誤差不確定度及其相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)

誤差不確定度及其相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)第1頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差表示形式性質(zhì)特點(diǎn)引用誤差第2頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月絕對(duì)誤差（AbsoluteError）

絕對(duì)誤差

被測(cè)量的真值，常用約定真值代替

測(cè)得值特點(diǎn)：1)絕對(duì)誤差是一個(gè)具有確定的大小、符號(hào)及單位的量。2)給出了被測(cè)量的量綱，其單位與測(cè)得值相同。

L＝L－L0絕對(duì)誤差測(cè)得值真值＝－第3頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月修正值(Correction)

:為了消除固定的系統(tǒng)誤差用代數(shù)法而加到測(cè)量結(jié)果上的值。

修正值真值測(cè)得值－特點(diǎn)：1)與誤差大小近似相等，但符號(hào)相反。2)修正值本身還有誤差。故修正后只能得到較測(cè)得值更為準(zhǔn)確的結(jié)果。誤差－第4頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義

被測(cè)量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測(cè)量值L

來(lái)代替

L0相對(duì)誤差特點(diǎn)：1）相對(duì)誤差有大小和符號(hào)。2）無(wú)量綱，一般用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示。絕對(duì)誤差相對(duì)誤差（RelativeError）：

絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值之比

第5頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的比較用一個(gè)測(cè)長(zhǎng)儀測(cè)量0.01m長(zhǎng)的工件，其絕對(duì)誤差Δ=0.0006mm,但用來(lái)測(cè)量1m長(zhǎng)的工件,其絕對(duì)誤差為Δ=

0.0105mm。前者的相對(duì)誤差為

后者的相對(duì)誤差為用絕對(duì)誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準(zhǔn)確度。第6頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義

該標(biāo)稱范圍（或量程）上限

引用誤差

儀器某刻度點(diǎn)的示值誤差或量程內(nèi)的最大絕對(duì)誤差

引用誤差是一種簡(jiǎn)化實(shí)用的儀器儀表示值的相對(duì)誤差，而且該相對(duì)誤差是引用了特定值，即標(biāo)稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對(duì)誤差、滿度誤差。

引用誤差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

我國(guó)電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級(jí)（AccuracyClass）就是按照引用誤差進(jìn)行分級(jí)的。如本例中電壓表為2.5級(jí)，即是其引用誤差為2.5%.

第7頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主要來(lái)源

測(cè)量裝置誤差

測(cè)量環(huán)境誤差

測(cè)量方法誤差測(cè)量人員誤差

標(biāo)準(zhǔn)器件誤差儀器誤差附件誤差第8頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)誤差（SystematicError）

在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。定義特征

在相同條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，該誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差。按特點(diǎn)與性質(zhì)分：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、粗大誤差第9頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)誤差（RandomError）

測(cè)得值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。又稱為偶然誤差。定義特征

在相同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因?qū)嶒?yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)等。第10頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

隨機(jī)誤差的大小、方向均隨機(jī)不定，不可預(yù)見(jiàn)，不可修正。

雖然一次測(cè)量的隨機(jī)誤差沒(méi)有規(guī)律，不可預(yù)定，也不能用實(shí)驗(yàn)的方法加以消除。但是，經(jīng)過(guò)大量的重復(fù)測(cè)量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。因此，可以用概率統(tǒng)計(jì)的方法處理含有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，對(duì)隨機(jī)誤差的總體大小及分布做出估計(jì)，并采取適當(dāng)措施減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。隨機(jī)誤差的性質(zhì)第11頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月粗大誤差（GrossError）

指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過(guò)失誤差或簡(jiǎn)稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。

測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤，測(cè)量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯(cuò)讀數(shù)或單位、記錄或計(jì)算錯(cuò)誤等）

測(cè)量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機(jī)械沖擊和振動(dòng)等）。

由于該誤差很大，明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。第12頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)(偶然)誤差來(lái)自于不可知的原因，誤差的出現(xiàn)完全隨機(jī)，難以估計(jì)每個(gè)因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來(lái)處理測(cè)量結(jié)果。對(duì)隨機(jī)誤差所作的概率統(tǒng)計(jì)處理，是在完全排除了系統(tǒng)誤差的前提下進(jìn)行的。第13頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量：

