光信息交換22二維傅立葉變換的特性課件

2.2二維傅立葉變換的特性定義

函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換基本性質(zhì)和定理特殊函數(shù)1一、二維傅立葉變換定義（1）對于一個二維物函數(shù)g(x,y)，其傅立葉變換也為二維，記為G(u,v)：傅立葉正變換g(x,y)原函數(shù)G(u,v)傅立葉變換函數(shù)2一、二維傅立葉變換定義（2）二維傅立葉逆變換變換存在的客觀條件數(shù)學表述(絕對可積和狄里赫利條件)g(x,y)在全平面絕對可積在全平面只有有限個間斷點，在有限區(qū)域有有限個極值沒有無窮大間斷點實際上，“物理的真實”是變換存在的充分條件3特例直角坐標系下4光學傅立葉變換對

Spatialdomainfrequencydomain

空域頻域

spatialvariablespatialfrequencyvariable

空間變量

空間頻率變量

一、二維傅立葉變換定義（3）5一、二維傅立葉變換光學模擬（4）光學模擬f1＝f2，4F系統(tǒng)，輸出面上得到等大實像f1f1f2f2yx1uv傅立葉處理器1傅立葉處理器2g(x,y)G(u,v)g(-x,-y)P1P2P36二、函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)的積分表達式函數(shù)的導數(shù)及其傅立葉變換函數(shù)及其導數(shù)的奇偶性71、函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)(1)函數(shù)常用來代表物理學中的基本質(zhì)點：點光源，點電荷，點脈沖等函數(shù)沒有通常意義下的函數(shù)值，只與極限和積分相聯(lián)系定義一維對于寬度為a的方波，f(x)xa/2-a/28從極限角度看：從積分角度看：x(x)1、函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)(2)91、二維函數(shù)的傅立葉變換性質(zhì)(3)物理意義：表示點源函數(shù)具有權重為1的最豐富的頻譜特性。

在光學中，常用點光源檢測系統(tǒng)的響應特性。10光學函數(shù)傅立葉變換實例1···(x,y)(x,y)(u,v)(u,v)0011

稱為函數(shù)的積分表達式特例：(5)2.函數(shù)的積分表達式123.函數(shù)的導數(shù)及其傅立葉變換一維：，函數(shù)的導數(shù)定義：(6)例：n=o

n=1n=213由函數(shù)的導數(shù)定義：(6)可得函數(shù)導數(shù)的傅立葉變換：(6.5)證：(6)特例n=014推廣：2D函數(shù)的偏導數(shù)及其傅立葉變換偏導數(shù)：特例154.函數(shù)及其導數(shù)的奇偶性函數(shù)是偶函數(shù)：來看一看

是否都是偶函數(shù)：由函數(shù)的導數(shù)定義：(6)16結(jié)論：當n=0,2,4,6,時是偶函數(shù)17三、傅立葉變換基本性質(zhì)和定理1.線性性2.縮放性3.位移性4.共軛性5.卷積定理6.函數(shù)導數(shù)的傅立葉變換7.相關定理8.Parseval

定理9.函數(shù)的矩Moment18(8)1.

線性性（1）

Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(u,v)+BH(u,v)

提示：191.

線性性（2）光學模擬－圖像相減將兩個圖像透明片置于相干光學處理器中，并在空間頻率平面放一正弦光柵T(p)=(1+sinap)/2輸出平面的光軸衍射出相減了的圖像[f1(α,β)-f2(α,β)]20舉例－圖像相減212.縮放性

g(ax,by)(9)g(-x,-y)(10)稱為

Inversionproperty:反演性意義：空域展寬、頻域收縮；空域收縮、頻域展寬提示：特例：當a=b=-1時223.位移性空域中的位移頻域中的位移23

(1).空域中的位移

提示：-∞∞說明：當物體在空域中有位移時，頻譜的空間位置不變，只存在位相的變化，稱為“相移”24(2).頻域中的位移頻域中的位移由空域中的相移引起的例如：實現(xiàn)空域相移最簡單的方法是改變?nèi)肷浣堑姆较蚋淖內(nèi)肷涔獾慕嵌?，可實現(xiàn)衍射圖像的橫向位移25

