)進(jìn)行綜合考慮。一種可行的措施是將幾種指標(biāo)按照

不一樣的優(yōu)先級(jí)進(jìn)行排序。我們選用歐I優(yōu)先序依次為z,z,z,z,如下模型所示:

1234

zmin/?=2(2—1)2

1

i=1max

.N

zmin―卜

2N

分目的(4.3)

,N

zmin―2-

3N

(max.

zmin-------it

4

z=Xz+\z+'z+'z

I1223344

綜合目的：X>x>x>x

1234

九+九+九+九=1

1234

X4-x+x+x=4Vi=l,…,N

S.t.icisi

0,加,/=1「..,知且各不相同

x=0或

4.2.4模型求解的算法

(1)模型的思緒設(shè)計(jì)

由前文，絕對(duì)理想歐I分派是不存在的I,僅僅追求單一原則嚴(yán)格滿(mǎn)足的作法也是不

可行的，那么，尋找一種使四條原則都盡量滿(mǎn)足的規(guī)則是目前的關(guān)鍵。

一般，人們?cè)诎才旁搶W(xué)生面試時(shí)，總是根據(jù)前幾次面試日勺安排狀況來(lái)決定本次面

試?yán)蠋煹姆峙?。因此，我們從如下兩個(gè)方面出發(fā)進(jìn)行思緒設(shè)計(jì)：

*假設(shè)目前已安排了i-1次面試，在安排第i次面試時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)根據(jù)每個(gè)老師在前

i-1次面試中與學(xué)生會(huì)面次數(shù)由多到少的次序，對(duì)老師進(jìn)行排序。在制定分派計(jì)劃時(shí),

應(yīng)以此次序?qū)蠋熂右钥紤]。

由于，假如先安排那些同其他老師會(huì)面次數(shù)少時(shí)人，一旦他們進(jìn)行面試學(xué)生后，

再安排那些與學(xué)生會(huì)面次數(shù)較多的人時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)無(wú)論這些人被分派到哪一組，均有

也許同已見(jiàn)過(guò)多次面日勺老師分在同一組。為防止以上狀況發(fā)生，我們應(yīng)優(yōu)先考慮分派

那些同學(xué)生會(huì)面次數(shù)較多的人。

*在老師的優(yōu)先排序方案確定之后，就可以依次對(duì)各個(gè)老師的分派加以考慮了。假

定前”1個(gè)老師已被編入面試小組內(nèi)，由于第，名老師面試不一樣日勺學(xué)生產(chǎn)生的效果

是不一樣的，而效果的好壞又是以四條原則的滿(mǎn)足程度來(lái)衡量的。因此，通過(guò)對(duì)不一

樣面試四條原則滿(mǎn)足程度的對(duì)比，可確定究竟將其面試哪一種學(xué)生。由于這四條原則

對(duì)某個(gè)老師來(lái)說(shuō)都是限制性的。假如我們但愿以四條原則的綜合滿(mǎn)足程度來(lái)描述交叉

混合好壞的I話(huà)，則這種綜合滿(mǎn)足程度可看作是各約束條件的I一種方面。于是我們可以

通過(guò)比較各面試小組對(duì)第i名老師綜合滿(mǎn)足程度的大小來(lái)決定該組老師應(yīng)去哪個(gè)學(xué)生

的面試小組。對(duì)某個(gè)老師來(lái)說(shuō)，他最終被編入的面試組必是對(duì)他綜合滿(mǎn)足程度最大於J

組。

(2)狀態(tài)變量底)定義

由于該模型在求解過(guò)程中，將某位老師編入哪一位學(xué)生面試組取決于前幾次面試

的安排狀況，故模型求解的I關(guān)鍵就在于怎樣存儲(chǔ)和運(yùn)用前幾次面試的I安排日勺的I信息。

在這里，我們定義“目前狀態(tài)”為前幾次面試的安排狀況。重要包括如下幾種方面。

?前幾次面試日勺安排中，每位老師面試學(xué)生的個(gè)數(shù)。

它是確定面試?yán)蠋焹?yōu)先排序準(zhǔn)則及由會(huì)面熟引起的盡量滿(mǎn)足目的為Y1的重要原

因。/表達(dá)第i個(gè)老師幾次面試學(xué)生的次數(shù)(i=1,2,……,24)。

*前幾次面試的I安排中，任意兩面試?yán)蠋熤g肚)相似的學(xué)生次數(shù)。

它是確定面試?yán)蠋熋嬖嚹莻€(gè)學(xué)生的重要原因。程序中，通過(guò)數(shù)組/＜匹24)

