2023高考數(shù)學解題模板48 抽樣的方法

專題48抽樣的方法

【高考地位】

抽樣方法是高考的熱點，高考在這部分內(nèi)容命題趨向主要以選擇題、填空題為主，重點考查基礎知識、

基本概念及其簡單的應用.在復習中，要理解幾種抽樣方法的區(qū)別于聯(lián)系，應充分注意一些重要概念的實際

意義，理解概率統(tǒng)計中處理問題的基本思想方法.其試題難度屬低檔題.

【方法點評】

類型一隨機抽樣

使用情景：簡單.的隨機抽樣

解題模板：第一步認真分析題意，認清考查的是哪種簡單的隨機抽樣；

第二步運用對應的簡單隨機抽樣進行求解；

第三步得出結論.

例1從總體為N的一批零件中使用簡單隨機抽樣抽取一個容量為40的樣本，若某個零件在第2次抽取時

被抽到的可能性為1%,則N=()

A.100.B.4000C.101D.4001

【答案】B

【解析】因為從總體為N的一批零件中使用簡單隨機抽樣抽取一個容量為40的樣本，

某個零件第2次抽取的可能性為1%,所以4竺0=」1一，解得N=4000,故選B

N100

例2某學校高一、高二、高三三個年級共有學生3500人，其中高三學生數(shù)是高一學生數(shù)的兩倍，高二學

生數(shù)比高一學生數(shù)多300人，現(xiàn)在按」一的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本，則應抽取高一學生數(shù)為

100

()

A.8B.11C.16D.10

【答案】A

【解析】若設高三學生數(shù)為X,則高一學生數(shù)為1，高二學生數(shù)為；+300,所以有x+；+；+300=3500,

2222

解得x=1600.故高一學生數(shù)為800,因此應抽取高一學生數(shù)為絲■=8.

故答案為：A

【變式演練1】將某省參加數(shù)學競賽預賽的500名同學編號為：001,002,…，500,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽

取一個容量為50的樣本，且隨機抽的的號碼013為一個樣本，這500名學生分別在三個考點考試，從001

到200在第一考點，從201到355在第二考點，從356到500在第三考點，則第二考點被抽中的人數(shù)為

A.17B.16C.15D.14

【答案】B

【解析】由題意知，系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為,=10,

因為隨機抽的的號碼013為一個樣本，故在第一組中被抽取的樣本編號為3,

所以被抽取的樣本的標號成首項為3,公差為10的等差數(shù)列。

可求得在在001到200之間抽取20人，在201到355之間抽取16人。

選Bo

【變式演練2］高二某班共有學生56人，座號分別為1,2,3,…,56現(xiàn)根據(jù)座號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取

一個容量為4的樣本.已知4號、18號、46號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的座號是（）

A.30B.31

C.32D.33

【答案】C

【解析】

試題分析：系統(tǒng)抽樣抽取的編號構成等差數(shù)列，由4號、18號、46號同學在樣本中可知剩余的號為32號

考點：系統(tǒng)抽樣

【變式演練3】在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）如下圖所示；

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若將運動員按成績由好到差編為1-35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間［139,151］上

的運動員人數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

試題分析：觀察莖葉圖可知，成績在區(qū)間［139,151］的共有20人，設在區(qū)間［139,151］內(nèi)抽取的人數(shù)為〃，

根據(jù)分層抽樣可有4=型，解得“=4,故選A.

735

考點：1.莖葉圖；2.分層抽樣

【變式演練4】【2018河南鄭州市第一中學模擬】為了調(diào)查民眾對最新各大城市房產(chǎn)限購政策的了解情況，

對甲、乙、丙、丁四個不同性質(zhì)的單位做分層.抽樣調(diào)查.假設四個單位的人數(shù)有如下關系：甲、乙的人數(shù)

