自動(dòng)控制原理自控

第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章重點(diǎn)、難點(diǎn)與考點(diǎn)一、重點(diǎn)：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖變換與簡(jiǎn)化、梅遜公式二、難點(diǎn)：傳遞函數(shù)含義及性質(zhì)的理解、結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化、梅遜公式的應(yīng)用等三、考點(diǎn)：1、求實(shí)際系統(tǒng)的微分方程、動(dòng)態(tài)框圖和傳遞函數(shù)；2、求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；3、把方框圖變換成信號(hào)流圖。2．1

引言1．關(guān)于數(shù)學(xué)模型⑴定義：用以描述控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。有靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型之分。（Page21前言）⑵形式：時(shí)域模型（t）：微分/差分/狀態(tài)方程等；復(fù)域模型（s=σ+jω）：傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖；頻域模型（ω）：頻率特性。⑶特點(diǎn)及建模原則：（略）2．建模方法及步驟⑴方法：分析法（主）和實(shí)驗(yàn)法；⑵主要步驟：※確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量；※

從輸入端開(kāi)始，依次列寫(xiě)各元件/環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程式（如微分方程）；※消去中間變量，并將其化為標(biāo)準(zhǔn)注形式。注：標(biāo)準(zhǔn)形式：與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左邊，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，并將方程中的系數(shù)通過(guò)系統(tǒng)的參數(shù)化具有一定物理意義系數(shù)的一種表達(dá)形式。2．2

實(shí)例分析例題1：P21例題2-1例題2：RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)電路如下圖所示，試以u(píng)1為輸入量，u2為輸出量列寫(xiě)該網(wǎng)絡(luò)的微分方程式。i2C1C2R2R1u1u2i1解：⑴u1為輸入量，u2為輸出量；⑵設(shè)回路電流分別為i1，i2，如圖所示；則有：i1

R1+｛∫（i1－i2）dt｝/C1=

u1i2

R2+

(∫i2dt)

/C2=｛∫（i1－i2）dt｝

/C1(∫i2dt)

/C2

=

u2⑶消去中間變量i1，i2后，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：R1R2C1C2u2〞+(R1C1+R1C2+

R2C2)u2′+u2=u12．3

非線性數(shù)學(xué)模型線性化1．線性系統(tǒng)的特性：1）能夠用線性微分方程來(lái)描述。2）不同類型的元件或系統(tǒng)可以具有相同形式的數(shù)學(xué)模型。這樣的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。3）可應(yīng)用疊加原理，即具有可疊加性和均勻性（齊次性）。2．小偏差線性化（自學(xué)）2．4

線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.線性定常系統(tǒng)微分方程的求解：⑴．目的：尋求系統(tǒng)輸出隨時(shí)間t

變化的規(guī)律。（求輸出響應(yīng)）⑵．方法：※

經(jīng)典法：微分方程

時(shí)域解c（t）※拉氏變換法：微分方程復(fù)域解C（S）※計(jì)算機(jī)求解法。例題1：右圖所示的RC電路，當(dāng)開(kāi)關(guān)

K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。解:

設(shè)輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，寫(xiě)出電路微分方程rCduT

C

+

u

=

udt其中：T=RC,

且u0t

<

0t

?

0u

(t)

=

0rT[sU

(s)

-

u

(0)]

+U

(s)

=

U

(s)C

C

C

rr

CC1

TU

(s)

+

u

(0)Ts

+1

Ts

+1U

(s)

=故有解得由于Ur(s)=

uo

/s,故sCC

O1T11T1s

+)

+

u

(0)U

(s)

=

u

(1

-s

+ttu

(t)

=

u

(1

-

e

T

)

+

u

(0)eTC

O

C所以u(píng)ruc（t）ur（t）C例題2(P26例2-6)：在下圖中，已知L=1H，C=1F，R=1Ω，uc（0）=0.1V,i(0)=0.1A,ur(t)=1V。試求電路在通電瞬間uc（t）的變化規(guī)律。R

