2023年江蘇省泰州市名校數(shù)學高二下期末質量檢測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在極坐標系中，圓的圓心的極坐標為（）A． B． C． D．2．在方程（為參數(shù)）所表示的曲線上的點是（）A．(2,7) B． C．(1,0) D．3．由與直線圍成的圖形的面積是（）A． B． C． D．94．已知雙曲線的右焦點為，為坐標原點，以為圓心、為半徑的圓與軸交于兩點，與雙曲線的一條漸近線交于點，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．已知，設的展開式的各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，若，則展開式中的系數(shù)為（）A．-250 B．250 C．-500 D．5006．已知某隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．7．下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直分別為直角三角形的斜邊，直角邊，.若，，在整個圖形中隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）（）A． B．C． D．8．已知α，β是相異兩個平面，m，n是相異兩直線，則下列命題中正確的是（）A．若m∥n，m?α，則n∥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∩β=m，n∥m，則n∥β9．函數(shù)在單調遞增，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（）．A． B． C． D．10．在中，角的對邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．311．已知是定義在上的函數(shù)，若且，則的解集為（）A． B． C． D．12．已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小值為__________．14．如圖所示的數(shù)表為“森德拉姆篩”（森德拉姆，東印度學者），其特點是每行每列都成等差數(shù)列.在此表中，數(shù)字“121”出現(xiàn)的次數(shù)為___________.234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………15．類比初中平面幾何中“面積法”求三角形內切圓半徑的方法，可以求得棱長為的正四面體的內切球半徑為__________．16．已知，若（），則______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（2）若在上是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當時，解不等式；（Ⅱ）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）（本小題滿分12分）在等比數(shù)列中，.(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和.20．（12分）如圖直線經(jīng)過圓上的點，OA=OB，CA=CB，圓交直線于點、，其中在線段上，連接、.（1）證明：直線是圓的切線；（2）若，圓的半徑為，求線段的長.21．（12分）四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.(1)若每個盒子放一個球,則共有多少種不同的放法?(2)恰有一個空盒的放法共有多少種?22．（10分）已知函數(shù)，其中，.（1）若，，求的值；（2）若，，求的最大值；（3）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，找到此時的圓心再化為極坐標.【詳解】可化簡為：根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式可得：化簡可得：即：圓心為：故圓心的極坐標為：故選：A.【點睛】本題主要考查了極坐標和直角坐標的互化和圓的極坐標方程，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.2、D【解析】分析：化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程，將四個點代入驗證即可.詳解：方程（為參數(shù)）消去參數(shù)得到將四個點代入驗證只有D滿足方程.故選D.點睛：本題考查參數(shù)分析與普通方程的互化，屬基礎題3、C【解析】分析：先聯(lián)立方程，組成方程組，求得交點坐標，可得被積區(qū)間，再用定積分表示出y=﹣x2與直線y=2x﹣3的面積，即可求得結論．詳解：由y=﹣x2與直線y=2x﹣3聯(lián)立，解得y=﹣x2與直線y=2x﹣3的交點為（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x2與直線y=2x﹣3圍成的圖形的面積是S==（﹣x3﹣x2+3x）=．故答案為：C．點睛：（1）本題主要考查利用定積分的幾何意義和定積分求面積，意在考查學生對這些知識的掌握水平.（2）從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)，且函數(shù)的圖像有一部分在軸上方，有一部分在軸下方，那么定積分表示軸上方的曲邊梯形的面積減去下方的曲邊梯形的面積.4、B【解析】

取的中點，利用點到直線距離公式可求得，根據(jù)可得，從而可求得漸近線方程.【詳解】如圖，取的中點，則為點到漸近線的距離則又為的中點，即：故漸近線方程為：本題正確選項：【點睛】本題考查雙曲線幾何性質的應用，關鍵是能夠利用點到直線距離公式和中位線得到之間的關系.5、A【解析】

分別計算各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，代入等式得到，再計算的系數(shù).【詳解】的展開式取得到二項式系數(shù)之和為取值為-250故答案選A【點睛】本題考查了二項式定理，計算出的值是解題的關鍵.6、A【解析】

直接利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解．【詳解】，且，．．故選：A．【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應用，考查曲線的對稱性，屬于基礎題．7、D【解析】

首先計算出圖形的總面積以及陰影部分的面積，再根據(jù)幾何概型的概率計算公式計算可得.【詳解】解：因為直角三角形的斜邊為，，，所以，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為.所以圖形總面積，，所以.故選：【點睛】本題考查面積型幾何概型的概率計算問題，屬于基礎題.8、B【解析】

在A中，根據(jù)線面平行的判定判斷正誤；在B中，由平面與平面平行的判定定理得α∥β；在C中，舉反例即可判斷判斷；在D中，據(jù)線面平行的判定判斷正誤；【詳解】對于A，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故A錯；對于B，若m⊥α，m⊥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故B正確；對于C，不妨令α∥β，m在β內的射影為m′，則當m′⊥n時，有m⊥n，但α，β不垂直，故C錯誤；對于D，若α∩β=m，n∥m，則n∥β或n?β，故D錯．故選：B．【點睛】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．9、D【解析】

