單變量函數(shù)的微分課件

2-1單變量函數(shù)的微分學(xué)及應(yīng)用第二章2-2第二章基本內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)濟(jì)學(xué)概念導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用（II）供求理論消費(fèi)理論廠商理論市場(chǎng)理論導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用（I）Lagrangian中值定理與Taylor中值定理函數(shù)單調(diào)性函數(shù)凹凸性函數(shù)的極值2-3導(dǎo)數(shù)與微分變量與函數(shù)變量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題，往往由許多因素組成．可分為兩類(lèi)：1)原因因素，數(shù)學(xué)上稱(chēng)作自變量，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱(chēng)作外生變量（不可控因素）；2)結(jié)果因素，數(shù)學(xué)上稱(chēng)作因變量，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱(chēng)作內(nèi)生變量（可控因素，即模型的解）．函數(shù)我們主要研究?jī)?nèi)生變量與外生變量之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)上用因變量與自變量之間的函數(shù)關(guān)系來(lái)描述2-4導(dǎo)數(shù)定義設(shè)y=f(x)是定義在集合S上的一元函數(shù)，x0S，則f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)定義為或稱(chēng)f

(x)為定義在S上的導(dǎo)函數(shù)．由導(dǎo)數(shù)定義可知f(x+1)f(x)

f

(x)（參見(jiàn)后面的應(yīng)用）2-5導(dǎo)數(shù)

（續(xù)）幾何解釋f

(x0)是函數(shù)f(x)的圖形在點(diǎn)(x0，f(x0)點(diǎn)處切線的斜率，該點(diǎn)處切線的方程為yf(x0)=f

(x0)(xx0)經(jīng)濟(jì)解釋經(jīng)濟(jì)學(xué)中許多重要的概念是用導(dǎo)數(shù)來(lái)刻劃的；數(shù)學(xué)上的導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)著經(jīng)濟(jì)學(xué)上的邊際；利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析，簡(jiǎn)稱(chēng)邊際分析；例如，需求量Qd=f(P)對(duì)價(jià)格P的導(dǎo)數(shù)f(P)稱(chēng)為價(jià)格的邊際需求量．2-6導(dǎo)數(shù)

（續(xù)）經(jīng)濟(jì)應(yīng)用－－經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際概念經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際概念定義為一個(gè)經(jīng)濟(jì)量X在原有值X0的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)單位而導(dǎo)致的另一個(gè)經(jīng)濟(jì)量F(X)的增量，數(shù)學(xué)上表示為F(X0+1)

F(X0)F(X0)．勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量是指再雇用一個(gè)單位的勞動(dòng)所增加的產(chǎn)量；假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為Q=F(L)，當(dāng)前勞動(dòng)為L(zhǎng)0個(gè)單位，則勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量為F(L0+1)

F(L0)F(L0)．2-7導(dǎo)數(shù)與微分

（續(xù)）例如，設(shè)有生產(chǎn)函數(shù)Q=F(L)=L1/2/2，L0=100。計(jì)算知F'(L0)=F'(100)=0.025，F(xiàn)(101)F(100)=0.0249．可見(jiàn)導(dǎo)數(shù)F(100)是邊際產(chǎn)量F(101)F(100)的一個(gè)很好的近似值盡管F'

(X)不能精確表示由X增加一個(gè)單位而導(dǎo)致的F(X)的增加量，但經(jīng)濟(jì)學(xué)家們?nèi)匀挥盟鼇?lái)表示F(X)的邊際變化．這是因?yàn)?）單一項(xiàng)F'(X)比差F(X+1)F(X)簡(jiǎn)單；2）F'(X)避免了“用何單位度量X增加一個(gè)單位”這一問(wèn)題．2-8微分

定義

設(shè)y=f(x)是定義在集合S上的一元函數(shù)，x0S．給定自變量x的一個(gè)增量x，若函數(shù)的增量y可表示為：

y=f(x0+x)

f(x0)=Ax+o(x) 則稱(chēng)函數(shù)f(x)在x0處可微，并稱(chēng)Ax為函數(shù)f(x)在x0處的微分，記作dy|x=x0=Ax或dy|x=x0=Adx．微分的計(jì)算若函數(shù)f(x)在x0處可微，則dy|x=x0=f

(x0)x．2-9微分

（續(xù)）微分的應(yīng)用微分可用于近似計(jì)算．這是因?yàn)橛晌⒎值亩x可知

y=f(x0+x)

f(x0)

f

(x0)x或f(x0+x)

f(x0)+f

(x0)x. 在前面知道可用導(dǎo)數(shù)計(jì)算某個(gè)經(jīng)濟(jì)量x增加一個(gè)單位時(shí)相應(yīng)的另一個(gè)經(jīng)濟(jì)量的變化．若經(jīng)濟(jì)量X增加X(jué)個(gè)單位，則可用上式式計(jì)算相應(yīng)的另一個(gè)經(jīng)濟(jì)量F(X)的變化．2-10導(dǎo)數(shù)與微分

（續(xù)）例如，設(shè)有生產(chǎn)函數(shù)Q=F(L)=L1/2/2，將勞動(dòng)力L由900個(gè)單位削減到896個(gè)單位，試估計(jì)產(chǎn)量的變化和在L0=896處的新產(chǎn)量．解：Q=f

