滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)課件全套

小結(jié)與復(fù)習(xí)九年級(jí)數(shù)學(xué)上（HK）教學(xué)課件第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)要點(diǎn)梳理考點(diǎn)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)要點(diǎn)梳理

一般地，形如

(a，b，c是常數(shù)，

__)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．y＝ax2＋bx＋ca

≠０[注意](1)等號(hào)右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當(dāng)b＝0，c＝0時(shí)，y＝ax2是特殊的二次函數(shù)．1.二次函數(shù)的概念二次函數(shù)y=a(x-h)2+ky＝ax2＋bx＋c開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值a＞0a＜0增減性a＞0a＜02.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：a＞0開口向上a＜0開口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=k在對(duì)稱軸左邊,x↗y↘;在對(duì)稱軸右邊,

x↗y↗

在對(duì)稱軸左邊,x↗y↗;在對(duì)稱軸右邊,

x↗y↘y最小=y最大=3.二次函數(shù)圖像的平移y＝ax2左、右平移左加右減上、下平移上加下減y＝-ax2寫成一般形式沿x軸翻折4.二次函數(shù)表達(dá)式的求法1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)2．頂點(diǎn)法：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)3．交點(diǎn)法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況:有兩個(gè)交點(diǎn),有兩個(gè)重合的交點(diǎn),沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸有交點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和x軸交點(diǎn)一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判別式（b2-4ac）有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根b2-4ac>0有兩個(gè)重合的交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=0沒(méi)有交點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根b2-4ac<06.二次函數(shù)的應(yīng)用1．二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面(1)用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題變量之間的關(guān)系，解決最大化問(wèn)題(即最值問(wèn)題)；(2)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解．2．一般步驟：(1)找出問(wèn)題中的變量和常量以及它們之間的函數(shù)關(guān)系；(2)列出函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍；(3)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題；(4)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，是否符合實(shí)際意義．7.反比例函數(shù)的概念定義：形如________(k為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)．三種表達(dá)式方法：或xy＝kx或y＝kx－1(k≠0)．防錯(cuò)提醒：(1)k≠0；(2)自變量x≠0；(3)函數(shù)y≠0.8.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)反比例函數(shù)的圖象：反比例函數(shù)(k≠0)的圖象是

，它既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形.反比例函數(shù)的兩條對(duì)稱軸為直線

和

；

對(duì)稱中心是：

.雙曲線原點(diǎn)y=xy=－x(2)反比例函數(shù)的性質(zhì)

圖象所在象限性質(zhì)(k≠0)k＞0一、三象限(x，y同號(hào))在每個(gè)象限內(nèi)，y

隨x的增大而減小k＜0二、四象限(x，y異號(hào))在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大xyoxyo(3)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義

k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)(x，y)具有兩坐標(biāo)之積(xy＝k)為常數(shù)這一特點(diǎn)，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積為常數(shù)|k|.規(guī)律：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，一條垂線與坐標(biāo)軸、原點(diǎn)所圍成的三角形的面積為常數(shù)．9.反比例函數(shù)的應(yīng)用?利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)：①根據(jù)兩變量之間的反比例關(guān)系，設(shè)；②代入圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即x、y的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，求出k的值；③寫出解析式.?反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的求法求直線y＝k1x＋b(k1≠0)和雙曲線(k2≠0)的交點(diǎn)坐標(biāo)就是解這兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組.?利用反比例函數(shù)相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程：分析實(shí)際情境→建立函數(shù)模型→明確數(shù)學(xué)問(wèn)題注意：實(shí)際問(wèn)題中的兩個(gè)變量往往都只能取非負(fù)值.考點(diǎn)一求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值考點(diǎn)講練例1

拋物線y＝x2－2x＋3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________．【解析】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．方法二代入公式，，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．(1,2)

解決此類題目可以先把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c配方為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k的形式，得到：對(duì)稱軸是直線x＝h，最值為y＝k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)；也可以直接利用公式求解.方法歸納1．對(duì)于y＝2(x－3)2＋2的圖像下列敘述正確的是(

)A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,2)

B．對(duì)稱軸為y＝3C．當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x的增大而增大D．當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x的增大而減小C針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及函數(shù)值的大小比較例2二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖像如圖所示，若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖像上，且x1<x2<1，則y1與y2的大小關(guān)系是(