如果某一量（如測(cè)量結(jié)果）在一定的條件下，取某一值或者在某一定的范圍內(nèi)取值是一個(gè)隨機(jī)事件，這樣的量叫隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的特點(diǎn)：它以一定的概率，在一定的區(qū)間上取值或者取某一固定的值。第14頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率：表征隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小的量，是事件本身所固有的不隨人的主觀意愿而改變的一種屬性。概率分布函數(shù)：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)=P{X<=x}(-∝<x<+∝)

第15頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：

X為連續(xù)型隨機(jī)變量：

方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差方差是用來(lái)描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

第16頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：測(cè)量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝第17頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差隨機(jī)誤差具有：①對(duì)稱性②單峰性③有界性④抵償性

第18頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第19頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說(shuō)明數(shù)據(jù)越分散。第20頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

求被測(cè)量的數(shù)字特征，理論上需無(wú)窮多次測(cè)量，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量，怎么辦？有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值——算術(shù)平均值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機(jī)誤差的抵償性。第21頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值算術(shù)平均值：殘差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：第22頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997第23頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)差期望值

均值

某次測(cè)得值

奇異值

第24頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

非正態(tài)分布Φp(x)0x圖2.10均勻分布ab其特點(diǎn)是在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。如儀器中的度盤(pán)回差所導(dǎo)致的誤差；數(shù)字儀器中的量化誤差（在±1單位以內(nèi)不能分辨的誤差）；數(shù)據(jù)計(jì)算中的舍入誤差（舍掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的）等，均為均勻分布誤差。x+e0-eΦp(x)圖2.12反正弦分布反正弦均勻三角2~3正態(tài)包含因子k分布p(x)0x圖2.11三角分布-ee第25頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，由于客觀條件的限制，測(cè)量條件是變動(dòng)的，得到了不等精度測(cè)量。

對(duì)于精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果，需要在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測(cè)量方法和測(cè)量?jī)x器，由不同的人進(jìn)行測(cè)量。如果這些測(cè)量結(jié)果是相互一致的。那么測(cè)量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測(cè)量條件而進(jìn)行的不等精度測(cè)量。

對(duì)于某一個(gè)未知量，歷史上或近年來(lái)有許多人進(jìn)行精心研究和精密測(cè)量，得到了不同的測(cè)量結(jié)果。我們就需要將這些測(cè)量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個(gè)最為滿意的準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。這也是不等精度測(cè)量。

第26頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（一）權(quán)的概念在等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量值認(rèn)為同樣可靠，并取所有測(cè)得值的算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。在不等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡(jiǎn)單地取各測(cè)量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測(cè)量結(jié)果在最后測(cè)量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測(cè)量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來(lái)表示，這數(shù)值即稱為該測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”，記為，可以理解為當(dāng)它與另一些測(cè)量結(jié)果比較時(shí)，對(duì)該測(cè)量結(jié)果所給予信賴程度。（二）權(quán)的確定方法測(cè)量結(jié)果的權(quán)說(shuō)明了測(cè)量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來(lái)確定權(quán)的大小。最簡(jiǎn)單的方法可按測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)，即測(cè)量條件和測(cè)量者水平皆相同，則重復(fù)測(cè)量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)的大小，即。第27頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測(cè)量求平均不能減少系差。第28頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測(cè)量原理和測(cè)量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②

測(cè)量?jī)x器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對(duì)測(cè)量的影響，特別是溫度對(duì)電子測(cè)量的影響較大。④

盡量減少或消除測(cè)量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測(cè)量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正值＝－誤差=－（測(cè)量值－真值） 實(shí)際值＝測(cè)量值＋修正值第29頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①替代法②交換法③對(duì)稱測(cè)量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法第30頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的測(cè)量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測(cè)量人員的主觀原因：操作失誤或錯(cuò)誤記錄；②客觀外界條件的原因：測(cè)量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測(cè)量?jī)x器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。第31頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月粗大誤差的判別準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過(guò)置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法式中，G值按重復(fù)測(cè)量次數(shù)n及置信概率Pc確定第32頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月測(cè)量不確定度：測(cè)量不確定度：指測(cè)量結(jié)果變化的不肯定，即測(cè)量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，表征被測(cè)量值的分散性。測(cè)量結(jié)果＝被測(cè)量的估計(jì)值＋不確定度完整的測(cè)量結(jié)果有兩個(gè)基本量：被測(cè)量Y的最佳估計(jì)量y,多用測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值；描述測(cè)量結(jié)果分散性的量，即測(cè)量不確定度。