(900)(896900)=1/30單位F(896)=F(900)+Q=14.9667單位2-11Lagrangian中值定理若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)，則至少存在一個(gè)(a，b)使下式成立

f(b)

f(a)=f

()(b

a).幾何解釋?zhuān)涸诨B上至少有一點(diǎn)C，使曲線f(x)在C點(diǎn)處的切線平行于弦AB．OCABabf(x)2-12Taylor中值定理設(shè)x0

(a，b)，f(x)在(a，b)內(nèi)有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x

(a，b)時(shí)，存在在x0與x之間，使得下式成立其中稱(chēng)作Taylor余項(xiàng)當(dāng)n=0時(shí)，Taylor公式成為L(zhǎng)agrangian中值公式，因此Taylor中值定理是Largrangian中值定理的推廣．2-13應(yīng)用(I)單調(diào)性、凸凹性、極值介紹Largrangian中值定理和Taylor中值定理在函數(shù)的單調(diào)性、極值和凹凸性等方面的應(yīng)用．函數(shù)單調(diào)性的判定函數(shù)凹凸性的判定函數(shù)的極值2-14應(yīng)用(I)單調(diào)性

f(x)單調(diào)的充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)，則(1)f(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)增加的充分條件是在(a，b)上恒有f'(x)>0；(2)f(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)減少的充分條件是在(a，b)上恒有f'(x)<0．證明：由Largrangian中值定理證明．幾何解釋?zhuān)篺(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）等價(jià)于f(x)圖形上任一點(diǎn)處的切線與x軸的正向的傾角小于（或大于）900函數(shù)的單調(diào)性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中用于比較靜態(tài)分析等．2-15應(yīng)用(I)單調(diào)性（續(xù)）

f(x)嚴(yán)格單調(diào)的必要條件設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)且f'(x)0，則(1)f(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)增加的必要條件是在(a，b)上恒有f'(x)>0；(2)f(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)減少的必要條件是在(a，b)上恒有f'(x)<0．證明：可由導(dǎo)數(shù)的定義證明．2-16應(yīng)用(I)單調(diào)性（續(xù)）

f(x)單調(diào)的充分條件若對(duì)任意x1，x2

(a，b)，f(x2)（或）f(x1)+f(x1)(x2x1)，則f(x)在(a，b)上單調(diào)增加（減少）．

f(x)是單調(diào)減少的x1x2f(x2)f(x1)+f(x1)(x2x1)f(x1)幾何解釋?zhuān)篺(x)在[a，b]上單調(diào)增加（或減少）等價(jià)于f(x)圖形上任一點(diǎn)處的切線在f(x)圖形的下方（或上方）．2-17應(yīng)用(I)凸凹性（續(xù)）凸凹性定義（1）稱(chēng)函數(shù)f(x)在(a，b)上是凸的（或凹的），若對(duì)任意）[0，1]，對(duì)任意x1，x2

(a，b)，恒有下式成立f(x1+(1)x2)（或）

f(x1)+(1

)f(x2)（2）若對(duì)任意(0，1)，對(duì)任意x1，x2(a，b)且x1

x2，恒有上式中的嚴(yán)格不等式成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)是(a，b)上的嚴(yán)格凸（或凹）函數(shù)．由定義易知，嚴(yán)格凸（或凹）函數(shù)一定是凸（或凹）函數(shù)．2-18應(yīng)用(I)凸凹性continued凸凹性幾何意義

所以f(x)是凹函數(shù)x1x2f(x2)x3=x1+(1)x2f(x1)f(x3)=f(x1+(1)x2)

f(x1)+(1

)

f(x2)Ox32-19應(yīng)用(I)凸凹性continued凸凹性判斷法判定法之一（利用一階導(dǎo)數(shù)）設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)上可導(dǎo)，則f(x)在(a，b)上為凸（或凹）函數(shù)的充要條件是對(duì)任意x1，x2(a，b)有f(x2)（或）f(x1)+f

(x1)(x2

x1)當(dāng)上面的嚴(yán)格不等式對(duì)任意x1，x2

(a，b)且x1

x2成立時(shí)，即為嚴(yán)格凸（或凹）函數(shù)的充要條件．2-20應(yīng)用(I)凸凹性continued幾何意義x1x2f(x2)f(x1)+f(x1)(x2x1)f(x1)

f

(x)是凹函數(shù)f(x2)

f(x1)+f

(x1)(x2

x1)幾何解釋?zhuān)篺(x)是[a，b]上的凹函數(shù)（或凸函數(shù)）等價(jià)于f(x)圖形上任一點(diǎn)處的切線在f(x)圖形的上方（或下方）．2-21應(yīng)用(I)凸凹性continued凸凹性判斷法判定法之二（利用二階導(dǎo)數(shù)）若函數(shù)f(x)在(a，b)上是二階連續(xù)可微的，則f(x)是(a，b)上的凸（或凹）函數(shù)的充要條件是對(duì)任意x(a，b)有

f

(x)0(或f

(x)0)， 而f(x)是(a，b)上的嚴(yán)格凸（或凹）函數(shù)的充分條件是上面的嚴(yán)格不等式成立．幾何意義凸函數(shù)2-22應(yīng)用(I)函數(shù)的極值極值的必要條件設(shè)函數(shù)f(x)在x0可導(dǎo)，且在x0取得極值，則f(x0)=0幾何解釋?zhuān)呵€在函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0處的切線是水平的．x02-23應(yīng)用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）極值的充分條件(I)（一階充分條件）設(shè)f(x)在x0的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)且

f(x0)=0．（1）若x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)的符號(hào)恒為正；當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)的符號(hào)恒為負(fù)，則f(x)在x0處取得極大值;（2）若x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)的符號(hào)恒為負(fù)；當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)的符號(hào)恒為正，則f(x)在x0處取得極小值．2-24應(yīng)用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）極值的充分條件(II)（二階充分條件）設(shè)f(x0)=0，f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)0．（1）當(dāng)f(x0)<0時(shí)，f(x)在x0處取得極大值（2）當(dāng)f(x0)>0時(shí)，f(x)在x0處取得極小值2-25應(yīng)用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）極值的充分條件(III)（N階充分條件）設(shè)f(x0)=f(x0)==f(N