4.共軛性提示：(12)26

5.卷積定理提示：定義定理(13)(14)27函數(shù)的卷積(15)(16)證：證：Nextpage28(16)證：由一維開始，應用公式（6.5）推廣到二維：應用公式（6）29(17)6.函數(shù)導數(shù)的傅立葉變換

證：(16)FF(7)(17)表明函數(shù)微分的傅立葉變換可以轉(zhuǎn)化為乘積運算30

7.相關定理(維納－辛欽定理)

g(x,y)h(x,y)=g(x,y)g(x,y)=(18)(19)定理(20)(21)定義(Autocorrelation)(Crosscorrelation)31相關定理的證明第一步第二步F證：F=FF證明時利用了公式（12）：32自相關定理表明一個函數(shù)的自相關與其功率譜構成傅立葉變換對表示功率譜是空間自相關函數(shù)的傅里葉變換．空間自相關函數(shù)表征空間相距為(x,y)的兩點之間場的相似性或關聯(lián)性．它是場的空間相干性的度量．場的相干性較高時，功率譜的彌散就較小，表示光功率在頻域內(nèi)集中在很小的區(qū)域中(這樣的光波可稱為準單色光)；當場的相干性較差時，功率譜s的彌散就較大，表示光功率在頻域中分布在較大的區(qū)域內(nèi)，包含較寬的波段．338.

Parseval定理Proof：（20）（26）（26）書本改正（24）34物理意義：在物理學上表述了物空間和象空間的能量守恒原理，也稱瑞利定理表現(xiàn)了能量守恒定律在空域和頻域中表達式的一致性若g(x,y)表光場的復振幅分布，則|g(x,y)|2代表光強的分布，該積分式代表該光場在空間的總光能；|G(u,v)|2表示單位頻率間隔的光能量，稱功率譜gg則表示功率譜是空間自相關函數(shù)的傅立葉變換35

9.函數(shù)的矩Moment

定義

表達式(22)(23b)Mk,l

稱為函數(shù)g(x,y)的(k,l)階矩證明：下頁36

Moment表達式(23b)的證明(7)(6)37四、特殊函數(shù)特殊函數(shù)特殊函數(shù)的傅立葉變換381、特殊函數(shù)（1）391、特殊函數(shù)（2）401、特殊函數(shù)（3）41X>0X=0X<0Theabove2functionsarenon-symmetricalfunctions(33)X≥0X＜0(34)1、特殊函數(shù)（4）42相互關系：Proof:１／２－１／２１／２１+=(34.5)43

rect(x)

rect(x)*=Hint:

作業(yè)證明：44Proof:2.特殊函數(shù)的傅立葉變換（1）(30)45(31)2.特殊函數(shù)的傅立葉變換（2）(32)462.符號函數(shù)的傅立葉變換（4）Hint:１－１１－１當a=0時g(x)即化為sgn(X)｛X>0X<0a＞0(35)47F｛g(x)｝=當a=0

時F｛g(x)｝=Proof:QED(35)48Solution:FouriertransformofSolution:Seenextpage(36)(37)2.階躍函數(shù)的傅立葉變換（5）49Proof:Step(-

x)x-+g()Step(x-)xStep(x-)x(37)-+g()50

1D周期函數(shù)g(x)x(39)Fouriertransformofg(x):(40)Proofnextpage(38)(FourierSeries)2.周期函數(shù)的傅立葉變換（6）51Proof:周期性函數(shù)的Fouriertransform可表為位于u=nf0(n=整數(shù))的無窮多個加權的函數(shù)之和

52Definition:

Comb(x)=

x1(41)0Comb(x)定義為一系列間隔為1的函數(shù)所組成的周期函數(shù)2.梳狀函數(shù)的傅立葉變換（7）53Proof:(42)(41),(42)54(43)梳狀函數(shù)comb(x)的傅立葉變換仍為梳狀函數(shù)comb(u)梳狀函數(shù)comb(x)的

傅立葉變換55x0一系列間隔為的函數(shù)所組成的周期函數(shù)g(x)證明：Proof:QEDg(x)可以證明：(43.5)56梳狀函數(shù)的應用之一

：復現(xiàn)復現(xiàn)函數(shù)x0x00*(44)57梳狀函數(shù)的應用之二

：抽樣x抽樣函數(shù)0x