之和等于丙的人數(shù)，甲丁的人數(shù)之和等于乙、丙的人數(shù)之和，且丙單位有36人，若在甲、乙兩個單位抽取

的人數(shù)之比為1:2,則這四個單位的總?cè)藬?shù)"為（）

A.96B.120C.144D.160

【答案】B

【解析】設甲單位人數(shù)為后，乙單位的人數(shù)丙單位的人數(shù)的，丁單位的人數(shù)當

12

%+居=居=

=24

由題意得招，解得：｛

=36

=

48

336

易得：這四個單位的總?cè)藬?shù)N為120

故選：B

類型二用樣本估計總體

使用情景：有關頻率分布直方圖的基本計算

解題模板：第一步根.據(jù)頻率分布直方圖計算出相應的頻率；

第二步運用樣本的頻率估計總體的頻率；

第三步得出結論.

例3為了了解某校高三400名學生的數(shù)學學業(yè)水平測試成績，制成樣本頻率分布直方圖如圖，規(guī)定不低于

60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是（）

A.60%,60B.60%,80

C.80%,80D.80%,D0

【答案】C

【解析】

試題分析：及格率為i=1-(0.015+0.005)x10=0.8,優(yōu)秀人數(shù)為400*(0.010+0.010)x10=80,故

選C.

考點：頻率分布直方圖.

【點評】這是一道獨型的頻率分布直方圖的計算問題，其解題的關鍵是運用頻數(shù)與頻率之間的關系進行求

解.

【變式演練5】某校從高一年級學生中隨機抽取100名學生，將他們期中考試的數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成

六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］后得到頻率分布直方圖（如下圖所示），則分數(shù)在［70,80）

【答案】30

【解析】

試題分析：由頻率分布直方圖知小長方形面積為對應區(qū)間概率，所有小長方形面積和為1,因此分數(shù)在［70,

80）內(nèi)的概率為1—（0.025+0.015x2+0.010+0.005）x10=0.3,人數(shù)為0.3xl°°=3°

考點：頻率分布直方圖

【變式演練6】一個社會調(diào)查機構就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分

布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系，要從這I0000人中再用分層

抽樣方法抽出10°人作進一步調(diào)查，則在［250°，3500）（元）月收入段應抽出人.

頻率/組距

0.0005

0.0004

0.0003

0.0002

0.0001月收入（元）

1000150020002500300035004000

【答案】40

【解析】

試題分析:由圖（2500,3500元/月）收入段的頻率是0.0005X500+0.0003X500=0.4

故用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在（2500,3500元/月）收入段應抽出人數(shù)為0.4X100=40

考點：頻率分布直方圖；分層抽樣方法

【變式演練7】某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生

在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為116,124,118,122,120,五名女生的成績分別為

118,123,123,118,123,下列說法一定正確的是（）

A.這種抽樣方法是一種分層抽樣

B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣

C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差

D.該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)

【答案】C.

【解析】

試題分析：根據(jù)抽樣方法的特點，可知該種抽樣既不是分層抽樣，也不是系統(tǒng)抽樣，故是錯的，從這

五名學生的成績得不出該班的男生成績和女生成績的平均分，故D是錯誤的，根據(jù)公式，可以求得五名男

生成績的方差為好=8,五名女生成績的方差為4=6,所以C對，故選C

考點：抽樣方法，方差，平均數(shù).

【變式演練8】某班同學利用勞動節(jié)進行社會實踐，對［25,55］歲的人群隨機抽取"人進行了一次生活習慣

是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下

統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

頻率

組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率組距

0.08

第一組P5.30)1200.60.07

第二組沖5)195P0.06

0.05

第三組[35,40)1000.5

0.04

第四組[40,45)a0.40.03

0.02———

第五組[45,50)300.3

0.01

第六蛆[5Q55]150.3一

V25303540455055舁齡(歲)

（1）補全頻率分布直方圖并求“、。、P的值;

（2）從年齡段在［40,50）的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中每組各選

多少人？

【答案】（D1000,60,0.65（2）［40,45）歲中有4人,［45,50）歲中有2人.