1)(x0)=0，f(N)(x0)0．（1）當(dāng)N為偶數(shù)且f(N)(x0)<0時(shí)，f(x)在x0處取得極大值；（2）當(dāng)N為偶數(shù)且f(N)(x0)>0時(shí)，f(x)在x0處取得極小值；（3）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，(x0，f(x0))為拐點(diǎn)．練習(xí)：考慮函數(shù)y=x3

和y=x6+6極值點(diǎn)和拐點(diǎn)．2-26應(yīng)用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）幾類(lèi)特定函數(shù)的最大值和最小值只有一個(gè)駐點(diǎn)x0(f(x0)=0)的函數(shù)．設(shè)a）f(x)的定義域是一個(gè)區(qū)間I；b）x0是f(x)在區(qū)間I上的唯一駐點(diǎn)；c）x0是f(x)的（局部）極值點(diǎn)．則x0是f(x)在區(qū)間I上的（全局）最值點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)處處非零的函數(shù)若f(x)是區(qū)間I上的二階連續(xù)可微函數(shù)，且f(x)在區(qū)間I上處處非零，則f(x)在區(qū)間I上至多有一個(gè)駐點(diǎn)．若有一個(gè)駐點(diǎn)x0，則x0是最值點(diǎn)．若f(x0)>0，則x0是最小值點(diǎn)；若f(x0)<0，則x0是最大值點(diǎn)．2-27應(yīng)用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）沒(méi)有最大值或最小值的函數(shù)定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間的函數(shù)不一定有最大（或?。┲?，如函數(shù)f(x)=x33x．定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間的嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)（或嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)）沒(méi)有最大值（或最小值）同時(shí)，有這樣的函數(shù)，有最小值，但無(wú)最大值，如f(x)=x4；也有這樣的函數(shù)，有最大值，但無(wú)最小值，如f(x)=

x4．2-28應(yīng)用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）定義域是閉區(qū)間的函數(shù)：Weierstrass定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值．凸（凹）函數(shù)設(shè)f(x)是區(qū)間I上的凸（或凹）函數(shù)，x0I是它的極小點(diǎn)（或極大點(diǎn)），則x0一定是f(x)的最?。ɑ蜃畲螅┲迭c(diǎn)．2-29應(yīng)用(II)經(jīng)濟(jì)學(xué)供求理論消費(fèi)理論廠商理論市場(chǎng)理論2-30應(yīng)用(II)供求理論需求向下傾斜規(guī)律觀察由需求表得到的需求曲線Qd=f(p)，它是向下傾斜的；換言之，需求量與價(jià)格成反向變動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)上描述為或供給向上傾斜規(guī)律供給曲線是向上傾斜的，即隨著價(jià)格的增加，供給量也增加．?dāng)?shù)學(xué)上描述為或（1）如何度量?jī)r(jià)格對(duì)需求的影響？（2）邊際需求是否受價(jià)格和需求量的單位的影響？2-31應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）需求彈性?xún)r(jià)格的變化如何影響需求的變化？可用需求函數(shù)Qd=F(p)關(guān)于價(jià)格p的導(dǎo)數(shù)F(p)來(lái)衡量，F(xiàn)(p)稱(chēng)作邊際需求．邊際需求是否受價(jià)格和需求量的單位的影響？例如，設(shè)價(jià)格增加1角導(dǎo)致汽油的消耗量減少1百萬(wàn)桶，則邊際需求為：桶/分桶/元百萬(wàn)桶/分Yes2-32應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）經(jīng)濟(jì)學(xué)者希望需求對(duì)價(jià)格的變化的靈敏度不受所選擇單位的影響，該靈敏度可用來(lái)比較具有不同貨幣、不同重量和體積單位的不同國(guó)家的消費(fèi)行為．解決辦法是用一個(gè)經(jīng)濟(jì)量的變化的百分率而不是它的增量來(lái)度量該量的變化．2-33應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）設(shè)某個(gè)經(jīng)濟(jì)量q的初值是q0，后變化為q1．則用(q1q0)/q0描述q的變化，而不用q=q1q0．前者不依賴(lài)于q的度量單位，稱(chēng)作q的變化的百分率，有時(shí)稱(chēng)之為q的增長(zhǎng)率．例如，若價(jià)格由$1.25變到$1.5，則價(jià)格變化的百分率（或價(jià)格的增長(zhǎng)率）為(1.51.25)/1.25=20%．若選其度量單位如美分或人民幣，這個(gè)增長(zhǎng)率仍不變2-34應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）需求的價(jià)格彈性彈性用兩個(gè)經(jīng)濟(jì)量變化的百分率的比值來(lái)刻劃一個(gè)量量對(duì)另一個(gè)量的影響程度．這個(gè)比值稱(chēng)作彈性．需求的價(jià)格彈性用變化的百分率分別度量?jī)r(jià)格的變化和需求的變化，進(jìn)而價(jià)格的變化對(duì)需求量變化的影響程度可以如下度量Edp=點(diǎn)彈性：Edp=（Qd=F(p)關(guān)于價(jià)格p是可導(dǎo)的）2-35應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）需求的價(jià)格弧彈性的計(jì)算中點(diǎn)公式Edp=低點(diǎn)公式Edp=Edp=對(duì)數(shù)公式Edp=Edp=2-36應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）缺乏彈性?xún)r(jià)格的任何變動(dòng)，會(huì)引起需求量較小程度的變化；或1%價(jià)格的變化導(dǎo)致少于1%需求量的變化．單一彈性?xún)r(jià)格的任何變動(dòng)，會(huì)引起需求量同等程度的變化；或需求變化的百分率與價(jià)格變化的百分率完全相同．Edp分類(lèi)完全無(wú)彈性不管價(jià)格如何變動(dòng)，需求量固定不變．2-37應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）Edp分類(lèi)富有彈性?xún)r(jià)格的任何變動(dòng)會(huì)引起需求量較大程度的變化；或1%價(jià)格的變化導(dǎo)致大于1%需求量的變化．完全彈性?xún)r(jià)格的任何變動(dòng)，會(huì)引起需求量無(wú)限的變動(dòng)．2-38應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）線性需求函數(shù)的點(diǎn)彈性設(shè)有線性需求函數(shù)Qd=a