L解：在教材P21例題2-1中已求得該電路的微分模型：LCrdu

(t

)c+

uc

()=t u

()t+

RCdt

2

dtd

2u

(t

)c對(duì)上式兩邊求拉氏變換：LC[s2Uc（s）-suc（0）-u

c′（0）]

+RC[sUc（s）-uc（0）]+

Uc（s）=

Ur（s）由于u

c′（0）=u

c′（t）t=0

=i（0）/C將已知各條件代入后有：（s2+s+1）Uc（s）=

Ur（s）+0.1(s+2)S

2

+

S

+1

S

2

+

S

+1U

(S

)=

1

U

(S

)+

0.1(S

+

2)rC即通電瞬間,

ur（t）=1

或

Ur（s）=L[ur（t）]=1/S1

+

0.1(S

+

2)S

2

+

S

+1

S S

2

+

S

+1U

(S

)=

1

C故再對(duì)上式兩邊求反拉氏變換：=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+

0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)-1-11 1

+

0.1(S

+

2)

S

2

+

S

+1

S S

2

+

S

+1=

L

[U

(S

)]=

Lu

(t

)c

C例題3：已知某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為dt

dtd

2

y(t)

dy(t)+

2

+

2

y(t)

=

x(t)其中x（t）,

y（t）分別為輸入、輸出量,且知x（t）=δ(t),y’(0-)=

y

(0-)=0，

求y（t）的表達(dá)式.解:對(duì)微分方程兩邊求拉氏變換：[s2Y（s）-sy(0-)-y′(0-)]+2[sy（s）-

y

(0-)]+2Y（s）=

X（s）代入已知條件，注意X（s）=L[x（t）]=L[δ(t)]=1整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）故y（t）=L-1[Y（s）]=L-1[1/（s2+2s+2）]=(1/2j)

L-1

[1/（s+1-j）-1/（s+1+j）]=(1/2j)[e-（1-j）t-

e-（1+j）t]= e-tSint⑶．拉氏變換法求解微分方程的過(guò)程：P26※考慮初始條件，對(duì)微分方程中的各項(xiàng)求拉氏變換；※求取輸出量的拉氏變換式；※再求取輸出量的拉氏變換式的反拉氏變換。2.傳遞函數(shù)⑴

定義:

在零初始條件

*下，線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。表示為：G(S

)

=

L[c(t)]

=

C(S

)L[r(t)]

R(S

)*零初始條件：指當(dāng)t﹤0時(shí)，系統(tǒng)輸入r（t）、輸出c（t）以及它們的各界階導(dǎo)數(shù)均為零，即：r(0-)=c

(0-)=

r′(0-)=c′(0-)

=…=

r（n）(0-)=c（n）(0-)=0⑵傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)：①它是復(fù)變量S的有理真分式函數(shù)。具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)；②它只與系統(tǒng)的自身結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)的形式（大小、性質(zhì)）無(wú)關(guān)；③

與微分方程可以相互轉(zhuǎn)換：dnx（t）/dtn

SnX（s）；④其拉氏反變換是脈沖δ(t)輸入下的響應(yīng)函數(shù)g(t)；⑤它與S平面上一定的零、極點(diǎn)圖相對(duì)應(yīng)。⑶傳遞函數(shù)的局限性：只適用于描述線性定常SISO系統(tǒng)，也只直接反應(yīng)系統(tǒng)在零初始條件下的動(dòng)態(tài)特性。2．5典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)1.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其單位階躍響應(yīng)序號(hào)典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)單位階躍響應(yīng)1比例環(huán)節(jié)G（S）=Kc（t）=K

1（t）2慣性環(huán)節(jié)G（S）=1/（TS+1）c（t）=1-e-t/T3積分環(huán)節(jié)G（S）=1/TSc（t）=t/T4純微分環(huán)節(jié)G（S）=TSc（t）=5一階微分環(huán)節(jié)G（S）=TS+1c（t）=6二階微分環(huán)節(jié)G（S）=T2S2+2ξTS+1c（t）=7振蕩環(huán)節(jié)G（S）=1/（T2S2+2ξTS+1）c（t）=8延遲環(huán)節(jié)G（S）=

e

-τSc（t）=2.傳遞函數(shù)的求取例題1：RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)電路如下圖所示，試以u(píng)1為輸入量，u2為輸出量,試求該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(S)。i2C1C2R2R1u1u2i

