函數(shù)的無窮級數(shù)原理

函數(shù)的無窮級數(shù)原理第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結束多元函數(shù)的基本概念第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑,也可寫成點P0的去心鄰域記為第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.機動目錄上頁下頁返回結束第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

區(qū)域(1)內(nèi)點、外點、邊界點設有點集

E

及一點

P:若存在點P的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點P的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E的內(nèi)點；則稱P為E的外點;則稱P為E

的邊界點.機動目錄上頁下頁返回結束的外點,顯然,E的內(nèi)點必屬于E,

E的外點必不屬于E,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)

聚點若對任意給定的,點P

的去心機動目錄上頁下頁返回結束鄰域內(nèi)總有E中的點,則稱P是E的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E的導集.E的邊界點)第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E的點都是內(nèi)點，則稱E為開集；若點集E

E

,則稱E為閉集；

若集D中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域;機動目錄上頁下頁返回結束。。

E的邊界點的全體稱為E的邊界,記作E;第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域機動目錄上頁下頁返回結束第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

整個平面點集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結束o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點PD與某定點A的距離APK,則稱D為有界域,

界域.否則稱為無第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.n維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k個坐標.記作即機動目錄上頁下頁返回結束一個點,當所有坐標稱該元素為中的零元,記作O.第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月的距離記作中點a

的

鄰域為機動目錄上頁下頁返回結束規(guī)定為與零元O的距離為第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式機動目錄上頁下頁返回結束第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1.

設非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當n=2時,有二元函數(shù)當n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在D上的n元函數(shù),記作機動目錄上頁下頁返回結束第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,

二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點的上半球面.機動目錄上頁下頁返回結束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月三、多元函數(shù)的極限定義2.

設n元函數(shù)點,則稱A為函數(shù)(也稱為n重極限)當n=2時,記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對一記作都有機動目錄上頁下頁返回結束對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

設求證：證:故總有機動目錄上頁下頁返回結束要證第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

設求證：證：故總有要證機動目錄上頁下頁返回結束第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月若當點趨于不同值或有的極限不存在，解:設P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.討論函數(shù)函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y軸則故機動目錄上頁下頁返回結束第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點二重極限不存在.例3目錄上頁下頁返回結束第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.設n元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點.則稱n元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束連續(xù).連續(xù),第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周機動目錄上頁下頁返回結束結論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則機動目錄上頁下頁返回結束*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月解:原式例5.求例6.求函數(shù)的連續(xù)域.解:機動目錄上頁下頁返回結束第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11題2;4;5(3),(5)(畫圖);8P72題3;4機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月解答提示:P11題2.稱為二次齊次函數(shù).P11題4.P11題5(3).定義域P11題5(5).定義域機動目錄上頁下頁返回結束第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月P12題8.間斷點集P72題3.定義域P72題4.令y=kx，若令機動目錄上頁下頁返回結束,則可見極限不存在第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

作業(yè)P115(2),(4),(6)6(2),(3),(5),(6)7，9,10第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月備用題1.設求解法1令機動目錄上頁下頁返回結束第30頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月1.設求解法2