)A.y1≤y2

B．y1<y2

C．y1≥y2

D．y1>y2【解析】由圖像看出，拋物線開口向下，對(duì)稱軸是x＝1，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大．∵x1<x2<1，∴y1<y2.故選B.B2.下列函數(shù)中，當(dāng)x＞0時(shí)，y值隨x值增大而減小的是（）

A.y=B.y=x-1C.D.y=-3x2D針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)三

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與系數(shù)a，b，c的關(guān)系例3已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4D解析：由圖像開口向下可得a＜0，由對(duì)稱軸在y軸左側(cè)可得b＜0，由圖像與y軸交于正半軸可得c＞0，則abc＞0，故①正確；由對(duì)稱軸x>－1可得2a－b＜0，故②正確；由圖像上橫坐標(biāo)為x＝－2的點(diǎn)在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正確；由圖像上橫坐標(biāo)為x＝1的點(diǎn)在第四象限得出a＋b＋c＜0，由圖像上橫坐標(biāo)為x＝－1的點(diǎn)在第二象限得出

a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正確．故選D.方法總結(jié)1.可根據(jù)對(duì)稱軸的位置確定b的符號(hào)：b＝0?對(duì)稱軸是y軸；a、b同號(hào)?對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；a、b異號(hào)?對(duì)稱軸在y軸右側(cè).這個(gè)規(guī)律可簡(jiǎn)記為“左同右異”.2.當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝a＋b＋c.當(dāng)圖像上橫坐標(biāo)x＝1的點(diǎn)在x軸上方時(shí)，a＋b＋c＞0；當(dāng)圖像上橫坐標(biāo)x＝1的點(diǎn)在x軸上時(shí)，a＋b＋c＝0；當(dāng)圖像上橫坐標(biāo)x＝1的點(diǎn)在x軸下方時(shí)，a＋b＋c＜0.同理，可由圖像上橫坐標(biāo)x＝－1的點(diǎn)判斷a－b＋c的符號(hào).3.已知二次函數(shù)y=－x2＋2bx＋c，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1

D．b≤1針對(duì)訓(xùn)練解析：∵二次項(xiàng)系數(shù)為－1＜0，∴拋物線開口向下，在對(duì)稱軸右側(cè)，y的值隨x值的增大而減小，由題設(shè)可知，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，∴拋物線y=－x2＋2bx＋c的對(duì)稱軸應(yīng)在直線x=1的左側(cè)而拋物線y=－x2＋2bx＋c的對(duì)稱軸，即b≤1，故選擇D.考點(diǎn)四拋物線的幾何變換例4將拋物線y＝x2－6x＋5向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線解析式是(

)A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【解析】因?yàn)閥＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的解析式為y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故選B.4.若拋物線y=－7(x+4)2－1平移得到y(tǒng)=－7x2，則可能（）A.先向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位B.先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位C.先向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位D.先向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位B針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)五二次函數(shù)表達(dá)式的確定例5已知關(guān)于x的二次函數(shù),當(dāng)x=－1時(shí),函數(shù)值為10,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)值為4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)值為7,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.待定系數(shù)法解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y＝ax2+bx＋c,由題意得：解得,

a=2,b=－3,c=5.∴所求的二次函數(shù)為y＝2x2－3x＋5.5.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同,頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5,請(qǐng)寫出滿足此條件的拋物線的表達(dá)式.解:拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同

a=1或－1

又頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5,頂點(diǎn)為(1,5)或(1,－5)

所以其表達(dá)式為:(1)y=(x－1)2+5(2)y=(x－1)2－5(3)y=－(x－1)2+5(4)y=－(x－1)2－5

針對(duì)訓(xùn)練例6若二次函數(shù)y=x2+mx的對(duì)稱軸是x=3，則關(guān)于x的方程x2+mx=7的解為（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7解析：∵二次函數(shù)y=x2+mx的對(duì)稱軸是x=3，∴

=3，解得m=－6，∴關(guān)于x的方程x2+mx=7可化為x2－6x－7=0，即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．故選D．考點(diǎn)六二次函數(shù)與一元二次方程例7