1解：⑴u1為輸入量，u2為輸出量；⑵設(shè)回路電流分別為i1，i2，如圖所示，則有：R1R2C1C2u2〞+(R1C1+R1C2+

R2C2)u2′+u2=u1在零初始條件下對(duì)上式求拉氏變換,得:R1R2C1C2S2U2(S)+(

R1C1+

R1C2+

R2C2)

SU2(S)+U2(S)

=

U1(S)即: G(S)=

U2(S)/

U1(S)=1/

[R1R2C1C2S2+(

R1C1+

R1C2+

R2C2)

S+

1]u

c（t）u

r（t）

C例題2：在下圖中，已知L=1H，C=1F，R=1Ω。試求該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(S)。R

L解：在教材P20例題2-1中已求得該電路的微分模型：LCrdu

(t

)c+

uc

()=t u

()t+

RCdt

2

dtd

2u

(t

)c對(duì)上式兩邊求拉氏變換：LC[s2Uc（s）-suc（0）-u

c′（0）]

+RC[sUc（s）-uc（0）]+

Uc（s）=Ur（s）即: LC[s2Uc（s）]

+

RC[sUc（s）]+

Uc（s）

=

Ur（s）故: G(S)

=

Uc（s）/

Ur（s）=1/[LCs2

+

RCs+1]

=

1/(s2+s+1)傳遞函數(shù)3.無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求取復(fù)阻抗法無(wú)源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容和電感組成。

無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求取,一般有兩種方法：⑴

傳遞函數(shù)定義法:

微分方程

拉氏變換⑵

復(fù)阻抗法:

依據(jù)電路理論復(fù)阻抗概念有電阻R的復(fù)阻抗為:

ZR=R電容C的復(fù)阻抗為:

ZC=1/CS電感L的復(fù)阻抗為:

ZL=LSR2R1u1u2Z2例題3:求下圖所示電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(S)。C1

Z1U1U2C2解：⑴將電源等效為復(fù)阻抗電路⑵

Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1S+1）；Z2=

ZR2+ZC2

=（R2C2S+1）/C2S；⑶

G（S）

=U2/U1=

Z2

/（Z1

+Z2）=（R1C1S+1）（R2C2S+1）/[（R1C1S+1）（R2C2S+1）+

R1C2S]注：請(qǐng)用“傳遞函數(shù)定義法”求解該例題。4.有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求取例題4：有源網(wǎng)絡(luò)如圖（1）所示，試用復(fù)阻抗法求網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)，

并根據(jù)求得的結(jié)果.直接用于圖（2）所示調(diào)節(jié)器，寫(xiě)出其傳遞函數(shù)。圖（1）圖（2）解：1）對(duì)于圖（1）Zi和Zf分別表示放大器外部電路的輸入支路及反饋支路的復(fù)阻抗，設(shè)A點(diǎn)虛地，即UA=0，則I1=I2Z

(s)U

(s)U

(s)iZ

(s)fiG(s)=

C

=

-UC

(s)

=

-I

2

(s)Z

f

(s)所以

Ui

(s)

=

I1

(s)Zi

(s)※

上述求得的傳遞函數(shù)表達(dá)式可以看做計(jì)算運(yùn)算放大器傳遞函數(shù)的一般公式。2）對(duì)于圖（2）iZ

(s)

R1CsZ

(s)

=

R1iZ

(s)

=

R2

+1/

Csf因?yàn)樗?/p>

G(s)

=

-

Z

f

(s)

