高數(shù)上總習(xí)題課件

第一章、函數(shù)與極限習(xí)題課一、主要內(nèi)容二、典型例題三、作業(yè)一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念函數(shù)的定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1、函數(shù)的定義定義:定義域值域圖形:(一般為曲線)設(shè)函數(shù)為特殊的映射:其中函數(shù)的分類函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))(1)單值性與多值性:2、函數(shù)的性質(zhì)若對(duì)于每個(gè)僅有一個(gè)值y=f(x)與之對(duì)應(yīng)，則稱y=f(x)為單值函數(shù)，否則就是多值函數(shù).(2)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,且D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

奇函數(shù)(3)函數(shù)的單調(diào)性:當(dāng)時(shí),稱為I上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù)；單調(diào)減函數(shù).設(shè)函數(shù)且區(qū)間(4)函數(shù)的有界性:使設(shè)函數(shù)且數(shù)集稱在X上有界.(5)函數(shù)的周期性:oyx且則稱為周期函數(shù)

,若稱l為周期(一般指最小正周期).設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,3、反函數(shù)4、隱函數(shù)若函數(shù)習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù)

.5、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系設(shè)函數(shù)y=f(x),的反函數(shù)為(1)(2)y=f(x)與y=f－1(x)的圖形對(duì)稱于直線y=x.6、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對(duì)數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)7、復(fù)合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由y=f(u)和u=g(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),①②u

稱為中間變量.9、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)常用公式左右極限兩個(gè)重要極限求極限的常用方法無(wú)窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準(zhǔn)則無(wú)窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價(jià)無(wú)窮小及其性質(zhì)唯一性無(wú)窮小兩者的關(guān)系無(wú)窮大1、極限的定義定義1設(shè)為一數(shù)列，若存在常數(shù)a，對(duì)任意(無(wú)論多么小)，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)，都有則稱a為數(shù)列的極限，或稱收斂于a，記為或當(dāng)n>N時(shí)，總有當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或若記作在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,

設(shè)函數(shù)定義2當(dāng)時(shí),有左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有定理無(wú)窮小:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.無(wú)窮大:在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系2、無(wú)窮小與無(wú)窮大記作記作定理1在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)則有(1)(2)(3)定理

若推論1.(C為常數(shù)).推論2(n

為正整數(shù)).4、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.5、判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)準(zhǔn)則Ⅰ(或)時(shí),有則存在,且等于A.若當(dāng)準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.6、兩個(gè)重要極限(1)(2)7、無(wú)窮小的比較若則稱是比高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱是比低階的無(wú)窮小;則稱是的同階無(wú)窮小;則稱是關(guān)于的k

階無(wú)窮小;則稱是的等價(jià)無(wú)窮小,記作定義8、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)9、極限的唯一性且存在,則定理

設(shè)定理若存在，則極限唯一.～～～～～～～～～左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性振蕩間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類1、連續(xù)的定義定義1在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且定義22、單側(cè)連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)3、連續(xù)的充要條件定理4、間斷點(diǎn)的定義(1)

在點(diǎn)即(2)

極限(3)存在;有定義,存在;函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:在f(x)的不連續(xù)點(diǎn)(或間斷點(diǎn))。并稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)(或間斷),則稱如果上述三個(gè)條件中只要有一個(gè)不滿足,(1)跳躍間斷點(diǎn)(2)可去間斷點(diǎn)5、間斷點(diǎn)的分類若稱為為函數(shù)f(x)跳躍間斷點(diǎn).稱若存在,但為函數(shù)f(x)的可去間斷點(diǎn)

.跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx函數(shù)在x0處的左右極限都存在.0yx無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)0yx第二類間斷點(diǎn)及中至少一個(gè)不存在.稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為無(wú)窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn)

.6、閉區(qū)間的連續(xù)性7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，并且在左端點(diǎn)x=a處右連續(xù)，在右端點(diǎn)x=b處左連續(xù),則稱函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).定理1

單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).8、初等函數(shù)的連續(xù)性定理3定理2定理4

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.定理3.(零點(diǎn)定理)則至少有一點(diǎn)且使若f(x)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且則對(duì)A與B之間的任一使至少有一點(diǎn)定理4(介值定理)若f(x)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),數(shù)C,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.例1解二、典型例題例2解利用函數(shù)表示法的無(wú)關(guān)特性代入原方程得代入上式得解聯(lián)立方程組例3解將分子、分母同乘以因子(1-x),

則例4

求極限解而由夾逼準(zhǔn)則得例5

求極限解原式＝例6解例7解例8解例9證法一倘若不存在使則在上，不妨設(shè)于是與已知矛盾,原命題正確.例9證法二討論:由零點(diǎn)定理知,綜上所述,解原式=1.(2000考研)例10.