某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)y＝kx＋b，且x＝65時(shí)，y＝55；x＝75時(shí)，y＝45.(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？考點(diǎn)七二次函數(shù)的應(yīng)用解：(1)根據(jù)題意，得解得k=-1,b=120.故所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+120.(2)W=(x-60)?(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,∵拋物線的開口向下，∴當(dāng)x＜90時(shí)，W隨x的增大而增大，而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,∴當(dāng)x=87時(shí)，W有最大值，此時(shí)W=-(87-90)2+900=891.例8如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在F處，DF交BC于點(diǎn)G.(1)用含有x的代數(shù)式表示BF的長(zhǎng)；(2)設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出這個(gè)最大值．解：（1）由題意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.∴BF=2x-30.（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF-=∠ABC=90°，∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.所以S△DEF-S△GBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=

x2+60x-450.（3）S=x2+60x-450=(x-20)2+150.∵a=＜0,15＜20＜30，∴當(dāng)x=20時(shí)，S有最大值，最大值為150.考點(diǎn)八反比例函數(shù)的概念針對(duì)訓(xùn)練1.下列函數(shù)中哪些是正比例函數(shù)？哪些是反比例函數(shù)?

①y=3x－1②y=2x2⑤y=3x③④⑥⑦⑧2.已知點(diǎn)P(1，－3)在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值是()A.3B.－3C.D.B3.若是反比例函數(shù)，則a的值為()A.1B.－1C.±1D.任意實(shí)數(shù)A例9已知點(diǎn)A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函數(shù)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是()A.y3＜y1＜y2B.y1＜y2＜y3C.y2＜y1＜y3D.y3＜y2＜y1解析：方法①分別把各點(diǎn)代入反比例函數(shù)求出y1，y2，y3的值，再比較出其大小即可．方法②：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較．考點(diǎn)九反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)D

方法總結(jié)：比較反比例函數(shù)值的大小，在同一個(gè)象限內(nèi)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)比較，在不同象限內(nèi)，不能按其性質(zhì)比較，函數(shù)值的大小只能根據(jù)特征確定．

已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜0＜x2)都在反比例函數(shù)(k<0)的圖象上，則y1與y2的大小關(guān)系(從大到小)為

.y1＞0＞y2針對(duì)訓(xùn)練例10

如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，則△POB的面積為

.1考點(diǎn)十與反比例函數(shù)k有關(guān)的問(wèn)題針對(duì)訓(xùn)練

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線l∥y軸，且直線l分別與反比例函數(shù)(x＞0)和(x＞0)的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，若S△POQ=14，則k的值為

.20考點(diǎn)十一反比例函數(shù)的應(yīng)用例11

如圖，已知A

(－4，)，B(－1，2)是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)(m＜0)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D．(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；OBAxyCD解：當(dāng)－4＜x＜－1時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.(2)求一次函數(shù)解析式及m的值；解：把A(－4，)，B(－1，2)代入y=kx+b中，得－4k+b=，－k+b=2，解得k=，b=，所以一次函數(shù)的解析式為y=x+.

把B(－1，2)代入中，得m=－1×2=－2.

(3)P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA

和△PDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo).OBAxyCDP

∵△PCA面積和△PDB面積相等，∴AC·[t－(－4)]=BD·[2－[

2－(

t+)]，解得：t=.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t+)，P點(diǎn)到直線AC的距離為t－(－4)，P點(diǎn)到直線BD的距離為2－

(

t+)．

方法總結(jié)：此類一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二元一次方程組，三角形面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用，其關(guān)鍵是理清解題思路.在直角坐標(biāo)系中，求三角形或四邊形面積時(shí)，是要選取合適的底邊和高，正確利用坐標(biāo)算出線段長(zhǎng)度.針對(duì)訓(xùn)練如圖，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為(k＞0)．(1)若該反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y=2x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，求k的值；Oyx解：由題意知點(diǎn)P

