第四講隨機變量函數(shù)與多維正態(tài)隨機變量課件

本次課內(nèi)容隨機變量函數(shù)

單變量的函數(shù)多變量的函數(shù)隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征多維正態(tài)隨機變量1.隨機變量變換后概率密度的確定例:設Y=aX+b(AffineTransformation)，求Y的概率密度。如果X服從正態(tài)分布，AlinearfunctionofaGaussianrandomvariableisalsoaGaussianrandomvariable.如果不是單調(diào)函數(shù)，假定有n個反函數(shù)則Example:Square-Lawdeviceb>0IfXisaGaussianrandomvariablewithmeanzeroandvariance2,Example:ThisPDFiscalledthelog-normalPDF2.FunctionofaDiscreteRandomVariableHowtodeterminethePMFofatransformedrandomvariable?Forexample,tossadieandtransformasfollowIngeneral,wehavethatCheckYourselfWhichoffollowingiscorrect?One-to-One:ABCDENoneofaboveCheckYourselfWhichoffollowingiscorrect?One-to-One:ABCDENoneofaboveCheckYourselfSupposeY=2X,Whichoffollowingarecorrect?NoneofaboveABCDECheckYourselfSupposeY=2X,Whichoffollowingarecorrect?NoneofaboveABCDE對于一對一的變換，Example:Many-to-OneTransformationExample:x0

x1g(x)xA3.Continuous-to-DiscreteExample:PDFforamplitude-limitedRayleighRV.4.MixedrandomvariableAssume一般說來,如果g(x)在區(qū)間(x0,x1]上為一常數(shù)A,則FY(y)在y=A處不連續(xù),跳變點跳變高度為fY(y)在y=A處有一函數(shù)，函數(shù)的強度為例-cc當y<０時當y＝０時當y＞０時FY(y)在y=0處有一個跳變，跳變的高度為P{-c<Xc}=FX(c)-FX(-c)Example:HardLimiterY為離散型隨機變量,FY(y)為階梯型1-1-111y5.多維隨機變量的函數(shù)Jacco

比行列式例令則當X1,X2相互獨立時，如果Xi服從相同分布，多個函數(shù)卷積的結(jié)果逐漸趨近一個高斯函數(shù)，所以大量獨立同分布的隨機變量之和服從正態(tài)分布（中心極限定理）。6.Expectedvalueforafunctionofarandomvariable均值：

方差：

均值：

方差：

對于離散型隨機變量，也有類似的結(jié)果：Example:Square-LawLetXbeanoisevoltagethatisuniformlydistributedinSx={-3,-1,1,3}withpX(k)=1/4.FindE(Y)whereY=X2.TheFirstApproach:findthePMFofYTheSecondApproach:Example：

Expectedvalueofasinusoidalwithrandomphase隨機變量的函數(shù)概率分布和概率密度的確定離散隨機變量的函數(shù)

One-to-OneTransformationMany-to-OneTransformation連續(xù)-離散的變換混合型隨機變量多維隨機變量的函數(shù)學習內(nèi)容：正態(tài)隨機變量二維正態(tài)隨機變量多維正態(tài)隨機變量正態(tài)隨機變量的線性變換教學目的：掌握多維正態(tài)隨機變量的理論，為學習正態(tài)隨機過程打下基礎(chǔ)。多維正態(tài)隨機變量1.NormalRandomVariable(GaussianRV)ThesumoflargenumberofiidrandomvariablesisdistributedtonormalPDF.CDF標準正態(tài)分布IfXhasaRayleighdensity2.JointNormalrandomvariable如果r=0不相關(guān)X1與X2是獨立的對于正態(tài)隨機變量而言，不相關(guān)與獨立是等價的。特征函數(shù):