第1章-概率論與隨機過程1-3節(jié)課件

引言本課程在整個專業(yè)課程中的作用：

1、本課程之前的課程所涉及和討論的信號均為確定性信號：即，信號的波形或函數表示，其變量之間的關系一一對應。

這些課程的設立主要目的是解決：分析確知電信號的組成分量，即信號時域，頻域表示，尤其是信號的付氏分析；電路或系統(tǒng)對一確定的輸入信號會產生什么樣的作用，即研究電路與系統(tǒng)的行為；設計電路或系統(tǒng)對確知電信號的處理，以達到預期的目的。上海大學通信學院2、研究非確定性或隨機性信號的重要性

實際意義：實際應用中，隨機信號無處不在。

隨機信號的特征：不能先驗確定的隨機性，即自變量與函數值非一一對應；可無限持續(xù)性導致能量無限性，條件不滿足；可能具有互相影響的波及性或關聯(lián)性。

可采用的研究方法：統(tǒng)計學方法。本課程的目的:如何解決輸入為隨機量的系統(tǒng)分析？問題？何謂統(tǒng)計學方法？如何運用該方法？方法:給定任意時刻,的統(tǒng)計描述方法,以及如何求解的統(tǒng)計特性;(概率論)時間量連續(xù)變化時,隨機量的統(tǒng)計描述方法及其統(tǒng)計特性;如何描述的頻域及其基本特征;隨機量通過線性時不變系統(tǒng)的響應.(其中2,3,4均為隨機過程內容)學習本課程的方法統(tǒng)計的概念：以統(tǒng)計平均的思想描述信號的特征；模型的概念：研究一般化的系統(tǒng)與信號間的關系；物理的概念：注重數學推演的思想方法以及結論的物理意義。第一章概率論自然界和社會上發(fā)生的現(xiàn)象是多種多樣的,其大體可分為兩類:

I.確定性現(xiàn)象:在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。

II.隨機現(xiàn)象:

在相同條件下，每次試驗或觀察的可能結果不止一個，且在每次試驗或觀察之前無法預知確切的結果,即不確定性。但在大量重復試驗或觀察下,它的結果卻呈現(xiàn)出規(guī)律性，即具有統(tǒng)計規(guī)律性。這種在相同條件下，各試驗結果均呈現(xiàn)不確定性，但在大量重復試驗中又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象。概率論就是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門科學。上海大學通信學院§1隨機試驗隨機事件樣本空間(一)隨機試驗:E試驗：各種科學實驗，或對某一事物某個特征的觀察。隨機試驗的例子：拋硬幣，擲骰子，袋中取不同顏色的球，測試一批產品的某項質量。隨機試驗的特征:

1.可以在相同條件下重復地進行;2.每次試驗的可能結果不止一個，但能事先明確試驗所有可能結果的范圍;3.每次試驗前不能確定那個結果會出現(xiàn)。滿足上述條件的試驗，稱為隨機試驗E。上海大學通信學院

(二)

隨機事件：在隨機試驗中，每一次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復試驗中卻具有某種規(guī)律性的事件，稱為此隨機試驗的隨機事件，記為A，B，…?；臼录弘S機試驗中，由每一種可能結果所構成的隨機事件，稱為基本事件。必然事件。例：擲骰子試驗中,“點數不大于6”不可能事件。例：擲骰子試驗中,“點數大于6”上海大學通信學院

(三)

樣本空間：為了便于研究隨機試驗E，我們將隨機試驗E的所有基本事件所組成的集合稱作E的樣本空間，記為S。并將試驗E中的基本事件稱為樣本空間S的元素，記為e。

隨機試驗E

樣本空間S

E1：拋一枚硬幣,觀察正面H,方面T出S1:{H,T}

現(xiàn)的情況；

E2：將一枚硬幣拋兩次,觀察正反面的S2:{(H,T),(H,H),(T,H),(T,T)}

出現(xiàn)情況；

E3：擲一顆孤骰子，觀察出現(xiàn)的點數；S3:{1，2，3，4，5，6}E4：在一批燈泡中任意抽取一支,測試S4:{t︳t≥0}

它的壽命；

E5：記錄某一晝夜的最低溫度x和最高S5:{(x,y)︳T0<x<y<T1}

溫度y。設這一地區(qū)的溫度不會小于T0,不會大于T1。

樣本空間中的元素是由試驗的內容（或目的）確定的。

上海大學通信學院由于隨機事件是由基本事件，或由基本事件合成的事件，因此隨機試驗E的隨機事件A可以與樣本空間S中的子集構成一一對應關系。例如：在E3試驗中，“出現(xiàn)偶數點”事件A的出現(xiàn),

