行列式與克萊默

§1.1

二階、三階行列式，全排列及其逆序數(shù)§1.2

n

階行列式的定義§1.3

行列式的性質（1）§1.4

行列式性質（2）§1.5

克萊姆法則第1頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)二、三階行列式全排列及其逆序數(shù)第2頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月一、二階行列式與三階行列式注：該定義稱之為對角線法則。第3頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月1.全排列：把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列（簡稱排列）。2.逆序：對于n個不同的元素，先規(guī)定各元素之間的一個標準次序（如n個不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大）于是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就稱這兩個元素構成了一個逆序。二、全排列與逆序數(shù)第4頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月3.逆序數(shù)：一個排列中所有逆序的總和稱之為這個排列的逆序數(shù)。4.奇排列與偶排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。5.計算排列逆序數(shù)的方法：

不妨設n個元素為1至n這n個自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標準次序。設p1p2…pn為這n個自然數(shù)的一個排列，考慮元素pi(i=1,2,…n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有τi個，就說第5頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

pi這個元素的逆序數(shù)是i，即：

(p1p2…pn)=

1+

2+…+

n

就是這個排列的逆序數(shù)。例1求排列13…(2n

1)24…(2n)的逆序數(shù)。解：在該排列中，1～(2n1)中每個奇數(shù)的逆序數(shù)全為0，2的逆序數(shù)為(n

1)，4的逆序數(shù)為(n

2),…，(2n

2)的逆境序數(shù)為1，2n的逆序數(shù)為0，于是該排列的逆序數(shù)為第6頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例2在1~9構成的排列中,求j、k，使排列1274j56k9為偶排列解：由題可知，j、k的取值范圍為{3，8}當j=3、k=8時，經計算可知，排列127435689的逆序數(shù)為5，即為奇排列當j=8、k=3時，經計算可知，排列127485639的逆序數(shù)為10，即為偶排列∴j=8，k=3第7頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例3設排列p1p2p3…pn的逆序數(shù)為k，求pn…p3p2p1的逆序數(shù)（p1p2p3…pn是1～n的某一排列）解：∵排列p1p2p3…pn與排列pn…p3p2p1的逆序數(shù)之和等于1～n這n個數(shù)中任取兩個數(shù)的組合數(shù)即

：

第8頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)n階行列式的定義第10頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月設有n2個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的n個元素的乘積，并冠以符號(-1)τ，得形如的項，其中p1p2…pn為自然數(shù)1、2、…、n的一個一、定義第11頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月排列，τ為這個排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有n!個，因而形如(1)式的項共有n!項。所有這n!項的代數(shù)和第12頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月其中p1p2…pn是1～n的任一排列，是排列p1p2…pn的逆序數(shù)，即=(p1p2…pn)。二、幾個特殊的行列式第13頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月1.在排列中，將任意兩個元素對調位置，其余元素不動，這種作出新排列的過程叫做對換。將相鄰兩元素對換，稱為相鄰對換。定理1 :對換一個排列中的任意兩個元素，排列改變奇偶性。證明：該定理的證明可分為兩步來證。第一步來證明相鄰對換的情況,第二步證明一般情況。三、對換與排列奇偶性的關系第17頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見，相鄰對換將改變排列的奇偶性。再證一般情況，設：第18頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月把(1)作n+1次相鄰對換得(2)，把(2)再作n次相鄰對換可得(3)，即共作了2n+1次相鄰對換由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相鄰對換，排列的奇偶性改變一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改變了2n+1次，即由原來的奇排列就變成了偶排列或由原來的偶排列變成了奇排列。▌第19頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2：n元排列共有n!個，其中奇、偶排列的個數(shù)相等，各有n!/2個。證：設奇排列有p個，偶排列有q個。將每個奇排列的頭兩個數(shù)對換，則得一個偶排列，說明有多少奇排列，就至少有多少個偶排列。反之亦然，因此，p=q。定理3：任意一個n元排列都可以經過一些對換變成自然排列，并且所作對換的個數(shù)與這個排列有相同的奇偶性。第20頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月四、行列式的等價定義第21頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月五、關于等價定義的說明第22頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月這就表明，對換乘積項中兩元素的位置，從而行標排列與列標排列同時做了相應的對換，但行標排列與列標排列的逆序數(shù)之和的奇偶性并不改變。第24頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4第25頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月例5寫出四階行列式中含有因子的項。例6若為四階行列式的項，試確定i與k，使前兩項帶正號，后一項帶負號。第26頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)行列式的性質(1)第28頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

在利用行列式性質(1)進行行列式計算時，基本的思路是把行列式化成三角行列式，當然在化的過程中也要兼顧其它性質的應用。第41頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第51頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第52頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)行列式的性質(2)第53頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月在n階行列式中，把元素aij所在的第i行第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij余子式，記作Mij；記Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做元素aij的代數(shù)余子式。一、余子式與代數(shù)余子式第54頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月二、k階子式及其余子式和代數(shù)余子式在n階行列式D中任選k行k列，位于這k行k列的交叉點處的k2個元素按原來的位置組成的k階行列式M叫做D的一個k階子式。在D中劃去M所在的行與列，剩下的元素按原來的位置組成的n-k子式N叫做M的余子式。設M所在的行數(shù)與列數(shù)依次為i1<i2<…<ik，j1<j2<…<jk，M的余子式N乘以叫做M的代數(shù)余子式。第56頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月M是D的一個2階子式，N是M的一個余子式，A是M的一個代數(shù)余子式第57頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：第61頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：第62頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第64頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第65頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第66頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第67頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第69頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第70頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)克萊姆法則第71頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月一、線性方程組第72頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月二、克萊姆法則第73頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第74頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第75頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第76頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第77頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第78頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1：方程組(1)一定有解，且解是唯一的充要條件是線性方程組(1)的系數(shù)行列式D≠0。定理2：如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必等于零，即D=0。定理3：齊次方程組(2)只有零解，而沒有非零解的充要條件是齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D≠0。定理4：齊次方程組(2)有非零解的充要條件是齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D=0。三、幾個相關定理第79頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第80頁，課件共85頁，創(chuàng)作