bP，a，b>0是常數(shù)．將需求量作為橫坐標(biāo)，價(jià)格作為縱坐標(biāo)．垂直線Qd=Q0，其中Q0是常數(shù)．此時(shí)Edp=0．水平線P=m，其中m是常數(shù)．此時(shí)Edp=+．Edp==Q=Q0POQ完全無(wú)彈性P=mPOQ完全彈性2-39應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）線性需求函數(shù)的點(diǎn)彈性斜線Qd=a

bP，其中b

0．中點(diǎn)E處的點(diǎn)彈性為1；線段AE上任一點(diǎn)處的點(diǎn)彈性位于區(qū)間(1，+)；線段EB上任一點(diǎn)處的點(diǎn)彈性位于區(qū)間(0，1)．ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-40應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）下面證明線段AE上任一點(diǎn)處的點(diǎn)彈性位于區(qū)間(1，+)．

對(duì)AE上任一點(diǎn)（Q0，P0）有

所以1<a/(bP0)<2，0>1a/bP0>1因此|Edp|>1．

易知A(0，a/b)，E(a/2，a/2b)，B(a，0)ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-41應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）需求價(jià)格彈性與消費(fèi)者總支出的關(guān)系考慮完全壟斷市場(chǎng)．當(dāng)某種商品的價(jià)格P上升，消費(fèi)者總支出PQd將如何變化呢？變化是不確定的．這是因?yàn)镻和Qd反向變化．但有下面的結(jié)論．1)價(jià)格的增加導(dǎo)致總支出的增加的充要條件是商品的需求缺乏彈性；2)價(jià)格的增加導(dǎo)致總支出的減少的充要條件是商品的需求富有彈性;3)無(wú)論價(jià)格上升或下降，總支出不變的充要條件是商品的需求是單一彈性．證明：設(shè)商品的需求函數(shù)為Q=F(P)，則總支出為E(P)=PQ．進(jìn)而E(P)=2-42應(yīng)用(II)供求理論（續(xù)）需求收入彈性指消費(fèi)者收入的相對(duì)變動(dòng)所引起的需求量的變動(dòng)．需求量是收入I的連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù)時(shí)EdI=EdI=供給價(jià)格彈性（略）2-43應(yīng)用(II)消費(fèi)理論研究需求函數(shù)背后的消費(fèi)者的行為理論．從生產(chǎn)者的角度可稱(chēng)為需求理論．需求的實(shí)現(xiàn)或欲望的滿(mǎn)足，就是消費(fèi)．消費(fèi)是人們?yōu)闈M(mǎn)足欲望而使用物品的一種經(jīng)濟(jì)行為，是人類(lèi)一切經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn)，是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的首要問(wèn)題．消費(fèi)者行為的分析法確定性分析：包括基數(shù)效用理論和序數(shù)效用理論；不確定性分析：風(fēng)險(xiǎn)情況下的消費(fèi)選擇2-44應(yīng)用(II)消費(fèi)理論（續(xù)）經(jīng)濟(jì)學(xué)上一般用效用理論分析消費(fèi)者的行為．效用是人們從消費(fèi)一種產(chǎn)品中所得到的滿(mǎn)足．一種產(chǎn)品，必須既有滿(mǎn)足人們欲望的性能，人們又有對(duì)它滿(mǎn)足的欲望，才能產(chǎn)生效用．它是一種主觀的使用價(jià)值．基數(shù)效用分析方法原理基數(shù)效用分析方法（Cardinalutilityapproach），即邊際效用分析方法，認(rèn)為一種產(chǎn)品對(duì)一個(gè)人的效用可用一個(gè)基數(shù)度量，如1，2.1，6，7，7.32，…，且每個(gè)人都能說(shuō)出這種產(chǎn)品對(duì)自己的效用，單位為尤特爾（util）．2-45應(yīng)用(II)消費(fèi)理論（續(xù)）總效用總效用是指消費(fèi)者在一定時(shí)間內(nèi)消費(fèi)某種產(chǎn)品而獲得的效用總量．若只消費(fèi)一種產(chǎn)品，則總效用函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)效用函數(shù)）可表示為為T(mén)U=TU(X)．這個(gè)概念對(duì)序數(shù)效用分析法同樣適用2-46應(yīng)用(II)消費(fèi)理論（續(xù)）邊際效用函數(shù)一種產(chǎn)品的邊際效用（以MU表示），是指在原有的消費(fèi)水平X0下，再追加一個(gè)消費(fèi)單位所增加的總效用，即MU=TU(X0+1)TU(X0)．邊際效用的度量法MU=TU(X0)這是因?yàn)門(mén)U(X0+1)TU(X0)