求上,,若

f(x)在連續(xù),解且對(duì)任意實(shí)數(shù)證明:f(x)

對(duì)一切

x

都連續(xù).例11

設(shè)f(x)定義在區(qū)間對(duì)任意所以f(x)在x連續(xù).三、作業(yè)1.下列各組函數(shù)是否相同?為什么?相同相同相同思考與練習(xí)不是是不是提示:(2)2.下列各種關(guān)系式表示的y

是否為x

的函數(shù)?為什么?3.下列函數(shù)是否為初等函數(shù)?為什么?以上各函數(shù)都是初等函數(shù).1-11求及其定義域.5.

已知,求6.

設(shè)求由得4.解:4.

設(shè)5.

已知,求解:6.

設(shè)求解:測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題答案在x=0連續(xù),則

a=

,

b=

.提示:例3.設(shè)函數(shù)有無(wú)窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在試確定常數(shù)a

及b.例4.

設(shè)函數(shù)解:原式故于是而例5.

確定常數(shù)a,b,

使-2-112-2-112時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:

設(shè)其為的階無(wú)窮小,則因故例6

當(dāng)閱讀與練習(xí)1.求的間斷點(diǎn),并判別其類型.解:

x=–1為第一類可去間斷點(diǎn)

x=1為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)

x=0為第一類跳躍間斷點(diǎn)2.求解:

令則利用夾逼準(zhǔn)則可知習(xí)題課一、導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)和微分的求法導(dǎo)數(shù)與微分第二章一、導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)

:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)

微分

:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

關(guān)系

:可導(dǎo)可微(思考P124題1)

應(yīng)用:(1)利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問(wèn)題

(3)微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用(2)用導(dǎo)數(shù)定義求極限1)推出三個(gè)最基本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法則推出;2)求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),及某些特殊函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);3)由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.設(shè)存在,求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.若且存在,求解:原式=且聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:思考

:

P124題2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.設(shè)試確定常數(shù)a,b

使f(x)

處處可導(dǎo),并求解:得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束是否為連續(xù)函數(shù)?判別:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)解:又例5.所以在處連續(xù).即在處可導(dǎo).處的連續(xù)性及可導(dǎo)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)和微分的求法1.正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則

2.熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧(1)

求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意討論界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等(2)

隱函數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)微分法(3)

參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)(4)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法(可利用微分形式不變性)轉(zhuǎn)化(5)

高階導(dǎo)數(shù)的求法逐次求導(dǎo)歸納;間接求導(dǎo)法;利用萊布尼茲公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.設(shè)其中可微,解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.且存在,問(wèn)怎樣選擇可使下述函數(shù)在處有二階導(dǎo)數(shù).解:

由題設(shè)存在,因此1)利用在連續(xù),即得2)利用而得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)利用而得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對(duì)t

求導(dǎo),得故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P1244;5(1);6;7(3),(4),(5);8(2);10;11(2);12;13;15機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

習(xí)題課三、中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、

微分中值定理及其應(yīng)用二、

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用三、

作業(yè)

拉格朗日中值定理

一、微分中值定理及其應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系

羅爾定理

柯西中值定理

泰勒中值定理

2.微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論3.有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法利用逆向思維,

設(shè)輔助函數(shù).一般解題方法:證明含一個(gè)中值的等式或根的存在,(2)若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理.必須多次應(yīng)用中值定理.(4)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),

多考慮用泰勒公式，(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理.例1.

設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)有界.證:

取點(diǎn)再取異于的點(diǎn)對(duì)為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理,得(定數(shù))可見對(duì)任意即得所證.在以例2.

設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且證明至少存在一點(diǎn)使上連續(xù),在證:

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故至使即有少存在一點(diǎn)例3.且試證存在證:

欲證因f(x)

在[a,b]

上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有將①代入②,

化簡(jiǎn)得故有①②即要證例4.設(shè)實(shí)數(shù)滿足下述等式證明方程在(0,1)

內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證:

令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點(diǎn)使即例5.設(shè)函數(shù)

f(x)

在[0,3]

上連續(xù),在(0,3)

內(nèi)可導(dǎo),且

分析:

所給條件可寫為(03考研)試證必存在

想到找一點(diǎn)

c,

使證:

因

f(x)

在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值

M與最小值

m,

故由介值定理,至少存在一點(diǎn)由羅爾定理知,必存在例6.設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明證:由泰勒公式得兩式相減得1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點(diǎn),漸近線,曲率2.解決最值問(wèn)題

目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化

最值的判別問(wèn)題3.其他應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)變化率;證明不等式;研究方程實(shí)根等.4.補(bǔ)充定理(見下頁(yè))二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用設(shè)函數(shù)在上具有n

階導(dǎo)數(shù),且則當(dāng)時(shí)證:

令則利用在處的

n

－1

階泰勒公式得因此時(shí)定理.的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例7.

填空題(1)

設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為

.提示:的正負(fù)作

f(x)

的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;

.在區(qū)間上是凸弧;拐點(diǎn)為

提示:的正負(fù)作

f(x)

的示意圖.形在區(qū)間

上是凹弧;

則函數(shù)

f(x)

的圖

(2)

設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示,在上可導(dǎo)，例8.