【解析】

試題分析：（D先由頻率分布表的數(shù)據(jù)計算出各組的頻率，即直方圖中每一個小矩形的面積，進而得到小

矩形的高，補全直方圖；（2）中考察的是分層抽樣，求解時要根據(jù)［40,45）［45,50）兩組的人數(shù)比例確定6

人中的抽取比例，從而確定抽取人數(shù)分別是多少

03

試題解析：（1）第二組的頻率為1-（0.04+0.04+003+0.02+0.01）x5=0.3,所以高為彳=0.06.頻率

直方圖如下：

第一組的人數(shù)為考=200,頻率為0.04x5=02,所以〃=:==1000.

0.602

由題可知，第二組的頻率為。.3,所以第二組的人數(shù)為1000x0.3=300,所以夕=1募95=0.65.

第四組的頻率為0.03x5=0.15,所以第四組的人數(shù)為1000x0.15=150,所以a=150x0.4=60.（6分）0

<2）因為［40,45）歲年齡段的“低碳族”與［45,50）歲年齡段的“低碳族”的比值為60:30=2:1,所以采用

分層抽樣法抽取6人，［40,45）歲中有4人，［45,50）歲中有2人.（10分）

考點：1.頻率分布表及直方圖：2.分層抽樣

【高考再現(xiàn)】

1.【2017課標3,理3】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1

月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

【答案】A

【解析】

試題分析：觀察折線圖，每年7月到8月折線圖呈下降趨勢，月接待游客量減少，選項/說法錯誤；

折線圖整體呈現(xiàn)出增長的趨勢，年接待游客量逐年增加，選項3說法正確；

每年的接待游客量七八月份達到最高點，即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月，選項C說法正確；

每年1月至6月的月折線圖平穩(wěn)，月接待游客量波動性更小，7月至12月折線圖不平穩(wěn)，月接待游客蚩波

動性大，選項。說法正確；

故選D.

【考點】折線圖

【名師點睛】將頻率分布直方圖中相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來，就得到一條折線，我們稱這

條折線為本組數(shù)據(jù)的頻率折線圖，頻率分布折線圖的的苜、尾兩端取值區(qū)間兩端點須分別向外延伸半個組

距，即折線圖是頻率分布直方圖的近似，他們比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律.

2.12017江蘇，3］某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢

驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產(chǎn)品中

抽取▲件.

【答案】18

【解析】所求人數(shù)為60x-^_=18,故答案為18.

10000

【考點】分層抽樣.

【名師點睛】在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的

個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即n,：M=n:N.

3.【2017課標1,文21為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了”塊地作試驗田.這"塊地的畝產(chǎn)量（單位：

kg）分別為及，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

A.Xi,X2,X"的平均數(shù)B.X|,X2,X”的標準差

C.Xi,X1,X”的最大值D.XI,及，…，X"的中位數(shù)

【答案】B

【解析】

試題分析：刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標是標準差，故選5

【考點】樣本特征數(shù)

【名師點睛】眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；

中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，（起到分水嶺的作用）中位數(shù)反應一組數(shù)據(jù)的中間水平；

平均數(shù)：反應一組數(shù)據(jù)的平均水平；

方差：方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小）并

把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定.

標準差是方差的算術平方根，意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度.

4.【2017山東，文8】如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這

兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和），的值分別為

A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

【解析】

試題分析：由題意，甲組數(shù)據(jù)為56,62,65,70+x,74,乙組數(shù)據(jù)為59,61,67,60+y,78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等,

有65=60+y,所以y=5，又平均數(shù)相同，則

56+62+65+（70+x）+74=59+6l+67+65+783.故選A.

55

【考點】莖葉圖、樣本的數(shù)字特征

【名師點睛】由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方

圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示.其缺點是當

樣本容量較大時,作圖較繁瑣.利用莖葉圖對樣本進行估計是，要注意區(qū)分莖與葉，莖是指中間的一列數(shù)，葉是

從莖的旁邊生長出來的數(shù).