TU(X0)．MU>0，即TU(x)是增函數(shù)．2-47應(yīng)用(II)消費(fèi)理論（續(xù)）邊際效用遞減法則也叫Gossen第一法則，是指在一定時(shí)間內(nèi)，一個(gè)人消費(fèi)一種產(chǎn)品的邊際效用，隨其消費(fèi)量的增加而減少．?dāng)?shù)學(xué)分析Gossen第一法則等價(jià)于TU是凹函數(shù)2-48應(yīng)用(II)消費(fèi)理論（續(xù)）消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡是指消費(fèi)者以一定的收入，在一定市場(chǎng)價(jià)格下，購(gòu)買(mǎi)一定數(shù)量的產(chǎn)品，能夠獲得最大滿(mǎn)足的狀態(tài)總效用最大狀態(tài)．無(wú)約束消費(fèi)者均衡消費(fèi)者的消費(fèi)行為不受任何限制，他消費(fèi)一種產(chǎn)品的最大效用可表示為一個(gè)自由極值問(wèn)題：maxTU(X)X*是均衡消費(fèi)量的必要條件是

假設(shè)X*滿(mǎn)足則X*是均衡消費(fèi)量的二階充分條件是2-49應(yīng)用(II)消費(fèi)理論end有約束消費(fèi)者均衡消費(fèi)者的消費(fèi)行為受某種限制，如消費(fèi)量XI，I是一個(gè)區(qū)間．他消費(fèi)一種產(chǎn)品的最大效用可表示為一個(gè)約束極值問(wèn)題：maxTU(X)s.t.X

I這等價(jià)于求函數(shù)TU(X)在區(qū)間I上的極大值或最大值．序數(shù)效用分析方法在多元函數(shù)微分法和優(yōu)化理論中介紹．2-50應(yīng)用(II)廠商理論廠商理論具有兩重性，可從兩個(gè)方面進(jìn)行研究：1)從實(shí)物形態(tài)上研究生產(chǎn)的原理，叫生產(chǎn)理論；2)從貨幣形態(tài)上研究成本的結(jié)構(gòu)，叫成本理論．二者是同一生產(chǎn)者行為的兩個(gè)方面，只是表現(xiàn)形式不同．我們將看到廠商理論中所采用的分析方法，基本上是消費(fèi)理論中用過(guò)的方法．生產(chǎn)理論僅考慮短期生產(chǎn)函數(shù)：Q=F(L)或Q=F(K)，即勞動(dòng)和資本中只有一個(gè)發(fā)生變化．2-51應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）生產(chǎn)函數(shù)假設(shè)考慮生產(chǎn)函數(shù)Q=F(X)．（1）是連續(xù)的或C2（即有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）（2）是增函數(shù)（3）存在一個(gè)投入水平LN，使F(X)是（0，LN

）上的凸函數(shù)，是（LN

，+）上的凹函數(shù)．若F(X)是C2的，則假設(shè)（2）和（3）可表示為：（2'）對(duì)任意的投入水平L

，F(xiàn)

(X)>0．（3'）存在一個(gè)投入水平LN

，使對(duì)任意的投入水平X(0，LN)，F(xiàn)

(X)>0；對(duì)任意的投入水平X(LN

，+)，F(xiàn)

(X)<0．2-52圖2.4.2生產(chǎn)函數(shù)LQNOQ=F(L)LN2-53實(shí)物產(chǎn)量總產(chǎn)量一定技術(shù)下，變動(dòng)投入L(或K)和一定量的其它投入相結(jié)合所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量叫總實(shí)物產(chǎn)量，記為T(mén)P．TP=F(L)或TP=F(K)．平均產(chǎn)量一定技術(shù)條件下，平均每個(gè)單位勞動(dòng)或資本投入所生產(chǎn)的總產(chǎn)量，叫勞動(dòng)或資本的平均實(shí)物產(chǎn)量，記作APL或APK．

APL=TP/L，APK=TP/K．邊際產(chǎn)量在一定條件下，資本或勞動(dòng)投入的微小變動(dòng)所引起的總產(chǎn)量的變動(dòng)，叫勞動(dòng)或資本的邊際實(shí)物產(chǎn)量，簡(jiǎn)稱(chēng)勞動(dòng)或資本的邊際產(chǎn)量．記為MPL或MPK．