在正比例函數(shù)

y=2x上，把P

的縱坐標(biāo)2帶入該解析式，得P

(1，2)，把P

(1，2)代入，得到P2(2)若該反比例函數(shù)與過(guò)點(diǎn)M(－2，0)的直線l：y=kx

+b的圖象交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)△ABO

的面積為時(shí)，求直線l的解析式；解：把M(－2，0)代入y=kx+b，得b=2k，∴y=kx+2k，OAyBxMlN解得x=－3或1.y＝kx+2k，

∴∴B(－3，－k)，A(1，3k).∵△ABO的面積為∴2·3k·+2·k·=解得∴直線l的解析式為y=x+．OyxMlNA(1，3k)B(－3，－k)(3)在第(2)題的條件下，當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？OyxMlNA(1，3k)B(－3，－k)解：當(dāng)x＜－3或0＜x＜1時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.例4病人按規(guī)定的劑量服用某種藥物，測(cè)得服藥后2小時(shí)，每毫升血液中的含藥量達(dá)到最大值為4毫克.已知服藥后，2小時(shí)前每毫升血液中的含藥量y(單位：毫克)與時(shí)間x(單位：小時(shí))成正比例；2小時(shí)后y與x成反比例(如圖).根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：(1)求當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y與x的函數(shù)解析式；

解：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y與x成正比例函數(shù)關(guān)系．設(shè)y＝kx，由于點(diǎn)(2，4)在線段上，所以4＝2k，k＝2，即y＝2x.Oy/毫克x/小時(shí)24(2)求當(dāng)x>2時(shí)，y與x的函數(shù)解析式；解：當(dāng)x>2時(shí)，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)解得k＝8.由于點(diǎn)(2，4)在反比例函數(shù)的圖象上，所以即Oy/毫克x/小時(shí)24(3)若每毫升血液中的含藥量不低于2毫克時(shí)治療有效，則服藥一次，治療疾病的有效時(shí)間是多長(zhǎng)？解：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，含藥量不低于2毫克，即2x≥2，解得x≥1，∴1≤x≤2；當(dāng)x>2時(shí)，含藥量不低于2毫克，即≥2，解得x≤4.∴2<x≤4.所以服藥一次，治療疾病的有效時(shí)間是1＋2＝3(小時(shí))．Oy/毫克x/小時(shí)24

二次函數(shù)二次函數(shù)的概念二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)課堂小結(jié)不共線三點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式二次函數(shù)的應(yīng)用課堂小結(jié)反比例函數(shù)定義圖象性質(zhì)x，y的取值范圍增減性對(duì)稱性k的幾何意義應(yīng)用在實(shí)際生活中的應(yīng)用在物理學(xué)科中的應(yīng)用小結(jié)與復(fù)習(xí)第22章相似形要點(diǎn)梳理考點(diǎn)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)九年級(jí)數(shù)學(xué)上(HK)教學(xué)課件(1)形狀相同的圖形(2)相似多邊形要點(diǎn)梳理(3)相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比1.

圖形的相似①表象：大小不等，形狀相同.②實(shí)質(zhì)：各對(duì)應(yīng)角相等、各對(duì)應(yīng)邊成比例.?通過(guò)定義?平行于三角形一邊的直線?三邊成比例?兩邊成比例且夾角相等?兩角分別相等?兩直角三角形的斜邊和一條直角邊成比例(三個(gè)角分別相等，三條邊成比例)2.

相似三角形的判定?對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例?對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比?周長(zhǎng)比等于相似比?面積比等于相似比的平方3.

相似三角形的性質(zhì)(1)測(cè)高測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離)測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決.(2)測(cè)距4.

相似三角形的應(yīng)用(1)如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.(這時(shí)的相似比也稱為位似比)5.

位似(2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比；對(duì)應(yīng)線段平行或者在一條直線上.(3)

位似性質(zhì)的應(yīng)用：能將一個(gè)圖形放大或縮小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P(4)平面直角坐標(biāo)系中的位似當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為k；當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為－k.例1如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？ABCDEFGH解：設(shè)正方形EFHG為加工成的正方形零件，邊GH在BC

上，頂點(diǎn)E、F分別在AB、

AC上，△ABC的高AD與邊

EF相交于點(diǎn)M，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xmm.M考點(diǎn)講練考點(diǎn)一相似三角形的判定和性質(zhì)∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，又∵AM＝AD－MD＝80－x，解得x=48.即這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是48mm.

ABCDEFGHM則∴證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分線，∴∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．例2

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABD∽△CED；ABCDFE(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的長(zhǎng).解：作BM⊥AC于點(diǎn)M.