來(lái)存儲(chǔ)。T表達(dá)老師i與老師j在前幾次面試中的相似的I學(xué)生次數(shù)。

*兩個(gè)考生的“面試組”中有兩位或三位老師相似的情形

判斷方案優(yōu)劣的I一條原則?？梢宰鳛榉桨傅膫溥x原則。

(3)流程框圖

圖4是整個(gè)算法的框圖，它包括了對(duì)面試組的安排以及多種記錄指標(biāo)的計(jì)算輸出。

根據(jù)算法，我們用MATLAB7.0編制了程序，見(jiàn)附件1.m,2.m。

安排面試?yán)蠋煏r(shí)應(yīng)以各組人數(shù)盡量均衡性、公平性為重要原則。

圖4面試分組程序流程圖

(4)算法環(huán)節(jié):

?假設(shè)進(jìn)行了第i個(gè)學(xué)生的面試，判斷i與否到達(dá)規(guī)定，假如i=379則結(jié)束，否

則繼續(xù)判斷;

?依次選擇面試?yán)蠋熛嗨苽€(gè)數(shù)至少的排序進(jìn)行選擇，假如選擇完畢，則任意兩

個(gè)學(xué)生面試?yán)蠋熛嗨苽€(gè)數(shù)增長(zhǎng)1;

?計(jì)算每位面試?yán)蠋煹拿嬖噷W(xué)生數(shù)量，并按照由小到大的次序進(jìn)行優(yōu)選選擇排

序，選擇4位老師作為該學(xué)生的|面試?yán)蠋煟?/p>

?計(jì)算所有老師之間相似學(xué)生次數(shù)日勺方差；作為深入選擇歐I根據(jù)；

?找到最佳日勺一組老師作為該學(xué)生的I面試?yán)蠋?，直至滿(mǎn)足所有面試規(guī)定結(jié)束；

4.2.5模型成果

?Y1滿(mǎn)足的狀況

每個(gè)老師的面試學(xué)生個(gè)數(shù)T(1WiW24)如表3所示，圖5為每個(gè)老師的面試學(xué)生

個(gè)數(shù)的條形圖。

表3每個(gè)老師的面試學(xué)生個(gè)數(shù)

老師序面試學(xué)生個(gè)數(shù)老師序號(hào)面試學(xué)生個(gè)老師序號(hào)面試學(xué)生個(gè)

號(hào)數(shù)數(shù)

1639631763

26310631863

36311631963

46312632063

56313682164

66314642263

76315642364

86316632463

圖5所有老師面試學(xué)生個(gè)數(shù)的記錄圖

?Y2滿(mǎn)足的)狀況

兩個(gè)考生的I“面試組”中有零位、一位、兩位、三位、四位老師相似日勺指標(biāo)值如

表4所示：

表4相似老師數(shù)量的個(gè)數(shù)的組數(shù)

相似老師數(shù)量的個(gè)數(shù)totlt2t3t4

該組數(shù)的比值0.4640.4150.1200.0010

可以看出該分派方案對(duì)滿(mǎn)足沒(méi)有三位老師相似的J狀況是非常好的，但對(duì)兩位相似

的狀況有一定程度的不滿(mǎn)足，不過(guò)從綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)看還是比較優(yōu)的。

?Y4滿(mǎn)足的狀況

任意兩個(gè)老師之間相似的I學(xué)生個(gè)數(shù)，為一種23X24的三角矩陣T(14j<i<24)

（見(jiàn)附錄1）。對(duì)Y4滿(mǎn)足的評(píng)價(jià)指標(biāo)值為T(mén)=0.032。

可以看出24位老師面試的學(xué)生數(shù)是相稱(chēng)均勻的.