MPL=

F(L)MPK=

F(K)應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）2-54點(diǎn)（L0，Q0）處的實(shí)物產(chǎn)量的幾何圖形表示LQNOQ=F(L)LNL0Q0L12-55實(shí)物產(chǎn)量間的關(guān)系QLNROTPLNSLSLRAPMPLQOLNLSLRM2-56應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）實(shí)物產(chǎn)量間的關(guān)系與實(shí)物產(chǎn)量的極值TP與AP：TP上任一點(diǎn)M(L，Q)處的AP是自原點(diǎn)到點(diǎn)(L，Q)處的射線的斜率．開(kāi)始時(shí)，該斜率（AP）隨L值的增加而增大，即AP遞增．當(dāng)這條射線與TP曲線切于點(diǎn)S時(shí)（L=LS），其斜率最大，即AP最大．過(guò)了點(diǎn)S，其斜率遞減，即AP遞減（見(jiàn)定理2.4.2）．2-57應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）實(shí)物產(chǎn)量間的關(guān)系與實(shí)物產(chǎn)量的極值TP與MP：TP曲線上任何一點(diǎn)的邊際產(chǎn)量MP是TP曲線在這一點(diǎn)處切線的斜率．在拐點(diǎn)N以前，切線的斜率為正且遞增，即MP遞增．到拐點(diǎn)N，切線斜率達(dá)到最大，即MP最大．過(guò)了拐點(diǎn)N后，切線的斜率遞減．到了點(diǎn)R，切線的斜率為零（即MP=0），這時(shí)TP達(dá)到最大．過(guò)點(diǎn)R以后，切線的斜率由正變負(fù)，MP為負(fù)數(shù)，TP也遞減．2-58應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）為什么MP在拐點(diǎn)N處獲極大值？MP=F(L)，由生產(chǎn)函數(shù)的假設(shè)知N(LN，F(xiàn)(LN))是拐點(diǎn)，即dMP/dL(LN)=F(LN)=0；當(dāng)L(0，LN)時(shí)，

F(L)>0，即MP遞增；當(dāng)L(LN，+)時(shí)，F(xiàn)(L)<0，即MP遞減．故MP在N(LN，F(xiàn)(LN))處獲極大值．

AP與MP：定理2.4.2（1）AP遞增的充要條件是MP>AP（2）AP遞減的充要條件是MP<AP；（3）AP在LS處達(dá)到極大的充分條件是MP(LS)

=AP(LS)且F

(LS)

<0．證明：（見(jiàn)P21頁(yè)）．

2-59定理2.4.2（1）AP遞增的充要條件是MP>AP；

（2）AP遞減的充要條件是MP<AP；（3）AP在LS處達(dá)到極大的充分條件是MP(LS)

=AP(LS)且F

(LS)<0圖2.4.2實(shí)物產(chǎn)量間的關(guān)系LAPMPQOLNLSLR分析：為了獲得AP的增減情況和極值情況，我們找到AP的表達(dá)式，用其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷．證明：據(jù)AP=F(L)/L，有

從而結(jié)論（1）和（2）成立．

為了證明結(jié)論（3），需要證明

由MP(LS)

=AP(LS)及AP導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式可知由F

(LS)<0及可知證畢2-60應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）成本理論總成本、總固定成本和總變動(dòng)成本平均固定成本、平均變動(dòng)成本與平均成本邊際成本2-61TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVCTFCM'M''QM總固定成本TFC總變動(dòng)成本TVC總成本TC總收入TR2-62應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）總成本、總固定成本和總變動(dòng)成本（1）總固定成本（TFC）一定產(chǎn)量范圍內(nèi)，不隨產(chǎn)量變動(dòng)而變動(dòng)的成本之和，如廠房、機(jī)器以及保險(xiǎn)費(fèi)、常雇人員工資等經(jīng)常性的開(kāi)支．即使停產(chǎn)，產(chǎn)量為零，TFC仍存在．假設(shè)TFC=b．可分為兩類(lèi)：1)與產(chǎn)量無(wú)關(guān)的當(dāng)期支出，如利息、租金、水電費(fèi)、職員工資等．2)不一定當(dāng)期支出，但最后必須支付，如正常利潤(rùn)．2-63應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）（2）總變動(dòng)成本（TVC）隨產(chǎn)量變動(dòng)而變動(dòng)的成本之和，如原材料、燃料、電力、運(yùn)輸費(fèi)、直接生產(chǎn)工人的工資等．如暫時(shí)停產(chǎn)，產(chǎn)量為0，總變動(dòng)成本也為0，總成本=總固定成本．一般滿(mǎn)足假設(shè)：TVC在(0，QM)上是Q的凹函數(shù)，在(QM，+)上是Q的凸函數(shù)．2-64應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）（3）總成本（TC）總成本是總固定成本和總變動(dòng)成本之和，即TC=TVC+TFC．一般滿(mǎn)足的假設(shè)與TVC滿(mǎn)足的假設(shè)相同，即TC在(0，QM)上是Q的凹函數(shù)，在(QM，+)上是Q的凸函數(shù)．若TC是關(guān)于Q

的二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則此假設(shè)可表示為：在(0，QM)上TC(Q)<0，在(QM，+)上TC

(Q)>0，且TC(QM)=0．2-65應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）平均固定成本、平均變動(dòng)成本與平均成本（1）平均固定成本（AFC）AVC是原點(diǎn)O到TVC上一點(diǎn)射線的斜率．開(kāi)始時(shí)，AVC遞減；直到自原點(diǎn)的射線與TVC相切于點(diǎn)V時(shí)，AVC最低；在這以后，AVC又遞增．在產(chǎn)量OQV之前，AVC的斜率為負(fù)，在產(chǎn)量OQV

之后，AVC的斜率為正．其數(shù)學(xué)分析見(jiàn)定理2.4.3．（2）平均變動(dòng)成本（AFC）2-66應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）（3）平均（總）成本（ATC或AC）AC=TC/Q=AFC+AVCAC是從原點(diǎn)到TC曲線上一點(diǎn)射線的斜率．開(kāi)始時(shí)，AC遞減；直到自原點(diǎn)的射線與TC曲線相切于點(diǎn)C時(shí)，AC最低；在這以后，AC又遞增．在產(chǎn)量OQC以前，AC的斜率為負(fù)，在產(chǎn)量OQC