∵

AC＝AB＝6，∴AM＝CM＝3.∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，

MD＝1.ABCDFEM在Rt△BDM中，由(1)△ABD∽△CED得，即∴ABCDFEM針對(duì)訓(xùn)練1．如圖所示,當(dāng)滿足下列條件之一時(shí)，都可判定

△ADC∽△ACB．(1)

；(2)

；(3)

.∠ACD=∠B∠ACB=∠ADCBCAD或AC2=AD·AB2.△ABC的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，與它相似的△DEF的最小邊長(zhǎng)為15，則△DEF的其他兩條邊長(zhǎng)為

．36和393.如圖，△ABC中，AB=9，AC=6，點(diǎn)E在AB上且AE=3，點(diǎn)F在AC上，連接EF，若△AEF

與△ABC相似，則AF=

.BCAE2或4.54.如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE:

EC

=1:2，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△BFE的面積與△DFA的面積之比為

.

1:9考點(diǎn)二相似的應(yīng)用例3

如圖，某一時(shí)刻一根2m長(zhǎng)的竹竿EF的影長(zhǎng)GE為1.2m，此時(shí)，小紅測(cè)得一棵被風(fēng)吹斜的柏樹與地面成30°角，樹頂端B在地面上的影子點(diǎn)D與B到垂直地面的落點(diǎn)C的距離是3.6m，求樹AB的長(zhǎng)．2m1.2m3.6m2m1.2m3.6m解：如圖，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即樹長(zhǎng)AB是12m.即∴例4

星期天，小麗和同學(xué)們?cè)诒躺硩徆珗@游玩，他們來(lái)到1928年馮玉祥將軍為紀(jì)念北伐軍陣亡將士所立的紀(jì)念碑前，小麗問(wèn)：“這個(gè)紀(jì)念碑有多高呢？”請(qǐng)你利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)一種方案測(cè)量紀(jì)念碑的高度(畫出示意圖)，并說(shuō)明理由．解：如圖，線段AB為紀(jì)念碑，在地面上平放一面鏡子E，人退后到D處，在鏡子里恰好看見紀(jì)念碑頂A.若人眼距地面距離為CD，測(cè)量出CD、DE、

BE的長(zhǎng)，就可算出紀(jì)念碑AB的高．根據(jù)，即可算出AB的高．你還有其他方法嗎？理由：測(cè)量出CD、DE、BE的長(zhǎng)，因?yàn)椤螩ED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.

如圖，小明同學(xué)跳起來(lái)把一個(gè)排球打在離地2m遠(yuǎn)的地上，然后反彈碰到墻上，如果她跳起擊球時(shí)的高度是1.8m，排球落地點(diǎn)離墻的距離是6m，假設(shè)球一直沿直線運(yùn)動(dòng)，球能碰到墻面離地多高的地方？針對(duì)訓(xùn)練ABOCD2m6m1.8m解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD.∴∴解得CD=5.4m.故球能碰到墻面離地5.4m高的地方．ABOCD2m6m1.8m考點(diǎn)三位似的性質(zhì)及應(yīng)用針對(duì)訓(xùn)練1.在如圖所示的四個(gè)圖形中，位似圖形的個(gè)數(shù)為()A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)C2.

已知△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，

△ABC和△A′B′C′不存在位似關(guān)系的是()B'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'AC'BCA'ABCDB3.如圖，DE∥AB，CE=3BE，則△ABC與△DEC

是以點(diǎn)

為位似中心的位似圖形，其位似比為

，面積比為

.

DAEBCC4:316:94.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－6，

3)，(－12，9)，△ABO

和△A′B′O是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形.若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(2，－1)則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為

.(4，－3)5.找出下列圖形的位似中心.6.如圖，下面的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).ABC(1)在圖中△ABC內(nèi)部作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似中心為點(diǎn)O，位似比為2:3.OA′B′C′解：如圖所示.(2)線段AA′的長(zhǎng)度是

.7.如圖，△ABC在方格紙中.(1)請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使A(2，3)，

C(6，2)，并求出B點(diǎn)坐標(biāo)；解：如圖所示，

B(2，1).xyO(2)以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2，在第一象限內(nèi)將△ABC放大，畫出放大后的圖形△A′B′C′；xyOA′B′C′解：如圖所示.