=

R2Cs

+1例題5：求下圖有源網(wǎng)絡(luò)的微分方程及傳遞函數(shù)（結(jié)構(gòu)圖）。R2

R2uiuoC1C2KiiioR1

R1u1u2(1)、根據(jù)基爾霍夫列寫(xiě)出網(wǎng)絡(luò)的微分方程式1

22222111RRu

uRdtRdt

RR

i

1

1

=

-

2

du

+

u2

-

uo=

C-

u2 1

+

1

=

Cu

-

u

du

u(2)、在零初始條件下對(duì)上述方程組求拉氏變換R2R1U

(s)

U

(s)1

2=-Ui

(s)

-U1(s)

=R1C1sU1(s)

+U1(s)-U2

(s)

=R2C2sU2

(s)

+U2

(s)

+Uo

(s)(3)、消除中間變量，得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)1

11R R

C

s

+

2U

(s)U

(s)

R R

C

s

+

2i

o

=

-

2

2

2

（a）（c）（b）（d）補(bǔ)充習(xí)題一、無(wú)源網(wǎng)絡(luò)試建立以下各圖所示系統(tǒng)的微分方程。圖中電壓ur和uc為輸入量和輸出量。（傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖）（a）（c）（b）（d）補(bǔ)充習(xí)題二、有源網(wǎng)絡(luò)求取下圖所示有源網(wǎng)絡(luò)的微分方程及傳遞函數(shù)，并畫(huà)出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。2．6控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其簡(jiǎn)化1.結(jié)構(gòu)圖⑴、

定義:

由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的、并標(biāo)明信號(hào)流向的系統(tǒng)框圖。⑵、構(gòu)成結(jié)構(gòu)圖的基本要素：①方框：表示環(huán)節(jié)。R（S）C（S）G（S）②

信號(hào)線：表示信號(hào)流向。

x（t）,

X（S）③相加點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）：多個(gè)信號(hào)疊加。x（t）x（t）±

y（t）±

y（t）④分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)）：同一信號(hào)分成多個(gè)信號(hào)。x（t）x（t）x（t）2.結(jié)構(gòu)圖的繪制網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的繪制,與傳遞函數(shù)求取一樣，亦相應(yīng)地有兩種方法。⑴繪制步驟：A、列寫(xiě)每個(gè)元件的運(yùn)動(dòng)方程式或傳遞函數(shù)；

B、畫(huà)出相應(yīng)的局部框圖；

C、將這些方框圖按信號(hào)流向連接起來(lái)，得到系統(tǒng)框圖。⑵舉例說(shuō)明例題1

畫(huà)出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。Ru1（t）Cu

2（t）解：ⅰ）列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程式或用復(fù)阻抗法u1=iR+

u2u2=1/C

∫idt即

I（S）=[U1（S）-U2（S）]

/

RU2（S）=

I（S）/

CSⅱ）繪制各元件框圖1/R1/CS1/R1/CSU1（S）

I（S）U2（S）U2（S）U1（s）I（s）I（s）U2（s）U2（s）ⅲ）繪制系統(tǒng)框圖（連接等信號(hào)點(diǎn)）i1

Cu2u1i2R1R2解：?。┯脧?fù)阻抗法列寫(xiě)方程U1（S）=

I2（S）·R1+

U2（S）

…

①U2（S）=

I（S）·R2

…

②I1（S）·1/SC=

I2（S）·R1I1（S）+

I2（S）=

I（S）…

③…

④ⅱ）繪制各元件框圖由式①得：

U1（S）I2（S）I2（S）·R1U2（S）1/R1由式②得：I（S）U2（S）R2由式③得I2（S）I1（S）

/

CSI1（S）R1CS例題2

試畫(huà)出下圖所示四端網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。（教材P43例2-12）由式④得：

I1（S）I（S）I2（S）1/R1

R1

CSR21U

（S）2U

（S）U2（S）I2（S）1ⅲ）繪制系統(tǒng)框圖（連接等信號(hào)點(diǎn)）

I

（S）

I（S）例題3，RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖下，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)。i2C1C2R2R1uruci

1解：ⅰ）用復(fù)阻抗法列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，依據(jù)是廣義的歐姆定律I

(s)Z

(s)

