廣東省揭陽市普寧光明中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省揭陽市普寧光明中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知A，B，C點(diǎn)在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距離為1，則球O的表面積為（）A．12πB．16πC．36πD．20π參考答案：A考點(diǎn)：球的體積和表面積．

專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即為A、B、C三點(diǎn)所在圓的直徑，取BC的中點(diǎn)M，連接OM，則OM即為球心到平面ABC的距離，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，則OA可求．解答：解：如圖所示：取BC的中點(diǎn)M，則球面上A、B、C三點(diǎn)所在的圓即為⊙M，連接OM，則OM即為球心到平面ABC的距離，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA=，即球的半徑為，∴球O的表面積為12π．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查球的有關(guān)計(jì)算問題，點(diǎn)到平面的距離，是基礎(chǔ)題．2.設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，則CuM=A．U

B．{1,3,5}

C．{3,5,6}

D．{2,4,6}

參考答案：C，故選C.3.若,則滿足等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案：A4.給出下列命題，其中錯(cuò)誤的是A．在中，若，則B．在銳角中，C．把函數(shù)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，可以得到函數(shù)的圖象D．函數(shù)最小正周期為的充要條件是參考答案：D略5.設(shè)命題：曲線在點(diǎn)處的切線方程是：；命題:是任意實(shí)數(shù)，若，則，則（

）

A.“或”為真

B.“且”為真

C.假真

D.，均為假命題參考答案：A6.已知兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓的方程是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程因?yàn)橹悬c(diǎn)為圓心，為半徑，

所以，圓的方程是

故答案為：D7.函數(shù)y=3﹣2sin2x的最小正周期為（）A． B．π C．2π D．4π參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用降冪法化簡函數(shù)y，即可求出它的最小正周期．【解答】解：∵函數(shù)y=3﹣2sin2x=3﹣2?=2+cos2x，∴函數(shù)y的最小正周期為T==π．故選：B．8.在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和大于的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A設(shè)這兩個(gè)數(shù)為x，y，則，表示邊長為1是正方形；若這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和大于，則，表示的可行域如圖，陰影部分的面積為，所以這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和大于的概率為。9.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D10.（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限參考答案：C【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】：化簡復(fù)數(shù)為a+bi（a、b∈R）的形式，可以確定z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于的象限．解：復(fù)數(shù)=故選C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最小值為

.參考答案：312.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若，，則m+n的取值范圍為．參考答案：[2，+∞）【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】由三點(diǎn)共線時(shí)，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，這三點(diǎn)為終點(diǎn)的三向量，其中一向量可用另外兩向量線性表示，其系數(shù)和為1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三點(diǎn)共線，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào)，故m+n的取值范圍為[2，+∞），故答案為：[2，+∞）13.函數(shù)的對(duì)稱軸的集合為

參考答案：由，得，即對(duì)稱軸的集合為。14.不等式對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為

參考答案：215.向量=（3，4）與向量=（1，0）的夾角大小為．參考答案：arccos【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由已知向量的坐標(biāo)結(jié)合數(shù)量積求夾角公式得答案．【解答】解：∵向量=（3，4）與向量=（1，0），∴cos＜＞=．∴＜＞=arccos．故答案為：arccos．16.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，且，則Sn最大時(shí)n的值是

．參考答案：9設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，即，得到，所以，由可知，故當(dāng)時(shí)，最大．17.已知，則參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.

（Ⅰ）求證：平面⊥平面;（Ⅱ）求二面角的大小;（Ⅲ）求三棱錐的體積.參考答案：本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關(guān)知識(shí)，考察思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力。解析：解法一：（Ⅰ）∵∴，又∵∴（Ⅱ）取的中點(diǎn)，則，連結(jié)，

∵，∴，從而作，交的延長線于，連結(jié)，則由三垂線定理知，，從而為二面角的平面角直線與直線所成的角為∴在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小為（Ⅲ）由（Ⅱ）知，為正方形∴解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）由題意有，設(shè)，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得平面的法向量取為設(shè)與所成的角為，則顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角大小為（Ⅲ）取平面的法向量取為，則點(diǎn)A到平面的距離∵，∴19.設(shè)向量

（1）若與垂直，求的值；

（2）求的最大值;（3）若，求證：∥.參考答案：20.（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，，∠AFE=60o，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=2，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；參考答案：21.（本小題滿分12分）為了解某校高三學(xué)生質(zhì)檢數(shù)學(xué)成績分布，從該校參加質(zhì)檢的學(xué)生數(shù)學(xué)成績中抽取一個(gè)樣本，并分成5組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖．若第一組至第五組數(shù)據(jù)的頻率之比為，最后一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)是6．（Ⅰ）估計(jì)該校高三學(xué)生質(zhì)檢數(shù)學(xué)成績?cè)?25～140分之間的概率，并求出樣本容量；（Ⅱ）從樣本中成績?cè)?5～95分之間的學(xué)生中任選兩人，求至少有一人成績?cè)?5～80分之間的概率．參考答案：（Ⅰ）估計(jì)該校高三學(xué)生質(zhì)檢數(shù)學(xué)成績?cè)?25～140分之間的概率為，

2分又設(shè)樣本容量為，則，解得，．

4分（Ⅱ）樣本中成績?cè)?5～80分之間的學(xué)生有=2人，記為；成績?cè)?0～95分之間的學(xué)生=4人，記為，

5分從上述6人中任選2人的所有可能情形有：

，共15種，

8分至少有1人在65～80分之間的可能情形有共9種，

11分因此，所求的概率．

12分22.對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集.若對(duì)于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.（I）若，且具有性質(zhì)，求的值；（II）若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.參考答案：（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.

……2分

所以x=2b，從而x=4.

……4分（2）[解法一]猜測，i=1,2,…,n.

``

記，k=2,3,…,n.

先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P.

任取，、?.當(dāng)、中出現(xiàn)-1時(shí)，顯然有滿足；

當(dāng)且時(shí)，、≥1.

因?yàn)榫哂行再|(zhì)P，所以有，、?，使得，從而和中有一個(gè)是-1，不妨設(shè)=-1.假設(shè)?且?，則.由，得，與?矛盾.所以?.從而也具有性質(zhì)P.

……6分現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1,2,…,n.當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；

假設(shè)n=k時(shí)，有性質(zhì)P，則，i=1,2,…,k；

當(dāng)n=k+1時(shí)，若有性質(zhì)P，則

也有性質(zhì)P，所以.

取，并設(shè)滿足，即.由此可得s=-1或t=-1.

若，則不可能；

所以，，又，所以.

綜上所述，，i=1,2,…,n.

……10分

[解法二]設(shè)，，則等價(jià)于.

記，則數(shù)集