5.【2017課標1,文2】為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了“塊地作試驗田.這〃塊地的畝產(chǎn)量（單位:

kg）分別為X”及,…，％,下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

A.X\,X2,X”的平均數(shù)B.X|,X2,X”的標準差

c.X）,X2,…，X"的最大值D.Xi,X2,X"的中位數(shù)

【答案】B

【解析】

試題分析：刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標是標準差，故選5

【考點】樣本特征數(shù)

【名師點睛】眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；

中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，（起到分水嶺的作用》中位數(shù)反應一組數(shù)據(jù)的中間水平,

平均數(shù)：反應一組數(shù)據(jù)的平均水平；

方差：方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批額據(jù)偏離平均數(shù)的大?。┎?/p>

把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.在樣本容量相同的情況不，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定.

標準差是方差的算術平方根，意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度.

6.12016高考山東理數(shù)】某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率

分布直方圖，其中自習時間的范圍是口7.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,

[25,27.5）,[27.5,30）.根據(jù)直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是（）

(A)56(B)60(C)120(D)140

頻率

【答案】D

【解析】

試題分析：由頻率分布直方圖知，自習時間不少于22.5小時為后三組，有

200x(0.16+0.08+0.04)x2.5=140(人)選D.

考點：頻率分布直方圖

【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，是一道基礎題目.從歷年高考題目看，圖表題已是屢見不鮮，

作為一道應用題，考查考生的視圖、用圖能力，以及應用數(shù)學解決實際問題的能力.

7.12016高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,54,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是▲.

【答案】0.1

【解析】

試題分析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3(4.7+4.8+54+5.4+5一5)=5.1,

/.S2=|[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5,1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=0.1.故答案應填：0.1,

考點：方差

【名師點睛】本題考查的是總體特征額的估計，重點考查了方差的計算，本題有一定的計算量，屬于簡單

題.認真梳理統(tǒng)計學的基礎理論，特別是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣、頻率分布直方圖、方差等，針對訓練近幾年

的江蘇高考類似考題，直觀了解本考點的考查方式，強化相關計算能力.

8.[2016高考新課標1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.

機器有一易損零件,在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不

足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器

在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三

年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

（I）求X的分布列；

（II）若要求P（XW“）20.5,確定〃的最小值；

（III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一,應選用哪個？

【答案】（I）見解析（II）19（III）〃=19

【解析】

試題分析：（D先確定》的取值分別為1617,18」8,20,21,2乙再用相互獨立事件概率模型求概率,然后寫出分

布列；（ID通過頻率大小進行比校；（皿》分別求出《=9,?=20的期望:根據(jù)”=19時所需費用的期望值小于

?=20時所需費用的期望值:應選〃=19.

試題解析：（I）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為89211的概

率分別為02040.2,02,從而

產(chǎn)（X=16）=0.2x0.2=0.045

P（X=17）=2x0.2x0.4=0.16）

P（X=18）=2x0.2x0.24-0.4x0.4=0.24；

P(X=19)=2x0.2x0.24-2x0.4x0.2=0.24；

P{X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2；

P(X=21)=2x02x0.2=0.08；

P(X=22)=0.2x0.2=0.04

所峪X的分布列為

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

□

(H)由(I)知產(chǎn)(XW16=Q44尸(X?19)=0.68戟%的最小值為19.

(Ill)記1表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元).

當〃=19時,EF=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+(19x200+2x500)x0.08

+(19x200+3x500)x0.04=4040.

當〃=20時，

EY=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080

可知當M=19時所需費用的期望值小于?=20時所需費用的期望值，故應選〃=19.

考點：概率與統(tǒng)計、隨機變量的分布列

【名師點睛】本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結合在一起進行考查,有一定綜合性但難度不是太大大,

求解關鍵是讀懂題意，所以提醒考生要重視數(shù)學中的閱讀理解問題.

9.[2016年高考四川理數(shù)】(本小題滿分12分)

我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，

擬確定一個合理的月用水量標準X(噸)、一位居民的月用水量不超過X的部分按平價收費，超出X的部分

按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將

數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…，[4,4.5)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

八頻率

組距

0.52--------------------------

0.40-------------------

I6

O.