426模型的成果分析

分派方案如下：S（I4iV379,14j<4）為表達(dá)第i個(gè)學(xué)生的第j個(gè)面試?yán)蠋煛?/p>

（見(jiàn)附錄2）

（1）公共學(xué)生數(shù)日勺評(píng)估

從以上成果我們可以看出，最小公共學(xué)生數(shù)目為7,最大數(shù)為12,因此公共學(xué)生數(shù)是

很小的I,并且最大公共學(xué)生數(shù)為12的只有1組?？梢?jiàn)公共學(xué)生數(shù)是令人滿(mǎn)意的。

（2）公共老師數(shù)的評(píng)估

本模型最終止果中，雖然沒(méi)能保證公共老師數(shù)沒(méi)有，但從會(huì)面次數(shù)成果記錄表來(lái)看，

各老師之間的會(huì)面次數(shù)是比較合理的，沒(méi)有出現(xiàn)兩位老師、三位老師共同面試次數(shù)過(guò)

多區(qū)）狀況。如表4所示。

（3）老師工作量

在對(duì)成果的I分析中，我們發(fā)現(xiàn)，老師面試次數(shù)最大的為64,最小日勺為63,不一

樣老師之間工作量最大之差不超過(guò)1,因此老師工作量非常均衡的。

綜上所述，該分派方案對(duì)Y1-Y4的滿(mǎn)足狀況是比很好的I。

4.3問(wèn)題三

在對(duì)老師進(jìn)行編組時(shí)，作如下規(guī)定：1-12位文科老師，13-24位理科老師；其他

條件見(jiàn)以上模型。

4.3.1對(duì)問(wèn)題一歐I模型的重新修改

面試?yán)蠋熖岢晌?、理兩?lèi)后，模型與4.1.1問(wèn)題一中最大的不一樣是規(guī)定一種學(xué)

生的面試方案中必須包括兩個(gè)文科老師和兩個(gè)理科老師，故約束上需要修改。改善后

的模型為

MinM

x+x+x+x=4Vi=1,…,N,(A,)是文科老師是理科老師)

*i?/

x+x+x+x+x+x<6VZ,j,s,/=l,…,M且各不相同

kii/*IfH

Vi,/z=l,…，N

X-0或

4.3.2對(duì)問(wèn)題一的模型的求解成果及分析

表5任兩位學(xué)生的“面試組”都沒(méi)有兩位老師相似時(shí)至少的老師數(shù)

學(xué)生至少老師學(xué)生至少老師學(xué)生至少老師

人數(shù)人數(shù)人數(shù)人數(shù)人數(shù)人數(shù)

14101424-2622

2811-141627-3324

3?51015?1718

6?91218020

24

22

一

一

20

18

一

1

6

一

1

4

一

1

21

05101520253035

學(xué)生入敷

圖6任兩位學(xué)生日勺“面試組”都沒(méi)有兩位老師相似時(shí)至少的老師

表6任兩位學(xué)生的“面試組”都沒(méi)有三位老師相似時(shí)至少的I老師數(shù)

學(xué)生至少老師學(xué)生人至少老師學(xué)生人至少老師

人數(shù)人數(shù)數(shù)人數(shù)數(shù)人數(shù)

I419-3612130~18220

2~3637-6314183-23022

4~12864?11216231-31324

13?1810113-12918

2，

-

2

-,，

2

.。

1

8

1

6

壕1

Y

后4

1

W

2

1

O

8

6

350

300

250

200

150

100

數(shù)

學(xué)生A

數(shù)

的老師

時(shí)至少

師相似

三位老

都沒(méi)有

組”

“面試

學(xué)生的

任兩位

圖7

。

結(jié)論

變化

似的

.1.2類(lèi)

有與4

果具

解成

，求

看出

可以

勝|(zhì)成果

題3

3問(wèn)

4.3.

)

123,4

量=0,

的數(shù)

相似

老師

、三位

、兩位

一位

零位、

”中有

試組

的“面

考生

兩個(gè)

。

所示

如表7

的組數(shù)

的個(gè)數(shù)

師數(shù)量

相似老

表7

t4

t3

t2

tl

to

的個(gè)數(shù)

師數(shù)量

相似老

4