(3)計(jì)算△A′B′C′的面積S.xyOA′B′C′解：課堂小結(jié)相似相似圖形位似相似多邊形相似三角形性質(zhì)平面直角坐標(biāo)系中的位似應(yīng)用性質(zhì)判定平行線分線段成比例定義定義、判定、性質(zhì)小結(jié)與復(fù)習(xí)九年級(jí)數(shù)學(xué)上（HK）教學(xué)課件第23章解直角三角形要點(diǎn)梳理考點(diǎn)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)(2)∠A的余弦：cosA＝

＝

；(3)∠A的正切：tanA＝

＝

.要點(diǎn)梳理1.銳角三角函數(shù)如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊．(1)∠A的正弦：∠A的對(duì)邊斜邊sinA=∠A的鄰邊斜邊∠A的鄰邊∠A的對(duì)邊sin30°＝

，sin45°＝

，sin60°＝

；cos30°＝

，cos45°＝

，cos60°＝

；tan30°＝

，tan45°＝

，tan60°＝

.2.特殊角的三角函數(shù)1合作探究(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊．三邊關(guān)系：

；三角關(guān)系：

；邊角關(guān)系：sinA＝cosB＝

，cosA＝sinB＝

，tanA＝

，tanB＝

.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B

3.解直角三角形(2)直角三角形可解的條件和解法?條件：解直角三角形時(shí)知道其中的2個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，就可以求出其余的3個(gè)未知元素．?解法：①一邊一銳角，先由兩銳角互余關(guān)系求出另一銳角；知斜邊，再用正弦(或余弦)求另兩邊；知直角邊用正切求另一直角邊，再用正弦或勾股定理求斜邊；②知兩邊：先用勾股定理求另一邊，再用邊角關(guān)系求銳角；③斜三角形問(wèn)題可通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題．(3)互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系sinα=

，cosα=

，sin2α+cos2α=

.tanα·

tan(90°－α)

=

.cos(90°－α)sin(90°－α)11對(duì)于sinα與tanα，角度越大，函數(shù)值越

；對(duì)于cosα，角度越大，函數(shù)值越

.大小(4)銳角三角函數(shù)的增減性(1)利用計(jì)算器求三角函數(shù)值第二步：輸入角度值，屏幕顯示結(jié)果.(也有的計(jì)算器是先輸入角度再按函數(shù)名稱鍵)第一步：按計(jì)算器鍵，sintancos4.借助計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值及銳角(2)利用計(jì)算器求銳角的度數(shù)還可以利用鍵，進(jìn)一步得到角的度數(shù).第二步：輸入函數(shù)值屏幕顯示答案(按實(shí)際需要進(jìn)行精確)方法①：°＇″2ndF第一步：按計(jì)算器鍵，2ndFsincostan方法②：第二步：輸入銳角函數(shù)值屏幕顯示答案(按實(shí)際需要選取精確值).第一步：按計(jì)算器鍵，°＇″2ndF(1)仰角和俯角鉛直線水平線視線視線仰角俯角在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.5.三角函數(shù)的應(yīng)用以正南或正北方向?yàn)闇?zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于900的角，叫做方位角.如圖所示：30°45°BOA東西北南(2)方位角45°45°西南O東北東西北南西北東南坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有

i=tan

α.坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如圖：坡面的鉛垂高度（h）和水平長(zhǎng)度（l）的比叫做坡面坡度.記作i，即i

=.(3)坡度，坡角(4)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；②根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；③得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；④得到實(shí)際問(wèn)題的答案．ACMN①在測(cè)點(diǎn)A安置測(cè)傾器，測(cè)得M的仰角∠MCE=α；E

②量出測(cè)點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=l；③量出測(cè)傾器的高度AC=a，可求出

MN=ME+EN=l·tanα+a.α(1)測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度步驟：6.利用三角函數(shù)測(cè)高(2)測(cè)量東方明珠的高度的步驟是怎么樣的呢？①在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)M的仰角∠MCE=α；ACBDMNEα②在測(cè)點(diǎn)A與物體之間的B處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)M的仰角