則A={2,4,6}，A就是S3的子集。如事件B:“點數小于3”其子集為B={1,2}由此可知：試驗E中的事件A是樣本空間S中的子集，而且事件A發(fā)生就是：當且僅當子集中的一個基本事件發(fā)生。同時可推知：必然事件就是樣本空間S；不可能事件就是空集,記為?。注意：?也是一個子集。上海大學通信學院事件之間的關系與事件之間的運算：

設試驗E的樣本空間為S；A，B，Ak(k=1,2,…)是E的事件。1.

若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記為BA或AB。

若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，則稱事件A與事件B相等，記為A=B.，

上海大學通信學院2.若事件A與事件B至少有一個發(fā)生，則稱該事件為事件A與事件B的和，記為

。類似的,若事件A1，A2，

…，Ak，…中至少有一個發(fā)生，該事件稱為事件A1，A2，…，Ak，…

的和，記為3.若事件A與事件B同時發(fā)生，則稱該事件為事件A與事件B的積，記為A∩B或AB。

類似的,可定義Ak(k=1,2,…)的積為

ABS上海大學通信學院4.若事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，這一事件稱為事件A與事件B的差，記為A-B。

注意：若B為一閉集，則A-B事件將不包含

B的邊界。5.若事件A與事件B不能同時發(fā)生，則稱事件A與事件B是互不相容的，記為AB=Ф。例:基本事件就是互不相容的。推論:

若在試驗中，事件A與事件B必然有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生，即事件A與事件B滿足：，則稱事件A與事件B互逆,又稱A是B的對立事件,記為

(或)。ABSABS上海大學通信學院事件之間的運算定律：設A，B，C為事件，則有：

1.交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。

2.結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。

3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

4.德·摩根定律:，。

概率論中事件之間的關系與運算和集合論中集合之間的關系與運算是一致的。因此可以對事件的分析轉化為對集合的分析，利用集合間的運算來分析事件間的關系。例:

以A表示“燈亮”這一事件，以B，C，D分別表示開關I，II，III閉合的事件。由此可知：而,即事件與事件A互不相容。上海大學通信學院概率論中的事件與集合論中的集合關系

記號概率論集合論S樣本空間全集Ф不可能事件空集E基本事件元素A事件子集

A的對立事件A的余集事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A與B相等事件A與事件B至少有一個發(fā)生A與B的和集AB事件A與事件B同時發(fā)生A與B的交集A-B事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生A與B的差集AB=Ф事件A與事件互不相容A與B沒有相同元素上海大學通信學院§2頻率與概率(一)頻率

一個隨機試驗有許多可能結果，常希望知道某些結果出現(xiàn)的可能性有多大，即用數字定量的描述隨機事件發(fā)生的可能性的大小。例如“拋硬幣”試驗，為了要知道正面H出現(xiàn)的可能性的大小，可將硬幣拋次，觀察次試驗中H出現(xiàn)的次數,用比值表示H出現(xiàn)可能性的大小.頻率定義:

事件A在

次重復試驗中出現(xiàn)

次，則

比值

稱為事件A在

次重復試驗中

出現(xiàn)的頻率，記為。即

。上海大學通信學院表1拋硬幣試驗1實驗序號n=5n=50n=500120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494表2拋硬幣試驗2實驗者蒲豐404020480.5070K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005表36只球，其中4白2紅，任取1只為白球的事件。100200300400500600691391982613374010.6900.6950.6600.6530.6740.668結論：一個隨機試驗E的隨機事件A，在次試驗中出現(xiàn)的頻率,當試驗的次數逐漸增多時，它在一個常數附近擺動，而逐漸穩(wěn)定于這個常數，這個常數是客觀存在的。這個常數的客觀存在性揭示了隱藏在隨機現(xiàn)象中的規(guī)律性，這種規(guī)律性就是通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性。(二)頻率的性質設隨機試驗E；A，B為E的二個隨機事件,則n次試驗中的頻率具有下列性質:

(1)0

fn(A)1；

(2)fn(S)＝1；fn()=0。

(3)若A，B互不相容，即AB＝，則有

fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)。上海大學通信學院

(三)概率概率定義:

對隨機試驗E所對應的樣本空間S中的每一事件A均賦予一實數，記為P(A)，若P(A)滿足下列條件：

(1)非負性：1≥

P(A)≥0；

(2)規(guī)范性：P(S)＝1；

(3)可列可加性：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相

容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1∪A2∪…

)＝P(A1)＋P(A2)+….