=

U

(s)ii）用復(fù)阻抗法列寫(xiě)復(fù)域方程式如下11R[U

r

(s)

-UC1

(s)]I

(s)

=C

sU1C1(s)

=

[I1

(s)

-

I2

(s)]22R[Uc1

(s)

-UC

2

(s)]I

(s)

=C

sC

2I

(s)U

(s)

=

2

2iii）結(jié)構(gòu)圖如下（分步過(guò)程略））R（S

U（S）C（S）

R（S）C（S）G1（S）G2（S）G（S）即：G（S）=

G1（S）G2（S）…Gn（S）U（S）=G1（S）R（S）C（S）=

G2（S）U（S）即

C（S）=

G2（S）

[G1（S）R（S）]=[G1（S）G2（S）]R（S）故

C（S）=

G（S）R（S）C（S）=

G（S）·R（S）其中G（S）=G1（S）G2（S）結(jié)論1：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。3.結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化原則：簡(jiǎn)化前后保持“信號(hào)等效”的原則。⑴結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。①串聯(lián)連接②并聯(lián)連接G1（S）G2（S）G（S）R(S)C1（S）C2（S）C（S）C（S）R(S)C（S）=

G（S）·R（S）C1（S）=

G1（S）·R（S）C2（S）=

G2（S）·R（S）C（S）=

C1（S）±

C2（S）即C（S）=[G1（S）±G2（S）]R（S）=

G（S）·R（S）其中G（S）=G1（S）±G2（S）結(jié)論2：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。即G（S）=

G1（S）+ G2（S）+…+

Gn（S）③反饋連接R（S）

E（S）C（S）R（S）C（S）G（S）H（S）Ф（S）±

B（S）C（S）=Ф（S）·R（S）E（S）=

R（S）±

B（S）B（S）=

H（S）C（S）C（S）=

G（S）E（S）消去中間變量E（S）、B（S）：C（S）=

G（S）[R（S）±

H（S）C（S）]G（S）C（S）=

R（S）1

G（S）H（S）±故:G（S）Ф（S）=

————————1

G(S）H（S）±當(dāng)H（S）=1時(shí)系統(tǒng)為單位反饋：G（S）Ф（S）=

————————1

G(S）±⑵開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：定義：反饋信號(hào)B（S）與誤差信號(hào)E（S）之比?；颍呵跋蛲ǖ纻鬟f函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)之乘積。表示為：

B（S）/

E（S）=

G（S）H（S）其中

G（S）為前向通道傳遞函數(shù)；H（S）為反饋通道傳遞函數(shù)。注意：1）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)指的是閉環(huán)系統(tǒng)在開(kāi)環(huán)時(shí)的傳遞函數(shù)，而不是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；2）它與梅遜公式中回路增益的含義不同，因?yàn)樗话答伒臉O性，回路增益則包含反饋的極性。⑶閉環(huán)傳遞函數(shù)（教材P60-61）：G1HG2R

ENX1

X2CBE=R

－

B由上圖知：X1=G1

·

EX2=X1

+NC

=

G2·X2（Ⅰ）

消去中間變量E、B、X1

、X2后，得到系統(tǒng)的總輸出為：G1（S）G2（S）C（S）=

——————————G2（S）R（S）

+

———————————

N（S）1+

G1（S）G2（S）H（S）

1+

G1（S）G2（S）H（S）上式說(shuō)明：C（S）是R（S）與N（S）共同作用的結(jié)果。討論如下：①R（S）≠0，N（S）=0時(shí)，則有:C（S）=G1（S）G2（S）————————————

R（S）1+

G1（S）G2（S）H（S）ф（S）

=C（S）

G1（S）G2（S）——

= ——————————R（S）

1+

G1（S）G2（S）H（S）輸入信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。②N（S）≠0，R（S）=0時(shí)，則有G2（S）C（S）=————————————

N（S）1+

G1（S）G2（S）H（S）C（S）Φn（S）

= ——N（S）G2（S）= ——————————1+

G1（S）G2（S）H（S）擾動(dòng)信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。綜上所述，系統(tǒng)的總輸出為：C（S）=