∠MDE=β；β③量出測(cè)傾器的高度AC=BD=a，以及測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離

AB=b.根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，可求出物體MN的高度.考點(diǎn)一求三角函數(shù)的值考點(diǎn)講練例1

在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB的值為()A.B.C.D.解析：根據(jù)sinA＝，可設(shè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4k，5k，則第三邊長(zhǎng)為3k，所以tanB＝B方法總結(jié)：求三角函數(shù)值方法較多，解法靈活，在具體的解題中要根據(jù)已知條件采取靈活的計(jì)算方法，常用的方法主要有：(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求值；(2)直接運(yùn)用三角函數(shù)的定義求值；(3)借助邊的數(shù)量關(guān)系求值；(4)借助等角求值；(5)根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求值；(6)構(gòu)造直角三角形求值．1.在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA=cosB，那么△ABC一定是______三角形．直角2.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，

C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是____.針對(duì)訓(xùn)練例2

矩形ABCD中AB=10，BC=8，E為AD邊上一點(diǎn)，沿CE將△CDE對(duì)折，使點(diǎn)D正好落在AB邊上，求tan∠AFE．分析：根據(jù)題意，結(jié)合折疊的性質(zhì)，易得∠AFE=∠BCF，進(jìn)而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．108解：由折疊的性質(zhì)可得，CF=CD，∠EFC=∠EDC=90°.∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，∴∠AFE+∠BFC=90°.∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.∴tan∠BCF=.

∴tan∠AFE=tan∠BCF=.108針對(duì)訓(xùn)練解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=

∴BD=AD·tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC－BD=14－9=5，∴∴sinC=3.如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，

AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．考點(diǎn)二特殊角的三角函數(shù)值例3

計(jì)算：解：原式＝(1)tan30°＋cos45°＋tan60°；(2)tan30°·tan60°＋cos230°.4.計(jì)算：解：原式解：原式針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)三

解直角三角形例4如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=，求：(1)DC的長(zhǎng)；分析：題中給出了兩個(gè)直角三角形，DC和sinB可分別在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，圖中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．ABCD又BC－CD＝BD，解得x=6，∴CD=6.ABCD解：設(shè)CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=，(2)sinB的值．ABCD解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，方法總結(jié)：本考點(diǎn)主要考查已知三角形中的邊與角求其他的邊與角.解決這類問(wèn)題一般是結(jié)合方程思想與勾股定理，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解.5.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)).針對(duì)訓(xùn)練解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，∴△ABC的周長(zhǎng)為AB＋BC＋AC解：連接OC.∵BC是⊙O的切線，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP.例5

已知：如圖，Rt△AOB中，∠O＝90°，以O(shè)A為半徑作⊙O，BC切⊙O于點(diǎn)C，連接AC交OB于點(diǎn)P.(1)求證：BP＝BC；解：延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝，設(shè)OP＝x，AP＝3x，∴AO＝x.∵AO＝OE，∴OE＝x，∴AE＝x.∵sin∠PAO＝，∴在Rt△ACE中，∴，解得x＝3，∴AO＝x＝，即⊙O的半徑為.(2)若sin∠PAO＝，且PC＝7，求⊙O的半徑．E6.如圖，AB為⊙O的直徑，且弦CD⊥AB于E，過(guò)點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半徑．針對(duì)訓(xùn)練解：連接BD．在⊙O中，∠C=∠A，∵BF是⊙O的切線，∴∠ABF=90°．設(shè)AB=4x，則AF=5x，由勾股定理得，BF=3x．∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AD，∴cosA=cosC=∴△ABF∽△BDF，∴⊙O的半徑為考點(diǎn)四

三角函數(shù)的應(yīng)用例6

如圖，防洪大堤的橫截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期來(lái)臨前對(duì)其進(jìn)行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡長(zhǎng)AB=20m，求改造后的坡長(zhǎng)AE．(結(jié)果保留根號(hào))

解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，則AF=AB·sin60°=(m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，則(m).故改造后的坡長(zhǎng)AE為m.F7.如圖，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)江邊一處防洪大堤(橫斷面為梯形ABCD)急需加固，背水坡的坡角為45°，高10米．經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：沿背水坡面用土石進(jìn)行加固，并使上底加寬