SI2

S

O8

O

O.4

O

0.511.522.533.544.5月均用水量（噸）

(I)求直方圖中。的值；

(II)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

(III)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準X(噸)，估計X的值，并說明理由.

【答案】(，I)a=0.30：(II)36000；(III)2.9.

【解析】

試題分析：(I)由高X組距=頻率，計算每組中的頻率，因為所有頻率之和為1,計算出a的值；(H)利

用高X組距=頻率，先計算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率X樣本總數(shù)=頻數(shù)，計算所求

人數(shù),(IID將前6組的頻率之和與前5組的頻率之和進行比較，得出2.5夕<3,再進行計算.

試題解析：(I)由頻率分布直方圖知，月均用水量在[005)中的頻率為0.08x0.5=0.04,

同理，在[051),口52),[225),[335),[344),口35)中的頻率分另物0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,

0.02.0.04+0.08-0.5xa-0.20-026-0.5xaM).06-0.04-0.02=l,解得a=0_30.

(II)由(I),100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000x0.12=36000.

(III)因為前6組的頻率之和為0.04-0.08-0.15-020-0.26-0.15=0,88>0,85,

而前5組的頻率之和為0.04*0.08-0.15-020-0.26=0.73<0.85,

所以2.5夕<3.

由0.3x(x-2.5)=0.85-0.73,

解得x=2.9.

所以，估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準.

考點：頻率分布直方圖.

【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算公式等基礎知識，考查學生的分析問題解

決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第個小矩形面積就是相應的頻率或概率，所有小矩形面積之和為I,

這是解題的關鍵，也是識圖的基礎.

10.【2015江蘇高考，2】已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.

【答案】6

rAnAr"1-4+6+）+8+7—6,

［解析］X=-------------------------=6

o

【考點定位】平均數(shù)

-1

【名師點晴】樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，gPx=-（x1+x2+...+Xii）.解答此類問題關鍵大概念清晰，類似概念

n

有樣本方差s~=）［（須-X）*+（Xj-x）*+...+（/一X）-］,標準差S=$［（再-x）2+（x；-x）1+...+（/-x）:］

其中我是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，嚏是平均數(shù).將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置

的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

11【2017北京，文17】某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根養(yǎng)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽

樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［20,30）,［30,40）,—,［80,90］,

并整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率A

麗,

0.04------------------------------------------------------------

0.02--------------------------------------------1---------------

0.01--------------------------------------------

________I-------1I~~----------------------------------?

o2030405060708090分數(shù)

（I）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；

（II）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間［40,50）內(nèi)的人數(shù)；

（III）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估

計總體中男生和女生人數(shù)的比例.

3

【答案】(I)0.4；(II)5A;(III)

2

t解析】

試題分析：(I)根據(jù)頻率分布直方圖，表示分數(shù)大于等于70的概率，就求后兩個矩形的面積；(n)根

據(jù)公式頻數(shù)等于100X頻率求解；(UD首先計算分數(shù)大于等于70分的總?cè)藬?shù)，根據(jù)樣本中分數(shù)不小于70

的男女生人數(shù)相等再計算所有的男生人數(shù)，100-男生人數(shù)就是女生人數(shù).

試題解析：(I)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02+094)x10=0.6,所

以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.

所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計為04

(II沖艮據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)x10=0.9,分數(shù)在區(qū)間［40,50)

內(nèi)的人數(shù)為100-100x89—5=5.

所以總體中分數(shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400XA=20.

(Ill)由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02+0.04)x10x100=60,

所以樣本中分數(shù)不.小于70的男生人數(shù)為60x'=30.

2

所以樣本中的男生人數(shù)為30x2=60,女生人數(shù)為100-60=40,男生和女生人數(shù)的比例為60:40=3:2.

所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3:2.

【考點】頻率分布直方圖的應用

【名師點睛】1.用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用

樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準確，直方圖比較直觀.

2.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的

面積表示相應各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1.