Ф

（S）R（S）＋Фn（S）N（S）其等效結(jié)構(gòu)圖為：Ф（S）Фn（S）R（S）N（S）C（S）（Ⅱ）消去中間變量C、B、X1

、X2后，得到系統(tǒng)的總誤差為：1

G

(S

)H

(S

)R(S

)

-

2

N

(S

)1

+

G1

(S

)G2

(S

)H

(S

)

1

+

G1

(S

)G2

(S

)H

(S

)E(S

)

=上式說(shuō)明：E（S）也是R（S）與N（S）共同作用的結(jié)果。討論如下：①R（S）≠0，N（S）=0時(shí)，則有1R(S

)1

+

G1

(S

)G2

(S

)H

(S

)E(S

)

=11

2eR(S

)

1

+

G

(S

)G

(S

)H

(S

)F

(S

)

=

E(S

)

=輸入信號(hào)作用下的誤差傳遞函數(shù)。②N（S）≠0，R（S）=0時(shí)，則有G

(S

)H

(S

)1

+

G1

(S

)G2

(S

)H

(S

)E(S

)

=

-

2

N

(S

)1

2G

(S

)H

(S

)2enN

(S

)

1

+

G

(S

)G

(S

)H

(S

)F

(S

)

=

E(S

)

=

-擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差傳遞函數(shù)。綜上所述，系統(tǒng)的總誤差為：E（S）=фe（S）R（S）＋Фen（S）N（S）Фe（S）Фen（S）R（S）N（S）E（S）同樣地，其等效結(jié)構(gòu)圖為：⑷相加點(diǎn)的移動(dòng)：根據(jù)信號(hào)等效的原則，可以將相加點(diǎn)順著或逆著信號(hào)傳遞的方向移動(dòng)。G（S）①前往后移X1±X2X3±G（S）G（S）X1X2X3（X1±X2）G（S）=X3X1G（S）±X2G（S）=X3±G（S）1/G（S）X1X2X3±G（S）X1X2X3X1

G（S）±X2=

X3[X1±X2/G（S）]

G（S）=

X3小結(jié)，相加點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則為：a、從前往后移動(dòng)相加點(diǎn)時(shí)，要在移動(dòng)支路中串入相同傳遞函數(shù)的方框；b、從后往前移動(dòng)相加點(diǎn)時(shí)，要在移動(dòng)支路中串入相同傳遞函數(shù)之倒數(shù)的方框；②后往前移⑸分支點(diǎn)的移動(dòng)：移動(dòng)原則同“⑷相加點(diǎn)的移動(dòng)”。①前往后移G（S）X1G（S）1/

G（S）X1

X2

X1X2X1②后往前移G（S）X1X2X2G（S）G（S）X1X2X2小結(jié)，分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則為：①

從前往后移動(dòng)分支點(diǎn)時(shí)，要在移動(dòng)支路中串入相同傳遞函數(shù)之倒數(shù)的方框；②

從后往前移動(dòng)分支點(diǎn)時(shí)，要在移動(dòng)支路中串入相同傳遞函數(shù)的方框；—G（S）H（S）—H（S）G（S）1/

H（S）R（S）C（S）⑹等效單位反饋R（S）（非單位反饋單位反饋）：C（S）G(S

)1

+

G(S

)H

(S

)F

(S

)

=1

G(S

)H

(S

)H

(S

)

1+

G(S

)H

(S

)F

(S

)

=⑺相鄰相加點(diǎn)之間、相鄰分支點(diǎn)之間可以互相調(diào)換位置。⑻相鄰相加點(diǎn)與分支點(diǎn)之間不可以互相調(diào)換位置，而需要按照

“信號(hào)等效原則”進(jìn)行變換。4．結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化例題分析例題

1

利用結(jié)構(gòu)圖等效簡(jiǎn)化方法求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解：在簡(jiǎn)化過(guò)程中，可以有多種形式，比如此例：④①②③采用第①種情況簡(jiǎn)化：再簡(jiǎn)化橢圓區(qū)域的局部正反饋，得：再依次逐步簡(jiǎn)化：G