證明在上單調(diào)增加.證:令在

[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,得故當(dāng)

x>0

時(shí),從而在上單調(diào)增.例9.

設(shè)在上可導(dǎo),且證明

f(x)

至多只有一個(gè)零點(diǎn).證:

設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個(gè)零點(diǎn).又因因此也至多只有一個(gè)零點(diǎn).思考:

若題中改為其它不變時(shí),如何設(shè)輔助函數(shù)?例10.

求數(shù)列的最大項(xiàng).證:

設(shè)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得令得因?yàn)樵谥挥形ㄒ坏臉O大點(diǎn)因此在處也取最大值.又因中的最大項(xiàng).極大值列表判別:例11.證明證:設(shè),則故時(shí),

單調(diào)增加,從而即思考:

證明時(shí),如何設(shè)輔助函數(shù)更好?提示:例12.

設(shè)且在上存在,且遞減,有證:

設(shè)則所以當(dāng)令得即所證不等式成立.單調(diào)證明對(duì)一切例13.

證:

只要證利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.例14.

證明當(dāng)

x>0

時(shí),證:

令則法1

由在處的二階泰勒公式,得故所證不等式成立.與

1之間)法2

列表判別:即法3

利用極值第二判別法.故也是最小值,因此當(dāng)時(shí)即例15.

求解法1

利用中值定理求極限原式解法2

利用泰勒公式令則原式解法3

利用羅必塔法則原式習(xí)題課四一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法定積分及其相關(guān)問(wèn)題第四章一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問(wèn)題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求解:

因?yàn)闀r(shí),所以利用夾逼準(zhǔn)則得因?yàn)橐蕾囉谇?)思考例1下列做法對(duì)嗎?利用積分中值定理原式不對(duì)!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

2)

此類問(wèn)題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng).如,P265題4解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和：已知利用夾逼準(zhǔn)則可知(考研98)例2.

求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:提示:由上題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故練習(xí):

1.求極限解：原式2.

求極限提示：原式左邊=右邊機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.估計(jì)下列積分值解:

因?yàn)椤嗉礄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

證明證:

令則令得故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：顯然時(shí)結(jié)論成立.(用積分中值定理)當(dāng)時(shí),故所給不等式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束明對(duì)于任何例6.解：且由方程確定y

是x

的函數(shù),求方程兩端對(duì)x求導(dǎo),得令x=1,得再對(duì)y求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故例7.求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足解:

等式兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得不妨設(shè)

f(x)≠0,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意f(0)=0,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.

求多項(xiàng)式f(x)

使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見f(x)應(yīng)為二次多項(xiàng)式,設(shè)代入①

式比較同次冪系數(shù),得故①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束再求導(dǎo):二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1.熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法2.注意特殊形式定積分的計(jì)算3.利用各種積分技巧計(jì)算定積分4.有關(guān)定積分命題的證明方法思考:

下列作法是否正確?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.

求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10.

求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例11.

選擇一個(gè)常數(shù)

c,使解:

令則因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù),故選擇c使即可使原式為0.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例12.

設(shè)解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13.若解:

令試證:則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因?yàn)閷?duì)右端第二個(gè)積分令綜上所述機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例14.

證明恒等式證:

令則因此又故所證等式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例15.試證使分析:要證即故作輔助函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束至少存在一點(diǎn)證明:

令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號(hào),因此故所證等式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故由羅爾定理知,存在一點(diǎn)思考:

本題能否用柯西中值定理證明?如果能,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?要證:提示:設(shè)輔助函數(shù)例15目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例16.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且

(1)在(a,b)內(nèi)

f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)

,使

(3)在(a,b)內(nèi)存在與相異的點(diǎn),

使(03考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:

(1)

由f(x)在[a,b]上連續(xù),知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,因此(2)

設(shè)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即(3)

因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中結(jié)論得因此得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例17.設(shè)證:

設(shè)且試證:則故

F(x)單調(diào)不減,即②成立.②機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束習(xí)題課一、求不定積分的基本方法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、幾種特殊類型的積分不定積分的計(jì)算方法第四章一、求不定積分的基本方法1.直接積分法通過(guò)簡(jiǎn)單變形,利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法.2.換元積分法第一類換元法第二類換元法(注意常見的換元積分類型)(代換:)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.分部積分法使用原則:1)由易求出v;2)比好求.一般經(jīng)驗(yàn):按“反,對(duì),冪,指,三”的順序,排前者取為u,排后者取為計(jì)算格式:列表計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束多次分部積分的規(guī)律機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束快速計(jì)算表格:特別:

當(dāng)

u為n

次多項(xiàng)式時(shí),計(jì)算大為簡(jiǎn)便.例1.

求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束分析:例3.

求解:原式分部積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

設(shè)解:令求積分即而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

求解:取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

此法特別適用于如下類型的積分:例7.

設(shè)證:證明遞推公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.

求解:設(shè)則因連續(xù),得記作得利用

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.設(shè)解:為的原函數(shù),且求由題設(shè)則故即,因此故又機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、幾種特殊類型的積分1.一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三