充分條件、必要條件 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)§1.2.3充分條件、必要條件嘗試與發(fā)現(xiàn)我們已經(jīng)接觸過(guò)很多形如“如果p，那么q”的命題，例如：（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么這個(gè)銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（3）如果x>2，那么x>3；（4）如果a>b且c>0，那么ac>bc.在“如果p，那么q”形式的命題中，p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.一、充分條件、必要條件若“如果p，那么q”是一個(gè)真命題，則稱由p可以推出q，記作，讀作“p推出q”.1.定義：當(dāng)時(shí)，我們稱p是q的充分條件，q是p的必要條件；（當(dāng)時(shí)，我們稱p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.）AB一、充分條件、必要條件因此，“如果p，那么q”是真命題，

，p是q的充分條件，q是p的必要條件；，p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.例如，因?yàn)椤叭绻鹸=-y，則x2=y2”是真命題，所以x=-y是x2=y2的_____條件，x=-y是x2=y2的_____條件.又如，因?yàn)槊}“若A∩B≠?，則A≠?”是真命題，所以A∩B≠?_____A≠?

A∩B≠?是A≠?的_____條件，A∩B≠?是A≠?的_____條件.充分充分必要必要一、充分條件、必要條件例1判斷下列各題中，p是否是q的充分條件，q是否是p的必要條件：

（1）p:x∈Z，q:x∈R；

（2）p:x是矩形，q:x是正方形.解（1）因?yàn)檎麛?shù)都是有理數(shù)，從而一定也是實(shí)數(shù)，即，因此p是q的充分條件，q是p的必要條件.（2）因?yàn)榫匦尾灰欢ㄊ钦叫危?，因此p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.一、充分條件、必要條件例2說(shuō)明下述命題是否可以看成判定定理或性質(zhì)定理，如果可以，說(shuō)出其中涉及的充分條件或必要條件：

（1）形如y=ax2（a是非零常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù)；

（2）菱形的對(duì)角線互相垂直.解（1）這可以看成一個(gè)判定定理，因此“形如y=ax2（a是非零常數(shù)）的函數(shù)”是“這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)”的_____條件（2）這可以看成菱形的一個(gè)性質(zhì)定理，因此“四邊形對(duì)角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的_____條件充分必要二、充要條件1.充分不必要條件：一般地，如果且則稱p是q的充分不必要條件.例，因?yàn)閤>3

x>2，所以x>3是x>2的充分條件，又因?yàn)閤>3x>2，所以x>3不是x>2的必要條件，即x>3是x>2的充分不必要條件》2.必要不充分條件：一般地，如果且則稱p是q的必要不充分條件.例，x(x+1)=0是x=0的必要不充分條件.二、充要條件3.充要條件：如果且則稱p是q的充分必要條件（簡(jiǎn)稱充要條件）.記作，也讀作“p與q等價(jià)”“p當(dāng)且僅當(dāng)q”.當(dāng)然，p是q的充要條件時(shí)，q是p也是的充要條件.例，當(dāng)x≥0時(shí)，有意義；當(dāng)有意義時(shí)，x≥0.因此“x≥0”是“有意義”的充要條件二、充要條件例3在△ABC中，判斷∠B=∠C是AC=AB的充要條件.解因?yàn)椤霸谌切沃?，等邊?duì)等角”，所以∠B=∠CAC=AB；又因?yàn)椤霸谌切沃?，等邊?duì)等角”，所以AC=AB∠B=∠C.從而∠B=∠C

AC=AB，因此△ABC中∠B=∠C是AC=AB的充要條件.歸納總結(jié)1.如果p

q且qp，則稱p是q的________________條件2.如果pq且qp，則稱p是q的________________條件3.如果pq且qp，則稱p是q的________________條件4.如果pq且qp，則稱p是q的________________條件充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要練習(xí)A1.設(shè)區(qū)間A=(-0，-1],B=(-∞，1)，判斷x∈A

是否是x∈B的充分條件和必要條件.解：

x∈A

是x∈B的必要不充分條件.練習(xí)A2.說(shuō)明下述命題是否可以看成判定定理或性質(zhì)定理，如果可以，說(shuō)出其中涉及的充分條件或必要條件:(1)形如y=x2+bx(b

是常數(shù))的函數(shù)是二次函數(shù);(2)菱形的對(duì)角線互相平分.解：（1）可以看成判定定理，即“形如y=x2+bx(b

是常數(shù))的函數(shù)”是“函數(shù)是二次函數(shù)”的充分條件.（2）可以看成性質(zhì)定理，即“四邊形的對(duì)角線互相平分”是“四邊形是菱形”的必要條件.練習(xí)A3.下列各題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”，下同)？（1）p：x<2，q：x<1;（2）p：x<0，q：-有意義;（3）p：x>0，q：|x|=x。解：（1）p是q的必要不充分條件；（2）p是q的充要條件；（3）p是q的充分不必要條件.練習(xí)A4.“有兩個(gè)角之和為90°的三角形稱為直角三角形”是否可以作為直角三角形的定義？為什么？解：可以，因?yàn)椤坝袃蓚€(gè)角之和為90°”是“三角形為直角三角形”的必要條件.練習(xí)B1.下列各題中，p是q的什么條件?(1)p：A=?，q：A∪B=B；(2)p：A

B，q：A∩B=A；(3)p：x∈A，q：x∈A∩B.解：（1）

p是q的充分不必要條件；（2）p是q的充要條件；（3）p是q的必要不充分條件.練習(xí)B2.下列各題中，p是q的什么條件?(1)p：a2=4，q：a=2;(2)p：AB，q：A∪B=B;(3)p：兩個(gè)三