【反饋練習】

1.12018江西宜春二?！磕持袑W高一年級560人，高二年級540人，高三年級520人，用分層抽樣的方法

抽取容量為81的樣本，則在高一、高二、高三三個年級抽取的人數(shù)分別為()

A.28、27、26B.28、26、24C.26、27>28D.27、26、25

【答案】A

【解析】根據(jù)題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為

81二1

560+540+520-20

則在高一年級抽取的人數(shù)是560x」-=28人

20

高二年級抽取的人數(shù)是540x」-=27人

20

高三年級抽取的人數(shù)是520x1-=26人

20

故答案選A

2.［2018貴州黔東南州聯(lián)考】近年呼吁高校招生改革的呼聲越來越高，在贊成高校招生改革的市民中按年齡

分組，得到樣本頻率分布直方圖如圖，其中年齡在［30,40）歲的有2500人，年齡在［20,30）歲的有1200人,

A.0.013B.0.13C.0.012D.0.12

【答案】C

【解析】由題意，得年齡在范圍［30,40）歲的頻率為0.025x10=025,則贊成高校招生改革的市民有

1200

建=10000,因為年齡在范圍［20,30）歲的有1200人，則由=嚕9=0.012.

故選C.

3.現(xiàn)要完成下列3項抽樣調(diào)查：

①從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查；

②科技報告廳有32排座位，每排有40個座位，有一次報告會恰好坐滿了聽眾，報告會結束后，為了聽取

意見，邀請32名聽眾進行座談：

③某中學高三年級有12個班，文科班4個，理科班8個，為了了解全校學生對知識的掌握情況，擬抽取一

個容量為50的樣本.

較為合理的抽樣方法是（）

A.①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣

B.①簡單隨機抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣

C.①系統(tǒng)抽樣，②簡單隨機抽樣，③分層抽樣

D.①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機抽樣

【答案】A

【解析】在①中因為個體數(shù)量較少，采用簡單隨機抽樣即可；

在②中，因為個體數(shù)量多，且已按座位自然分組，故采用系統(tǒng)抽樣較好；

在③中，因為文科生和理科生的差異明顯，故采用分層抽樣較好.

故選A

4.用系統(tǒng)抽樣法（按等距離的規(guī)則）從160名學生中抽取容量為20的樣本，將這160名學生從1到160編號.按

編號順序平均分成20段（1?8號，9?16號，…，153?160號），若第16段應抽出的號碼為125,則第1段

中用簡單隨機抽樣確定的號碼是（）

A.7B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】用系統(tǒng)抽樣知，每段中有8人，第16段應為從121至128這8個號碼，125是其中的第5個號碼,

所以第一段中被確定的號碼是5.

5.[2018云南玉溪第一中學模擬】總體由編號為01,02,03,,49,50的50各個體組成，利用隨機數(shù)表，（以

下摘取了隨機數(shù)表中第1行和第2行）選取5個個體，選取方法是從.隨機數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)

字開始由左向右讀取，則選出來的第4個個體的編號為

66674067146405719586110565096S7683203790

5716001166149084451175738805905227411486

A.05B..09C.11D.20

【答案】B

【解析】從隨機數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字開始,依次是14,05,11,09,則第四個數(shù)字是09,選

B.

6.已知某校隨機抽取了100名學生，將他們某次體育測試成績制成如圖所示的頻率分布直方圖.若該校有

3（X）0名學生，則在本次體育測試中，成績不低于70分的學生人數(shù)約為.

【答案】2100

【解析】依題意，所求人數(shù)為3000x(0.030+0.025+0.015)x10=2100,故答案為2100.

7.某市為了增強市民的消防意識，面向社會招募社區(qū)宣傳志愿者.現(xiàn)從20歲至45歲的志愿者中隨機抽100

名按年齡分組：第1組［20,25),第2組［25,30),第3組［30,35),第4組［35,40),第5組［40,45),得

到的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從這100名志愿者中抽取20名參加消防演習活動，則

從第4組中抽取的人數(shù)為.

【答案】4

【解析】由題意可知第4組的頻率為0.04x5=0.2,

利用分層抽樣的方法在100名志愿者中抽取20名，

第4組中抽取的人數(shù)為20x0.2=4.

故答案為4.

8