均值不等式課件

3.2均值不等式3.2均值不等式3.2均值不等式3.2均值不等式均值不等式課件均值不等式課件1．同向不等式可以相加，但不能

或

．2．判定不等式是否成立，常利用不等式的

及函數(shù)的

和

等方法．3．在不等式的變形過程中，要遵循

的原則．4．兩個(gè)正數(shù)a與b的等差中項(xiàng)為，正的等比中項(xiàng)為

.

相減相除基本性質(zhì)單調(diào)性特殊值等價(jià)變形1．同向不等式可以相加，但不能 或 ．相1．同向不等式可以相加，但不能 或 ．相1．均值定理(又稱基本不等式或均值不等式)(1)形式：

(2)成立的前提條件

(3)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)．a(chǎn)，b∈R＋a＝b1．均值定理(又稱基本不等式或均值不等式)a，b∈R＋a＝b1．均值定理(又稱基本不等式或均值不等式)a，b∈R＋a＝b2．算術(shù)平均值和幾何平均值(1)定義

叫做正實(shí)數(shù)a，b的算術(shù)平均值．

叫做正實(shí)數(shù)a，b的幾何平均值．(2)結(jié)論兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值

它們的幾何平均值．大于或等于2．算術(shù)平均值和幾何平均值大于或等于2．算術(shù)平均值和幾何平均值大于或等于2．算術(shù)平均值和幾何平均(3)應(yīng)用基本不等式求最值如果x，y都是正數(shù)，那么①若積xy是定值P，那么當(dāng)

時(shí)，和x＋y有

值．②若和x＋y是定值S，那么當(dāng)

時(shí)，積xy有

值．上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．x＝y(tǒng)最小x＝y(tǒng)最大x＝y(tǒng)最小x＝y(tǒng)最大x＝y(tǒng)最小x＝y(tǒng)最大x＝y(tǒng)最小x＝y(tǒng)最大均值不等式課件均值不等式課件1．基本不等式中的a，b可以是值為任意正數(shù)的代數(shù)式嗎？1．基本不等式中的a，b可以是值為任意正數(shù)的代數(shù)式嗎？1．基本不等式中的a，b可以是值為任意正數(shù)的代數(shù)式嗎？1．基均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件【思路點(diǎn)撥】先利用基本不等式求出m的范圍，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出n的范圍，從而得出m，n的大小關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】先利用基本不等式求出m的范圍，再利用指數(shù)函數(shù)的【思路點(diǎn)撥】先利用基本不等式求出m的范圍，再利用指數(shù)函數(shù)的【答案】

A

【答案】A【答案】A【答案】A在應(yīng)用均值不等式時(shí)，一定要注意是否滿足條件，即a＞0，b＞0，若條件不滿足時(shí)，則應(yīng)拼湊出條件，即問題一端出現(xiàn)“和式”，另一端出現(xiàn)“積式”，便于運(yùn)用均值不等式．均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件【答案】

A≥B≥C≥D【答案】A≥B≥C≥D【答案】A≥B≥C≥D【答案】A≥B≥C≥D【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椴坏仁接疫厼槌?shù)，所以應(yīng)把左邊拆開，按照積為常數(shù)重新組合，分別利用基本不等式．【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椴坏仁接疫厼槌?shù)，所以應(yīng)把左邊拆開，按照積【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椴坏仁接疫厼槌?shù)，所以應(yīng)把左邊拆開，按照積均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件．均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件（1）一個(gè)矩形的面積為100平方米，問矩形的長(zhǎng)，寬各為多少時(shí)矩形周長(zhǎng)最短？（2）矩形周長(zhǎng)為36米，問矩形的長(zhǎng)，寬各為多少時(shí)，矩形面積最大？解:(1)設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y，則xy=100。所以，周長(zhǎng)L=2(x+y)≥4=40(2)設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y，則周長(zhǎng)L=2(x+y)=36,所以x+y=18

則面積s=xy≤=81.（1）一個(gè)矩形的面積為100平方米，問矩形的長(zhǎng)，寬各為多少時(shí)（1）一個(gè)矩形的面積為100平方米，問矩形的長(zhǎng)，寬各為多少時(shí)在求實(shí)際問題中的最值時(shí)，應(yīng)按下面的思路來求解：(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，一般先考慮用均值不等式，當(dāng)均值不等式求最值的條件不具備時(shí)，再考慮函數(shù)的單調(diào)性；(4)正確寫出答案．均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件3．利用均值不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意的問題(1)各項(xiàng)均為正數(shù)，特別是出現(xiàn)對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)式等形式時(shí)，要認(rèn)真判斷．(2)求和的最小值需積為定值，求積的最大值需和為定值．(3)確保等號(hào)成立．以上三個(gè)條件缺一不可，可概括為“一正、二定、三看等號(hào)可能性”．均值不等式課件均值不等式課件同學(xué)們?cè)僖娡瑢W(xué)們?cè)僖娡瑢W(xué)們?cè)僖娡瑢W(xué)們?cè)僖?.2均值不等式3.2均值不等式3.2均值不等式3.2均值不等式均值不等式課件均值不等式課件1．同向不等式可以相加，但不能

或

．2．判定不等式是否成立，常利用不等式的

及函數(shù)的

和

等方法．3．在不等式的變形過程中，要遵循

的原則．4．兩個(gè)正數(shù)a與b的等差中項(xiàng)為，正的等比中項(xiàng)為

.