不確定度是定量說(shuō)明測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的參數(shù)，本身沒(méi)有正負(fù)號(hào)，但用y±U的形式表示測(cè)量結(jié)果時(shí)，±U代表被測(cè)量值的可能分散區(qū)間。第33頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不確定度的相關(guān)概念：標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)差表示的測(cè)量結(jié)果的不確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：在一個(gè)測(cè)量模型中各輸入量的不確定度獲得的輸出量的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度。相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度：標(biāo)準(zhǔn)不確定度除以測(cè)得值的絕對(duì)值。擴(kuò)展不確定度：合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度與一個(gè)大于1的數(shù)字因子的乘積。包含區(qū)間：基于可獲信息確定的包含被測(cè)量一組值的區(qū)間，被測(cè)量值以一定的概率落在該區(qū)間內(nèi)。包含概率：在規(guī)定的包含區(qū)間內(nèi)包含被測(cè)量一組值的概率。包含因子：為獲得擴(kuò)展不確定度，對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度所乘大于1的數(shù)。(k)第34頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不確定度表達(dá)的注意事項(xiàng)：2）有效數(shù)字一般不超過(guò)兩位；1）不確定度數(shù)值與被測(cè)量估計(jì)值末位對(duì)齊，單位相同；3）“三分之一準(zhǔn)則”修約(根據(jù)微小誤差取舍原則)。先令測(cè)量估計(jì)值最末位的一個(gè)單位作為測(cè)量不確定度的基本單位，再將不確定度取至基本單位的整數(shù)位，其余位數(shù)若小于基本單位的1/3則舍去，若大于或等于基本單位的1/3，舍去后將最末整數(shù)位加1。被測(cè)量估計(jì)值為20.0005mm,若擴(kuò)展不確定度U=0.00124mm，修約為0.0013;若擴(kuò)展不確定度U=0.00123mm，修約為0.0012.第35頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)系：

測(cè)量結(jié)果的精度評(píng)定參數(shù)；

所有的不確定度分量都用標(biāo)準(zhǔn)差表征，由隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差引起；誤差是不確定度的基礎(chǔ)。區(qū)別：

誤差以真值或約定真值為中心，不確定度以被測(cè)量的估計(jì)值為中心；

誤差一般難以定值，不確定度可以定量評(píng)定；

誤差有三類，界限模糊，難以嚴(yán)格區(qū)分；測(cè)量不確定度分兩類，界限分明，分析方法簡(jiǎn)單。誤差與不確定度的區(qū)別：第36頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定：A類評(píng)定：通過(guò)對(duì)一系列觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析來(lái)評(píng)定即對(duì)某被測(cè)量值進(jìn)行等精度的獨(dú)立的多次重復(fù)測(cè)量，得出一系列測(cè)得值xi，通常以測(cè)量列的算術(shù)平均值作為被測(cè)量值的估計(jì)值，以的標(biāo)準(zhǔn)差作為測(cè)量結(jié)果的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即。B類評(píng)定：用非統(tǒng)計(jì)分析的方法，基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息所認(rèn)定的概率分布來(lái)評(píng)定。第37頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第38頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)間半寬度a的確定：

以前的測(cè)量數(shù)據(jù)、經(jīng)驗(yàn)和資料；有關(guān)儀器和裝置的一般知識(shí)、制造說(shuō)明書(shū)和檢定證書(shū)或其他報(bào)告所提供的數(shù)據(jù)；由手冊(cè)提供的參考數(shù)據(jù)等。K值的確定：

正態(tài)分布：第39頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非正態(tài)分布：第40頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月測(cè)量不確定度的合成：直接測(cè)量：

1.測(cè)量值重復(fù)性引起的不確定度2.標(biāo)準(zhǔn)源的準(zhǔn)確度引起的不確定度3.讀數(shù)分辨率引起的不確定度第41頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月間接測(cè)量：

若：，則由xi引起的被測(cè)量y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為而測(cè)量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc可用下式表征：其中，ρij為任意兩個(gè)直接測(cè)量值xi，xj不確定度的相關(guān)系數(shù)。第42頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第43頁(yè)，課件共61頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)數(shù)的概念第44