人教A版（2023）選修一3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（含解析）

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（共19題）

一、選擇題（共11題）

已知橢圓上的一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

A．B．C．D．

橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

A．（）B．（）C．（）D．（）

若橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)等于

A．B．C．D．

焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，兩個焦點(diǎn)分別為，，弦過點(diǎn)，則的周長為

A．B．C．D．

已知點(diǎn)是平面內(nèi)的動點(diǎn)，，是平面內(nèi)的兩個定點(diǎn)，則“點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和為定值”是“點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓”的

A．充要條件B．充分不必要條件

C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

已知橢圓的一個焦點(diǎn)是，那么

A．B．C．D．

設(shè)橢圓，若四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上，則不在上的點(diǎn)為

A．B．C．D．

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，則的最大值是

A．B．C．D．

已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則的方程為

A．B．C．D．

已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則的方程為

A．B．C．D．

若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小，則點(diǎn)的軌跡為

A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓

二、填空題（共5題）

橢圓的一個焦點(diǎn)為，則．

已知橢圓，點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)不重合．若關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)在橢圓上，則．

能夠說明“方程的曲線不是橢圓”的一個的值是．

設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，，若，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

若點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為，則點(diǎn)的軌跡方程是．

三、解答題（共3題）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，求的值．

已知圓（）與直線相切，設(shè)點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，于，且動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線．

(1)求曲線的方程；

(2)直線與直線垂直且與曲線交于，兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．

如圖，已知圓：，點(diǎn)是圓內(nèi)一個定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡為曲線．

(1)求曲線的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間）．是否存在直線使得？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

答案

一、選擇題（共11題）

1.【答案】C

【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，由橢圓的定義得，

因?yàn)椋?/p>

所以．

因?yàn)?，?/p>

所以．

2.【答案】A

3.【答案】D

【解析】依題意，，所以，因此當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時，有，解得；

當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時，有，解得，不合題意，舍去．

故實(shí)數(shù)等于．

4.【答案】D

【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，所以，解得．

如圖，

根據(jù)橢圓的定義可得，，

所以的周長

故選D．

5.【答案】C

【解析】若點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和恰好為，兩點(diǎn)之間的距離，則點(diǎn)的軌跡不是橢圓，所以前者不能推出后者．

由橢圓的定義知，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，所以后者能推出前者．

故“點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和為定值”是“點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓”的必要不充分條件．

6.【答案】C

【解析】由題意知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，橢圓方程可化為，

所以，，

又，

所以，解得．

7.【答案】A

【解析】因?yàn)?，關(guān)于軸對稱，

所以橢圓經(jīng)過，，所以．

當(dāng)在橢圓上時，，解得，，

橢圓方程為：，成立．

因?yàn)?，所以橢圓不經(jīng)過．

8.【答案】C

【解析】由題意，得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選C．

9.【答案】B

【解析】設(shè)，則，，，，

由橢圓的定義知，

所以，

在中，由余弦定理得，

即

在中，由余弦定理得，

即

由①②，得，

所以，，

所以，

故橢圓的方程為．

故選B．

10.【答案】A

【解析】因?yàn)?，所以，又?/p>

又，所以，所以，，

因?yàn)?，所以，所以，所以在軸上．

在中，，

在中，由余弦定理可得，

根據(jù)，可得，

解得，．

所以橢圓的方程為：．

11.【答案】C

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小，

所以點(diǎn)到直線的距離等于它到點(diǎn)的距離，

又點(diǎn)不在直線上，

所以點(diǎn)的軌跡為拋物線．

二、填空題（共5題）

12.【答案】

13.【答案】

【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，

則由是的中點(diǎn)，可知．同理可得．

所以．

根據(jù)橢圓的定義得，

所以．

14.【答案】（答案不唯一，均可）

【解析】由所表示的曲線是橢圓，

可知，得，

所以解得且，

所以曲線表示圓時的取值范圍是；

所以“方程的曲線不是橢圓”時的一個的值是中任取一值即為正確答案．（答案不唯一）

15.【答案】

【解析】因?yàn)椋?/p>

所以．

又，

所以．

由橢圓定義可知，，

所以，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

16.【答案】

三、解答題（共3題）

17.【答案】由已知，得．

依正弦定理，得．

18.【答案】

(1)設(shè)動點(diǎn)，，因?yàn)橛?，所以?/p>

由題意得，，

所以圓的方程為．

因?yàn)椋裕?/p>

即

將代入圓中，得動點(diǎn)的軌跡方程為．

(2)由題意，設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程得消去，得，

，解得，

，

又點(diǎn)到直線的距離，，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．

故面積的最大值為．

19.【答案】

(1)因?yàn)閳A的方程為，所以，半徑．

因?yàn)槭蔷€段的垂直平分線，所以．

所以．因?yàn)椋?/p>

所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓．

因?yàn)椋?，?/p>

所以曲線的方程為．

(2)存在直線使得．

方法一：

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線外，直線與曲線相交，

所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．

設(shè)，，

由得．

則

由題意知，解得．

因?yàn)?，所以，?/p>

把代入得，

把代入