相減相除基本性質(zhì)單調(diào)性特殊值等價(jià)變形1．同向不等式可以相加，但不能 或 ．相1．同向不等式可以相加，但不能 或 ．相1．均值定理(又稱基本不等式或均值不等式)(1)形式：

(2)成立的前提條件

(3)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)．a(chǎn)，b∈R＋a＝b1．均值定理(又稱基本不等式或均值不等式)a，b∈R＋a＝b1．均值定理(又稱基本不等式或均值不等式)a，b∈R＋a＝b2．算術(shù)平均值和幾何平均值(1)定義

叫做正實(shí)數(shù)a，b的算術(shù)平均值．

叫做正實(shí)數(shù)a，b的幾何平均值．(2)結(jié)論兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值

它們的幾何平均值．大于或等于2．算術(shù)平均值和幾何平均值大于或等于2．算術(shù)平均值和幾何平均值大于或等于2．算術(shù)平均值和幾何平均(3)應(yīng)用基本不等式求最值如果x，y都是正數(shù)，那么①若積xy是定值P，那么當(dāng)

時(shí)，和x＋y有

值．②若和x＋y是定值S，那么當(dāng)

時(shí)，積xy有

值．上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．x＝y(tǒng)最小x＝y(tǒng)最大x＝y(tǒng)最小x＝y(tǒng)最大x＝y(tǒng)最小x＝y(tǒng)最大x＝y(tǒng)最小x＝y(tǒng)最大均值不等式課件均值不等式課件1．基本不等式中的a，b可以是值為任意正數(shù)的代數(shù)式嗎？1．基本不等式中的a，b可以是值為任意正數(shù)的代數(shù)式嗎？1．基本不等式中的a，b可以是值為任意正數(shù)的代數(shù)式嗎？1．基均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件【思路點(diǎn)撥】先利用基本不等式求出m的范圍，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出n的范圍，從而得出m，n的大小關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】先利用基本不等式求出m的范圍，再利用指數(shù)函數(shù)的【思路點(diǎn)撥】先利用基本不等式求出m的范圍，再利用指數(shù)函數(shù)的【答案】

A

【答案】A【答案】A【答案】A在應(yīng)用均值不等式時(shí)，一定要注意是否滿足條件，即a＞0，b＞0，若條件不滿足時(shí)，則應(yīng)拼湊出條件，即問題一端出現(xiàn)“和式”，另一端出現(xiàn)“積式”，便于運(yùn)用均值不等式．均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件【答案】

A≥B≥C≥D【答案】A≥B≥C≥D【答案】A≥B≥C≥D【答案】A≥B≥C≥D【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椴坏仁接疫厼槌?shù)，所以應(yīng)把左邊拆開，按照積為常數(shù)重新組合，分別利用基本不等式．【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椴坏仁接疫厼槌?shù)，所以應(yīng)把左邊拆開，按照積【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椴坏仁接疫厼槌?shù)，所以應(yīng)把左邊拆開，按照積均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件．均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件均值不等式課件（1）一個(gè)矩形的面積為100平方米，問矩形的長(zhǎng)，寬各為多少時(shí)矩形周長(zhǎng)最短？（2）矩形周長(zhǎng)為36米，問矩形的長(zhǎng)，寬各為多少時(shí)，矩形面積最大？解:(1)設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y，則xy=100。所以，周長(zhǎng)L=2(x+y)≥4=40(2)設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y，則周長(zhǎng)L=2(x+y)=36,所以x+y=18

則面積s=xy≤=81.（1）一個(gè)矩形的面積為100平方米，問矩形的長(zhǎng)，寬各為多少時(shí)（1）一個(gè)矩形的面積為100平方米，問矩形的長(zhǎng)，寬各為多少時(shí)在求實(shí)際問題中的最值時(shí)，應(yīng)按下面的思路來求解：(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，一般先考慮用均值不等式，當(dāng)均值不等式求最值的條件不具備時(shí)，再考慮函數(shù)的單調(diào)性；(4)正確寫出答案．均值不等式課件均值不等式課件均值不等式