以后，AC的斜率為正．其數(shù)學(xué)分析見(jiàn)定理2.4.4．注記：TC>TVC，AC>AVC，AC最低的產(chǎn)量大于AVC最低的產(chǎn)量．2-67應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）邊際成本（MC）邊際成本指每增加一個(gè)單位產(chǎn)量所增加的成本．可表示為MC(Q)=TC(Q+1)TC(Q)．當(dāng)TC(Q)是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，可表示為幾何上，MC(Q)是TC(Q)曲線在Q處的斜率．開(kāi)始時(shí)，在拐點(diǎn)M之前，TC曲線的斜率遞減，因而MC遞減；到拐點(diǎn)M時(shí)斜率最小，即MC(QM)最小，在拐點(diǎn)M之后，TC曲線的斜率遞增，因而MC遞增．2-68應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）幾何上，MC(Q)是TC(Q)曲線在Q處的斜率．開(kāi)始時(shí)，在拐點(diǎn)M

之前，TC曲線的斜率遞減，因而MC遞減；到拐點(diǎn)M時(shí)斜率最小，即MC(QM)最小，在拐點(diǎn)M

之后，TC曲線的斜率遞增，因而MC遞增．MC(Q)在QM達(dá)到極小來(lái)自對(duì)函數(shù)TC(Q)的假設(shè)．即在(0，QM)上MC(Q)=TC(Q)<0，在(QM，+)上MC(Q)=TC(Q)>0，且MC(QM

)=TC

(QM)=0，因此MC(Q)在QM達(dá)到極?。?-69應(yīng)用(II)廠商理論（續(xù)）AVC與MC之間的關(guān)系定理2.4.3設(shè)TC(Q)是函數(shù)，則（1）AVC是增函數(shù)的充要條件是MC>AVC；（2）AVC是減函數(shù)的充要條件是MC<AVC；（3）AVC在QV處達(dá)到極小值的充分條件是MC(QV

)=AVC(QV

)且TC

(QV)>0．AC與MC之間的關(guān)系定理2.4.4設(shè)TC(Q)是函數(shù)，則（1）AC是增函數(shù)的充要條件是MC>AC；（2）AC是減函數(shù)的充要條件是MC<AC；（3）AC在QC處達(dá)到極小值的充分條件是

MC(QC

)=AC(QC

)且TC

(QC)>0．2-70TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVCTFCM'M''QM總固定成本TFC總變動(dòng)成本TVC總成本TC總收入TR2-71MCQMVCAQVQMQCQAACAVCAFCPOAR=MR=PAAR=MR=PCAR=MR=PVAR=MR=PMQBBAR=MR=PRAR=MR=PSRS平均固定成本AFC平均變動(dòng)成本AVC平均成本AC邊際成本MC圖2.4.3完全競(jìng)爭(zhēng)廠商的盈虧分析QS2-72應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論前面已研究了消費(fèi)者行為理論和生產(chǎn)者行為理論，將兩者結(jié)合起來(lái)，進(jìn)一步研究它們之間的交易行為怎樣共同決定產(chǎn)品市場(chǎng)的價(jià)格和產(chǎn)量，通稱(chēng)市場(chǎng)理論．市場(chǎng)類(lèi)型：完全競(jìng)爭(zhēng)；完全壟斷；壟斷競(jìng)爭(zhēng)和寡頭壟斷本小節(jié)僅考慮前兩種市場(chǎng)，其余的放在優(yōu)化理論的章節(jié)中討論．2-73應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論（續(xù)）完全競(jìng)爭(zhēng)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的特征價(jià)格既定：個(gè)別家庭或廠商都是價(jià)格的接受者．即P=P0，P0是確定的常數(shù)產(chǎn)品同質(zhì)、無(wú)異投入要素可在產(chǎn)業(yè)間自由轉(zhuǎn)移．信息充分：所有廠商和顧客完全掌握現(xiàn)在和將來(lái)的價(jià)格信息，因而不會(huì)有任何人以高于市場(chǎng)的價(jià)格進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)，以低于市場(chǎng)的價(jià)格進(jìn)行銷(xiāo)售．完全競(jìng)爭(zhēng)廠商面對(duì)既定的市場(chǎng)價(jià)格而調(diào)整自己的產(chǎn)量，只能控制產(chǎn)量這一變量，中心問(wèn)題是研究產(chǎn)量決策．2-74應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論（續(xù)）完全競(jìng)爭(zhēng)短期均衡——盈虧分析法（1）總收入總成本分析法max(Q)=TR(Q)

TC(Q)幾何上π(Q*)是極大值的條件可敘述為：π(Q*)極大的必要條件是：TR曲線的斜率=TC曲線的斜率．π(Q*)極大的充分條件是：MC曲線自右下方與MR曲線相交．幾何解釋見(jiàn)下圖．2-75QTOQBPQTRTCQM完全競(jìng)爭(zhēng)廠商的虧損分析QTQMMQTOQBQMMC=MR=PTPQMC

PT2-76應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論（續(xù)）完全競(jìng)爭(zhēng)短期均衡——盈虧分析法（2）邊際收入邊際成本分析法

