第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)課件

復(fù)變函數(shù)與積分變換主講教師：張馨予西安文理學(xué)院機(jī)械電子工程系1復(fù)變函數(shù)與積分變換

主要內(nèi)容：

1.復(fù)變函數(shù)自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)（在高等數(shù)學(xué)中，我們研究的是自變量和因變量均為實(shí)數(shù)的函數(shù)，因而也稱之為實(shí)變函數(shù)）.

主要包含復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)；解析函數(shù)；復(fù)變函數(shù)的積分理論；級(jí)數(shù)理論；留數(shù)理論及其應(yīng)用；共性映射等。

2.積分變換主要包括傅立葉變換和拉普拉斯變換.2序言

預(yù)備知識(shí)、參考書(shū)

主要用到高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí).1.西安交通大學(xué)復(fù)變函數(shù)

2.南京工學(xué)院積分變換

3.祝同江積分變換

4.鐘玉泉復(fù)變函數(shù)論

學(xué)習(xí)進(jìn)度、建議3序言復(fù)數(shù)的引入及其發(fā)展過(guò)程：

16世紀(jì)中葉，意大利人Cardan在解代數(shù)方程時(shí)，首先產(chǎn)生了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的思想.例如，解簡(jiǎn)單的方程x2+1=0時(shí)就會(huì)遇到－1開(kāi)平方的問(wèn)題。為了使負(fù)數(shù)開(kāi)平方有意義，也就是要使上述方程有解，我們需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，于是就引進(jìn)了虛數(shù)，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域.然而，一開(kāi)始人們對(duì)復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)僅僅在于一種形式上的表示，對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算時(shí)還有一些矛盾產(chǎn)生.例如后面要介紹萊布尼茲和貝努利的一個(gè)悖論.4序言

復(fù)數(shù)在歷史上的很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)被人們視為不可接受的虛數(shù).直到十七和十八世紀(jì)，有兩個(gè)主要原因促使了這種狀況的改變：

1.微積分的發(fā)展；2.復(fù)數(shù)與平面向量聯(lián)系起來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.關(guān)于復(fù)數(shù)理論最系統(tǒng)的敘述，是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉作出的.他在1777年系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)理論，發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)間的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的積分理論等.5序言復(fù)變函數(shù)理論的重要意義十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)的理論經(jīng)過(guò)法國(guó)數(shù)學(xué)家Cauchy、德國(guó)數(shù)學(xué)家Riemann和Weierstrass的巨大努力，已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論，并且深刻地滲入到數(shù)學(xué)學(xué)科的許多分支.例如，著名的代數(shù)學(xué)基本定理，用復(fù)變函數(shù)理論來(lái)證明是非常簡(jiǎn)潔的.

現(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)理論及方法在數(shù)學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.比如，在復(fù)變函數(shù)理論最先得到成功應(yīng)用的流體力學(xué)、電磁學(xué)、平面彈性力學(xué)這三個(gè)領(lǐng)域中，復(fù)變函數(shù)方法已經(jīng)發(fā)展成為解決有關(guān)問(wèn)題的幾種經(jīng)典方法之一.6第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)主要內(nèi)容1、復(fù)數(shù)及其表示方法2、復(fù)數(shù)運(yùn)算3、平面點(diǎn)集4、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性7注:(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，是指二者實(shí)部、虛部分別相同；

(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)之間無(wú)法比較大小，除非都是實(shí)數(shù).

§1復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的概念其中實(shí)部虛部共軛一、復(fù)數(shù)的概念注意:復(fù)數(shù)不能比較大小.9二、復(fù)數(shù)的幾種表示方法1.代數(shù)法:2.幾何法:r103.向量法:復(fù)數(shù)的模三角不等式幾何上11復(fù)數(shù)的輻角:124.三角法:5.指數(shù)法:13三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算（指集合相等）特別的14幾何意義:15（指集合相等）16

加、減：乘法：

注:2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算除法：174.共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算184.冪與根冪:（德摩佛公式——DeMoivre19方根:20四、曲線的復(fù)數(shù)方程21例1指出下列方程表示的曲線解:法1.法2.22解:解:23解:由向量的性質(zhì)24解:由幾何意義，圓的方程為?25例4指出滿足下列條件的點(diǎn)z的全體所構(gòu)成的圖形.解:26解:27解:如圖:28另解:29五、復(fù)球面作一球面與復(fù)平面在坐標(biāo)圓點(diǎn)相切30規(guī)定:稱球面為復(fù)球面3132§4-§6復(fù)變函數(shù)（極限、概念、連續(xù)）一、區(qū)域1.鄰域:332.內(nèi)點(diǎn):343.開(kāi)集:若G內(nèi)每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，稱G是開(kāi)集4.區(qū)域:連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱區(qū)域（連通集是指集合內(nèi)任何兩點(diǎn)可用完全屬于5.邊界點(diǎn):集合的折線連接起來(lái)）的點(diǎn)，也有不屬于D中的點(diǎn)，稱P為D的邊界點(diǎn)。有屬于D356.閉區(qū)域:7.有界區(qū)域:稱D為有界區(qū)域，否則，為無(wú)界區(qū)域.36二、單連通與復(fù)連通域1.平面曲線的幾個(gè)概念（1）連續(xù)曲線:稱為復(fù)變量實(shí)參數(shù)曲線方程。37（2）光滑曲線:（3）簡(jiǎn)單曲線:(直觀上為無(wú)重點(diǎn)曲線);則稱曲線為簡(jiǎn)單閉曲線.38392.單連通區(qū)域:若區(qū)域B內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，在B內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)的變形而縮成一點(diǎn)，則稱B為單連通區(qū)域.多連通區(qū)域:不是單連通的連通區(qū)域.單連通域（無(wú)洞）多連通域（有洞）B40三、復(fù)變函數(shù)1.定義:則稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù).412.復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的關(guān)系例如:42稱函數(shù)為映射43解:44解:4546例如:注:Z平面與W平面重合.47解:法1.48Z法249四、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.極限定義:50幾何意義:說(shuō)明:51定理1:注:此定理的意義在于，復(fù)變量函數(shù)極限問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為求實(shí)變量二元函數(shù)的極限問(wèn)題.證明:書(shū)上23頁(yè)52證明:法1:53k取不同時(shí)，極限值不相等.54法2:55定理2（四則運(yùn)算法則）562.連續(xù)定義:連續(xù)的等價(jià)定義:57定理3:58定理4: