中國礦業(yè)大學《高等數(shù)學》課件-第一章

中國礦業(yè)大學（北京）高等數(shù)學第一章分析基礎函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限中國礦業(yè)大學理學院

張漢雄

第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負數(shù)的集.簡稱集簡稱元表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質實數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間無限區(qū)間點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:是B的子集

,或稱B包含A,2.集合之間的關系及運算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關系:,,若設有集合記作記作必有定義3

.

給定兩個集合A,B,并集交集且差集且定義下列運算:余集直積特例:記為平面上的全體點集或二、映射某校學生的集合學號的集合按一定規(guī)則查號某班學生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座引例1.引例2.定義4.設X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱

f

為從X

到Y

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對應規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.引例2,3引例2引例2例1.海倫公式(滿射)

定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義5.設數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量(對應規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

函數(shù)的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達式或實際問題有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數(shù)定義域值域對無實際背景的函數(shù),書寫時可以省略定義域.對實際問題,書寫函數(shù)時必須寫出定義域；例4.

已知函數(shù)解:及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域2.函數(shù)的幾種特性設函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當稱為I

上的稱為I

上的單調增函數(shù);單調減函數(shù).(見P11)(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記說明:

給定則偶函數(shù)奇函數(shù)(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)3.反函數(shù)與復合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質若函數(shù)為單射,則存在一新映射習慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).,其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調遞增且也單調遞增性質:使其中2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調遞增,其圖形關于直線對稱.指數(shù)函數(shù)(2)復合函數(shù)則設有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構成復合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:但可定義復合函數(shù)時,雖不能在自然域R下構成復合函數(shù),可定義復合函數(shù)當改兩個以上函數(shù)也可構成復合函數(shù).例如,可定義復合函數(shù):約定:為簡單計,書寫復合函數(shù)時不一定寫出其定義域,

默認對應的函數(shù)鏈順次滿足構成復合函數(shù)的條件.4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學,P17–P20)非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當x>0當x=0當x<0取整函數(shù)當

設函數(shù)

x

換為f(x)例5.解:內容小結1.集合及映射的概念定義域對應規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結構

作業(yè)

P214(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18

2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié)且備用題證明證:

令則由消去得時其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.

設2.

設函數(shù)的圖形與均對稱,求證是周期函數(shù).證:由的對稱性知于是故是周期函數(shù),周期為

第一章二、收斂數(shù)列的性質一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束數(shù)列的極限數(shù)學語言描述:一、數(shù)列極限的定義引例.設有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.如圖所示,可知當

n無限增大時,無限逼近S

(劉徽割圓術)

,當n

>

N時,用其內接正

n

邊形的面積總有劉徽目錄上頁下頁返回結束定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為整標函數(shù)，記作稱為數(shù)列。若數(shù)列及常數(shù)a有下列關系:當n>

N

時,總有記作此時也稱數(shù)列收斂

,否則稱數(shù)列發(fā)散

.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列的極限為a,機動目錄上頁下頁返回結束將依照自然數(shù)n的順序排列得到的序列例如,趨勢不定收斂發(fā)散機動目錄上頁下頁返回結束例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當時,就有故機動目錄上頁下頁返回結束例2.已知證明證:欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由N

與

有關,但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取機動目錄上頁下頁返回結束例3.設證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當n>N

時,就有故的極限為

0.機動目錄上頁下頁返回結束二、收斂數(shù)列的性質證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當n>N2時,有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當n>N1時,假設從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當n>N

時,故假設不真!滿足的不等式機動目錄上頁下頁返回結束例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內,而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當n>N

時,有因此該數(shù)列發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結束2.收斂數(shù)列一定有界.證:

設取則當時,從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說明:

此性質反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列機動目錄上頁下頁返回結束3.收斂數(shù)列的保號性.若且時,有證:對a>0,取推論:若數(shù)列從某項起(用反證法證明)機動目錄上頁下頁返回結束4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.設在數(shù)列中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列（或子列）。設在數(shù)列中，第一次抽取第二次在后抽取這樣無休止的抽取下去，得到一個子數(shù)列顯然*********************證:設數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當時,有現(xiàn)取正整數(shù)K=N,于是當時,有從而有由此證明*********************機動目錄上頁下頁返回結束劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學家.他撰寫的《重差》對《九章算術》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學方法和數(shù)學理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法國數(shù)學家,他對數(shù)學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學

校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數(shù)學的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎推動了分析的發(fā)展.復變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,

第一章一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第三節(jié)自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內容:函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1.時函數(shù)極限的定義引例.

測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積直接觀測值間接觀測值任給精度,要求確定直接觀測值精度:定義1.

設函數(shù)在點的某去心鄰域內有定義,當時,有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當時的極限,或即當時,有若記作極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2)這表明:幾何解釋:例1.證明證:故對任意的當時,因此總有例2.證明證:欲使取則當時,必有因此只要例3.

證明證:故取當時,必有因此例4.

證明:當證:欲使且而可用因此只要時故取則當時,保證.必有2.保號性定理定理1.若且

A>0,證:

已知即當時,有當

A>0時,取正數(shù)則在對應的鄰域上(<0)則存在(A<0)(P37定理3)若取則在對應的鄰域上若則存在使當時,有推論:(P37定理3′)分析:定理2.

若在的某去心鄰域內,且則證:

用反證法.則由定理1,的某去心鄰域,使在該鄰域內與已知所以假設不真,(同樣可證的情形)思考:

若定理2中的條件改為是否必有不能!存在如假設A<0,條件矛盾,故3.左極限與右極限左極限:當時,有右極限:當時,有定理3.(P39題*11)例5.

給定函數(shù)討論時的極限是否存在.解:

利用定理3.因為顯然所以不存在.定義2

.設函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義,若則稱常數(shù)時的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線.A

為函數(shù)二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限例6.

證明證:取因此注:就有故欲使只要直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當時,有當時,有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，內容小結1.函數(shù)極限的或定義及應用2.函數(shù)極限的性質:保號性定理與左右極限等價定理思考與練習1.若極限存在,2.設函數(shù)且存在,則例3

作業(yè)

P371;4;*5(2);*6(2);*9Th1Th3Th2是否一定有第四節(jié)？

第一章二、無窮大三、無窮小與無窮大的關系一、無窮小第四節(jié)無窮小與無窮大

第一章二、極限的四則運算法則三、復合函數(shù)的極限運算法則一、無窮小運算法則第五節(jié)極限運算法則二、兩個重要極限一、極限存在準則第六節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束極限存在準則

第一章兩個重要極限

第一章都是無窮小,第七節(jié)引例.但可見無窮小趨于0的速度是多樣的.無窮小的比較二、函數(shù)的間斷點一、函數(shù)連續(xù)性的定義第八節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

第一章可見,函數(shù)在點一、函數(shù)連續(xù)性的定義定義:在的某鄰域內有定義,則稱函數(shù)(1)在點即(2)極限(3)設函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;機動目錄上頁下頁返回結束continue若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有機動目錄上頁下頁返回結束對自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)當時,有函數(shù)在點連續(xù)有下列等價命題:機動目錄上頁下頁返回結束例1.

證明函數(shù)在內連續(xù).證:即這說明在內連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結束例2.設函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.解:機動目錄上頁下頁返回結束例3.

設

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),解:且對任意實數(shù)證明f(x)

對一切

x

都連續(xù)

.機動目錄上頁下頁返回結束在在二、函數(shù)的間斷點(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設在點的某去心鄰域內有定義,則下列情形這樣的點之一函數(shù)f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點

.在無定義

;機動目錄上頁下頁返回結束間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點

.機動目錄上頁下頁返回結束為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例4.機動目錄上頁下頁返回結束判斷下列函數(shù)間斷點的類型顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.機動目錄上頁下頁返回結束例5.

確定函數(shù)間斷點的類型.解:

間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.機動目錄上頁下頁返回結束有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例6.

設函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.機動目錄上頁下頁返回結束例7.

求的間斷點,并判別其類型.解:

x=–1為第一類可去間斷點

x=1為第二類無窮間斷點

x=0為第一類跳躍間斷點機動目錄上頁下頁返回結束內容小結左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.2.設時提示:為連續(xù)函數(shù).機動目錄上頁下頁返回結束答案:x=1是第一類可去間斷點,3.P65題*8定義.若則稱

是比高階的無窮小,若若若若或設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱

是比低階的無窮小;則稱

是的同階無窮小;則稱

是關于的k階無窮小;則稱

是

的等價無窮小,記作例如

,

當～時～～又如

，故時是關于x的二階無窮小,～且例1.

證明:當時,～證:～例2.

證明:證:因此即有等價關系:說明:

上述證明過程也給出了等價關系:～～定理1.證:即即例如,～～故定理2.