定理2.4.5利潤(rùn)極大的必要條件（MR=MC定理）π(Q)在Q*處取得極大值的必要條件是MR(Q*)=MC(Q*)．證明：見(jiàn)講義．幾何解釋見(jiàn)上圖．推論2.4.7（MR=MC定理）

π(Q)在Q*處取得極大值或S(Q)在Q*處取得極小值的必要條件是P*=MC(Q*)．2-77應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論（續(xù)）完全競(jìng)爭(zhēng)定理2.4.5的解釋?zhuān)阂粋€(gè)廠商應(yīng)該繼續(xù)生產(chǎn)產(chǎn)品，一直到再多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品的成本（MC）剛好與該單位產(chǎn)品所帶來(lái)的收入（MR）相抵消．若下一個(gè)單位產(chǎn)品給廠商增加的收入大于它給廠商增加的成本（MR>MC），則生產(chǎn)下一個(gè)單位的產(chǎn)品將增加廠商的利潤(rùn)，因而廠商應(yīng)進(jìn)行生產(chǎn)．若再多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品所增加的成本大于它給廠商（在市場(chǎng)上）增加的收入（MC>MR），則再多生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品將減少?gòu)S商的利潤(rùn)，即廠商本應(yīng)該早點(diǎn)兒停產(chǎn)．2-78應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論（續(xù)）完全競(jìng)爭(zhēng)（2）邊際收入邊際成本分析法定理2.4.6

（利潤(rùn)極大或損失極小的充分條件）假設(shè)Q*滿(mǎn)足MR(Q*)=MC(Q*)，則

π(Q)在Q*處取得極大值的充分條件是推論2.4.8（利潤(rùn)極大或損失極小的充分條件）假設(shè)Q*滿(mǎn)足MR(Q*)=MC(Q*)，則π(Q)在Q*處取得極大值或S(Q)在Q*處取得極小值的充分條件是

或或2-79應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論（續(xù)）完全競(jìng)爭(zhēng)零利潤(rùn)點(diǎn)、停止生產(chǎn)點(diǎn)、停止決策、盈利與虧損1）零利潤(rùn)點(diǎn)對(duì)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格為PC時(shí)，即MR曲線（P=PC）與MC曲線交于AC曲線的最低點(diǎn)C時(shí)PC

=MR=AC，因而TR=TC=PCQC，即超額利潤(rùn)為零（正常利潤(rùn)已含在成本內(nèi)）．使TR=TC的點(diǎn)C（指生產(chǎn)水平）叫零利潤(rùn)點(diǎn)，收支相抵點(diǎn)或扯平點(diǎn)．（3）盈虧的確定即使推論2.4.7和推論2.4.8中的的必要和充分條件都滿(mǎn)足，TR也有可能不足TC，即出現(xiàn)虧損．考慮圖2.4.3（P23），當(dāng)市場(chǎng)的價(jià)格是PS時(shí)，均衡產(chǎn)量為QS．此時(shí)有TR<TC，出現(xiàn)虧損．2-80應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論（續(xù)）完全競(jìng)爭(zhēng)2）停止生產(chǎn)點(diǎn)對(duì)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格為PV時(shí)，即MR曲線（P=PV）與MC曲線交于AVC曲線的最低點(diǎn)V，有PV

=MR=AVC<AC，因而TR=TVC=PVQV．此時(shí)廠商可以繼續(xù)生產(chǎn)，也可以停產(chǎn)，不論廠商是否繼續(xù)生產(chǎn)，都虧損TFC．所以AVC曲線的最低點(diǎn)V點(diǎn)稱(chēng)為停止生產(chǎn)點(diǎn)．使TR=TVC的點(diǎn)（市場(chǎng)價(jià)格）叫停止生產(chǎn)點(diǎn)．2-81應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論（續(xù)）完全競(jìng)爭(zhēng)當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格P=PS<PV時(shí)，即MR曲線（P=PS）與MC曲線交于S點(diǎn)．這時(shí)，AC和AVC曲線都在MR曲線之上，因此AC>PS

=MR<AVC或TC>TR<TVC.說(shuō)明此時(shí)廠商如果生產(chǎn)的話，不僅虧損TVC，而且也要虧損部分TFC，故必須停產(chǎn)．當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格P=PR>PV時(shí)，即MR曲線（P=PR）與MC曲線交于R點(diǎn)．這時(shí)，MR曲線在AC曲線之下，在AVC曲線之上，因此AC>PR

=MR>AVC或TC>TR>TVC說(shuō)明此時(shí)廠商應(yīng)繼續(xù)生產(chǎn)，收益不僅能抵消TVC，且能抵消部分TFC．綜上述，對(duì)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)而言有下面的結(jié)論3）和4）．2-82應(yīng)用(II)市場(chǎng)理論（續(xù)）完全競(jìng)爭(zhēng)3）廠商的有效供給曲線是以停止生產(chǎn)點(diǎn)V以上的那部分邊際成本所代表的曲線VA，如圖2.4.3（P23）所示．可表示為P=MC(Q)，當(dāng)P

PV時(shí)；Q=0，當(dāng)P<PV時(shí)．上面的部分MC之所以看作單一廠商的供給曲線是因?yàn)楹瘮?shù)P=MC(Q)表示了價(jià)格P和最優(yōu)產(chǎn)量Q的關(guān)系且最優(yōu)產(chǎn)量可由MC曲線上的一個(gè)點(diǎn)表示；對(duì)任意的價(jià)格P，廠商愿意提供的最優(yōu)產(chǎn)量