是奇函數(shù)，故；又是增函數(shù)，，即則有，解得，故選D.【點睛】解本題的關鍵是利用轉化化歸思想，結合奇函數(shù)的性質將問題轉化為，再利用單調性繼續(xù)轉化為，從而求得正解.10、D【解析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．11、D【解析】

構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，然后將轉化為，即，根據(jù)單調建立關系，解之即可?！驹斀狻苛詈瘮?shù)；由，則；所以在上單調遞減；，則，轉化為，即；根據(jù)在上單調遞減，則；所以的解集為；故答案選D【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及利用構造新函數(shù)解不等式，考查學生轉化的思想，屬于中檔題。12、C【解析】

記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項分布的知識計算出，再計算出，結合條件概率公式求得結果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項：【點睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項分布公式求解概率的問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

對函數(shù)求導，然后判斷單調性，再求出最小值即可．【詳解】∵，∴（），令，解得，令，解得即原函數(shù)在遞減，在遞增，故時取得最小值3，故答案為3.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，正確求導是解題的關鍵，屬于基礎題．14、1【解析】

第1行數(shù)組成的數(shù)列是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，第列數(shù)組成的數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，求出通項公式，可求出結果．【詳解】根據(jù)題意，第行第列的數(shù)記為．那么每一組與的組合就是表中一個數(shù)．

因為第一行數(shù)組成的數(shù)列是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，

所以，

所以第列數(shù)組成的數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，

所以．

令.

則，則120的正約數(shù)有4×2×2=1個.所以121在表中出現(xiàn)的次數(shù)為1次故答案為：1．【點睛】本題考查歸納推理的應用，涉及行列模型的等差數(shù)列應用,和正約數(shù)的個數(shù)的求解，解題時利用首項和公差寫出等差數(shù)列的通項公式，運用通項公式求值，15、【解析】分析：先根據(jù)類比將正四面體分割成四個小三棱錐，再根據(jù)體積關系求內切球半徑.詳解：設正四面體的內切球半徑為，各面面積為,所以.點睛：等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高或內切球的半徑，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值．16、63【解析】由歸納，得，即，即.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，極小值是（2）【解析】

易知，函數(shù)的定義域為當時，當x變化時，和的值的變化情況如下表：x10遞減極小值遞增由上表可知，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，極小值是由，得又函數(shù)為上單調函數(shù)，若函數(shù)為上的單調增函數(shù)，則在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立，而在上的最大值為，所以若函數(shù)為上的單調減函數(shù)，根據(jù)，在上，沒有最小值所以在上是不可能恒成立的綜上，a的取值范圍為【點睛】本題是一道導數(shù)的應用題，著重考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，函數(shù)恒成立等知識點，屬于中檔題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求.（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求得的最小值為，等價于，分類討論，求得a的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，不等式，等價于；當時，不等式化為，即，解集為；當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，即，解得；綜上，不等式的解集為.（Ⅱ）當時，，等價于，若，則，∴；若，則，∴.綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，函數(shù)恒成立問題，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想.19、(1).（2）.【解析】試題分析：(1)設的公比為q，依題意得方程組，解得，即可寫出通項公式.（2）因為，利用等差數(shù)列的求和公式即得.試題解析：(1)設的公比為q，依題意得，解得，因此，.（2）因為，所以數(shù)列的前n項和.考點：等比數(shù)列、等差數(shù)列.20、（1）詳見解析；（2）5.【解析】試題分析：（1）若要證明AB為圓O的切線，則應連接OC，證明OC⊥AB，根據(jù)題中條件，OA=OB得三角形OAB為等腰三角形，再由CA=CB，即C為AB中點，因此OC⊥AB，又C在圓O上，所以AB為圓O的切線。本問考查圓的切線的證明，一是證明垂直，二是說明點在圓上，就可以證明是圓的切線了。（2）直線是圓的切線，.又，可以證明，可以得出對應線段成比例，，又根據(jù)，故.設，則，又，故，即.從而可以求出x的值，即BD的長，OA=OB=OD+DB,就可以求出OB的長度。試題解析：（1）連結.又是圓的半徑，是圓的切線.（2）直線是圓的切線，.又，，則有，又，故.設，則，又，故，即.解得，即..考點：1.圓的相關證明；2.三角形相似21、(1)24;(2)144.【解析】分析：（1）直接把4個球全排列即得共有多少種不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.詳解：(1)每個盒子放一個球,共有=24種不同的放法.(2)先選后排,分三步完成:第一步:四個盒子中選一只為空盒,有4種選法;第二步:選兩球為一個元素,有種選法;第三步:三個元素放入三個盒中,有種放法.故共有4×6×6=144種放法.點睛：（1）本題主要考查計數(shù)原理和排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用解法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法