設且存在,則證:例如,設對同一變化過程,,為無窮小,說明:無窮小的性質,(1)和差取大規(guī)則:由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則.若=o(),(2)和差代替規(guī)則:例如,例如,(見下頁例3)

例3.求解:原式例4.求解:例5.

證明:當時,證:利用和差代替與取大規(guī)則說明內容小結1.無窮小的比較設,

對同一自變量的變化過程為無窮小,且是的高階無窮小是的低階無窮小是的同階無窮小是的等價無窮小是的k階無窮小2.等價無窮小替換定理思考與練習Th2P59題1,2

作業(yè)

P593;4

(2),(3),(4);5

(3)

常用等價無窮小:第八節(jié)一、數(shù)列極限存在準則

1.兩邊夾準則

(準則1)證:

由條件(2),當時,當時,令則當時,有由條件(1)即故機動目錄上頁下頁返回結束例1.證明證:利用兩邊夾準則.且由機動目錄上頁下頁返回結束2.單調有界數(shù)列必有極限

(準則2

)(證明略)機動目錄上頁下頁返回結束例2.設證明數(shù)列極限存在.證:利用二項式公式,有機動目錄上頁下頁返回結束大大正又比較可知機動目錄上頁下頁返回結束根據(jù)準則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無理數(shù),其值為即有極限.原題目錄上頁下頁返回結束又故極限存在，例3.設,且求解：設則由遞推公式有∴數(shù)列單調遞減有下界，故利用極限存在準則機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例4.

設證:顯然證明下述數(shù)列有極限.即單調增,又存在“拆項相消”法思考與練習1.已知,求時,下述作法是否正確?說明理由.設由遞推式兩邊取極限得不對!此處機動目錄上頁下頁返回結束*3.柯西極限存在準則(柯西審斂原理)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當時,證:“必要性”.設則時,有使當因此“充分性”證明從略.有柯西目錄上頁下頁返回結束二、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系及夾逼準則1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系機動目錄上頁下頁返回結束定理1.有定義且有說明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個數(shù)列不存在.法2

找兩個趨于的不同數(shù)列及使(P37定理4)例5.

證明不存在.p63

證:

取兩個趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.機動目錄上頁下頁返回結束2.函數(shù)極限存在的夾逼準則定理2.且(與數(shù)列的夾逼準則證明類似,此處略.)機動目錄上頁下頁返回結束圓扇形AOB的面積二、兩個重要極限證:當即亦即時，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注注目錄上頁下頁返回結束注當時目錄上頁下頁返回結束例6.

求解:例7.

求解:

令則因此原式機動目錄上頁下頁返回結束例8.

求解:

原式=例9.

已知圓內接正n

邊形面積為證明:證:說明:計算中注意利用機動目錄上頁下頁返回結束2.證:當時,設則機動目錄上頁下頁返回結束當則從而有故說明:

此極限也可寫為時,令機動目錄上頁下頁返回結束例10.

求解:

令則說明

：若利用機動目錄上頁下頁返回結束則原式例11.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束的不同數(shù)列內容小結2.函數(shù)極限與數(shù)列極限關系的應用

利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在法1

找一個數(shù)列且使法2

找兩個趨于及使不存在.機動目錄上頁下頁返回結束1.極限存在準則3.兩個重要極限或注:

代表相同的表達式機動目錄上頁下頁返回結束時,有一、無窮小運算法則定理1.

有限個無窮小的和還是無窮小.證:

考慮兩個無窮小的和.設當時,有當時,有取則當因此這說明當時,為無窮小量.說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.定理2.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設又設即當時,有取則當時,就有故即是時的無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.

有限個無窮小的乘積是無窮小.例1.求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.二、極限的四則運算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關系定理,知定理結論成立.定理3.

若推論:

若且則(P46定理5)利用保號性定理證明.說明:

定理3可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形.提示:

令定理4

.若則有提示:

利用極限與無窮小關系定理及本節(jié)定理2證明.說明:

定理4可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設

n次多項式試證證:(詳見書P44)定理5.

若且B≠0,則有定理6

.

若則有提示:

因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結論.

x=3時分母為0!例3.

設有分式函數(shù)其中都是多項式,試證:證:說明:

若不能直接用商的運算法則.例4.

若例5.

求解:

x=1時,分母=0,分子≠0,但因例6

.

求解:分子分母同除以則“抓大頭”原式