G

GR(s)C(s)1

-

G1G2

H1

+

G2G3

H

2

+

G1G2G3=

1

2

3

系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G4（S）G1（S）G2（S）G3（S）RCH（S）解：

方法1：A移動(dòng)到B①A移動(dòng)到B后，A、B互相調(diào)換位置G4G1G2G3G2H例題2

試?yán)媒Y(jié)構(gòu)圖等效變換原則，簡(jiǎn)化下述結(jié)構(gòu)圖，并求取系統(tǒng)的C（S）/

R（S）。ABG4+G1G2G3————1+G2G3HG3（

G4+G1G2）——————1+G2G3H③系統(tǒng)的C（S）/R（S）C(S

)

=

G3

(G4

+

G1G2

)R(S

) 1

+

G2G3

H方法2：B移動(dòng)到A

（略）②

局部簡(jiǎn)化例題3

試?yán)媒Y(jié)構(gòu)圖等效變換原則，簡(jiǎn)化下述結(jié)構(gòu)圖，并求取系統(tǒng)的C（S）/

R（S）。1G

（S）2G

（S）H（S）R（S）C（S）解：（1）同時(shí)將B處相加點(diǎn)前移、C處分支點(diǎn)后移：（2）同時(shí)進(jìn)行串聯(lián)、并聯(lián)AB

CG2G1H11/

G11/

G2G1G21/G1＋1/G2＋H1（3）系統(tǒng)的C（S）/R（S）G1G2————————1+G1＋G2＋G1G2HC（s）

G1(s)G2(s)——

= ——————————————R（s）

1+

G1(s)＋G2(s)＋G1(s)G2(s)H(s)例題4

教材P47：例2-14、P50：例2-15、2-16

。例題5．在保持系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)不變的條件下將圖(a)所示框圖變換成圖(b)、(c)，并求H(s)、G(s)的表達(dá)式。解：(1)、框圖（a）變換為圖（b）的變換過(guò)程如下比較圖（b）可得框圖（a）比較圖（c）可得（2）、框圖（a）變換為圖（c）的變換過(guò)程如下框圖（a）例題4．求取下述結(jié)構(gòu)圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。解：方法一為了求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，先計(jì)算下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：由上圖可得即故有因此，上述系統(tǒng)可等效為所以，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為將代入上式，得方法二：信號(hào)流圖法—利用梅遜公式求取(后續(xù)內(nèi)容)該圖有5個(gè)回路，4條前向通路。

5個(gè)回路分別是L1=－G1，L2=G1G2，L3=－G2，L4=－G2G1，L5=－G1G24條前向通路及對(duì)應(yīng)的特征余子式分別為P4=G2G1Δ4=1P1=－G1，

P2=－G1G2，

P3=G2，Δ1=1，

Δ2=1，

Δ3=1

，特征式為同樣，將G1、G2代入下式可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)2.7

信號(hào)流圖及梅遜公式1信號(hào)流圖⑴定義：指由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。或指一種表示一個(gè)線性代數(shù)方程組的網(wǎng)絡(luò)圖。⑵信號(hào)流圖的構(gòu)成①構(gòu)成信號(hào)流圖的基本元素是：節(jié)點(diǎn)和支路節(jié)點(diǎn)：

表示變量或信號(hào)的點(diǎn)。以“

o”表示，并標(biāo)明變量名。支路：

連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段。以“

→

”表示。其中，節(jié)點(diǎn)又分為三種：輸入節(jié)點(diǎn)（源節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。輸出節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)或匯點(diǎn)）：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。②信號(hào)流圖中常用術(shù)語(yǔ)（?。?、通道（通路）：從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，沿支路箭頭方向穿過(guò)各相連支路的路徑。開(kāi)通道：通道與任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)只相交一次。閉通道（回環(huán)）：通路的終點(diǎn)回到起點(diǎn)，而通道與任何其它節(jié)點(diǎn)只相交一次。“自環(huán)”即閉通道的一種特殊情況。前向通道：從源點(diǎn)開(kāi)始到匯點(diǎn)結(jié)束的開(kāi)通道。（ⅱ）、傳輸：兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的增益，即支路增益。通道傳輸：通道中各支路傳輸?shù)某朔e。回環(huán)傳輸（回路增益）：閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。自環(huán)傳輸：自回環(huán)所具有的傳輸。⑶信號(hào)流圖的性質(zhì)（教材P52）（1）~（4）2

信號(hào)流圖的運(yùn)算⑴加法（并聯(lián)）X1X2aX1X2a+bb⑵乘法（串聯(lián)）X1X2X3abX1X3a·b⑶分配法（消去混合節(jié)點(diǎn)）X1X3

X4a1a3X2a2X1X4a1·a3X2a2·a3X1X2X3a1X4a2a3X1X4X2a1

a2a1

a3X1X3X4X5a3a4a1a2a1

a3X5X1a1

a4X2X4a2

a3a2

a4X2⑷自回路簡(jiǎn)化x2x1

a1a2x1x2

a1

1-a2a1

X1+

a2

X2

=X2⑸反饋回路簡(jiǎn)化x1a1a2/(1+

a2a3)

x3x3X2

=a1

X1

－

a3

X3X3

=a2

X2x1

a1

x2

a2-a33

信號(hào)流圖的繪制⑴

代數(shù)方程

信號(hào)流圖例題1設(shè)有某線性系統(tǒng)的性能可由下列方程組來(lái)描述，試?yán)L制該系統(tǒng)的信號(hào)流圖。y2=a12y1

+

a32y3y3=a23y2

+

a43y4y4=a24y2

+

a34y3

+

a44y4y5=a25y2

+

a45y4解：①畫(huà)出節(jié)點(diǎn)（變量）：y1、y2

、y3

、y4

、y5

。②分別繪制各方程的信號(hào)流圖。③整理系統(tǒng)信號(hào)流圖。y1y2y4y5y5a12a451a44a43a34a32a23y3a24a25⑵

微分方程

信號(hào)流圖方法：

A).

微分方程

拉氏變換S域代數(shù)方程；以S域代數(shù)方程中的每一個(gè)變量為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，各系數(shù)為支路增益，繪制各方程的信號(hào)流圖。連接整理

系統(tǒng)信號(hào)流圖。例題2

教材P53例題2-17。⑶

結(jié)構(gòu)圖

信號(hào)流圖方法：

A.

確定節(jié)點(diǎn)。同信號(hào)點(diǎn)為一個(gè)節(jié)點(diǎn)；B.

確定支路增益。支路中的傳遞函數(shù)為支路增益；C.

注意符號(hào)。負(fù)反饋的負(fù)號(hào)隨支路增益走。D.

連接整理

系統(tǒng)信號(hào)流圖。例題3

見(jiàn)下頁(yè)。例題3．已知控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。繪出相應(yīng)的信號(hào)流圖。G1G2G3KR（s）C（s）解：系統(tǒng)信號(hào)流圖為（先確定各個(gè)節(jié)點(diǎn)、支路及其增益）例題4

試?yán)L制下圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。(教材P54例2-18)G2G1G3G4HR1

23

45C61

263－H4

5G4解：1）選取節(jié)點(diǎn)如圖所示；支路中的傳遞函數(shù)即為支路增益；注意符號(hào)并整理得到系統(tǒng)信號(hào)流圖如下：G21

G1

1

G3

14

梅遜公式1）梅遜公式表達(dá)式：（其分析過(guò)程P55-57：略）1

nP

=

—∑Pk·△k△

k=1說(shuō)明:P——系統(tǒng)總增益（系統(tǒng)傳遞函數(shù)）；PK——第K條前向通道的傳輸；n——從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的前向通道總條數(shù)；△——特征式：△=1－∑La＋∑LbLc－∑LdLeLf

＋…其中：∑La