則稱P(A)為事件A的概率。

概率與頻率的關系:上海大學通信學院概率的性質

性質1、

對于任一事件A，有。性質2、。

性質3、加法公式。對任意兩事件A、B，

有

。證明:由圖知:上海大學通信學院推論:設是n個事件,則有性質4、單調不減性：設

A、B二事件，若事件

，

則

。證明：由可知：

且。故又推論：對任一事件，。上海大學通信學院§3等可能概型(古典概型)定義：

若試驗E的樣本空間S＝{e1,e2,…,en}只有有限個不同的基本事件，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同，則稱試驗E為等可能概型（或稱古典概型）。對于等可能概型，有:

1.2.若事件A中含有k個基本事件，則（1）由計算公式（1）可知：古典概型中事件發(fā)生的概率計算關鍵在于計算試驗的基本事件總數與事件A所包含的基本事件數。而有關基本事件的計算可采用組合數學中排列和組合的計算方法。排列：從n個不同元素中任取m（m≤n)個元素的排列為：組合：從n個不同元素中任取m（m≤n)個元素的組合為：古典概型的概率計算：

古典概型的問題大致可分為三類：

I.抽球問題；

II.分房問題；

III.隨機取數問題。其計算步驟:

1.求出試驗中基本事件的總數n；

關鍵:弄清基本事件是什么?（試驗的目的）

2.求出所研究的事件A所包含的基本事件的個數k。

例(I):設箱中有m個白球和n個黑球，從其中任意取a+b個球，求所取的球恰含a個白球和b個黑球的概率。

解:隨機試驗E是從m+n個球中取出a+b個球,每

a+b個球構成一個基本事件，故共有

個不同的基本事件。

事件A:“恰好取中a個白球b個黑球”，a個白球的組合種，b個黑球的組合有

種,故共有種組合抽取法.

。

例:(II)

有n個人,每個人都以同樣的概率1/N被分配在N(n≤N)間房中的每一間中,試求下列事件的概率:A:某指定n間房中各有一人;B:恰有n間房,其中各有一人;C:某指定房中恰有m(m≤n)人.解:因為″把一人分配到N間房中之一去″的分法有N

種，故對n個人進行同樣的分法，則共有個不同的基本事件。

A:固定某n間房，第一人分配到其中任一間的分法有n種分法；第二人將有(n-1)種分法；…。因此，事件A共含有n!個不同的基本事件。故A事件的概率為：。B:從N間房中任選n間房,共有種選法，因而事件B共含有個不同的基本事件，故B事件的概率為：C:從n個人中任意取定m個人,共有種選法;其余n-m個人可任意分配在其余N-1間房里，共有種分法，因而事件Ｃ共有個不同的基本事件，故C事件的概率為：上海大學通信學院例:(III)

從1,2,…,10共十個數字中任取一個數,假定每個數字都以1/10的概率取中，取后還原，先后取出7個數字，試求下列各事件的概率:A1:7個數字全不相同;A2:不含10與1;A3:10恰好出現(xiàn)兩次;A4:至少出現(xiàn)兩次10;解:

基本事件：因為試驗是“取后還原”，所以每次取數都有10種可能，取7次共有個不同的基本事件。故:

A3：出現(xiàn)10的兩次可以是7次中的任意二次，故有種選擇；其余5次中，每次只能在剩余的9個數字中任取一個，所以

A4：“至少出現(xiàn)兩次10”=

“10恰好出現(xiàn)k次(k=2,3,4,5,6,7)”的6個互不相容的事件的和,故有:上海大學通信學院例(補充):有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設A為“至少有一個男孩”的事件,以H表示某個孩子是男孩。n(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}k(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例(補充)：30名學生中有3名運動員，將這30名學生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解:設A:每組有一名運動員;B:3名運動員集中在一組。感興趣的學生可參閱王梓坤《概率論基礎及其應用》p.5-9:

復合隨機試驗的概念;

幾何型隨機試驗.上海大學通信學院古典概型計算的例題(補充)例1：十只螺絲釘中有三只是壞的，從中隨機取四只。求：(1)恰有兩個是壞的概率；

(2)四只全是好的概率。

解：設事件A={四只中恰有二只是壞的}；事件B={四只全是好的}，則：

例2：袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球，30個是白球。今有兩人依次隨機地從袋中各取一球，取后不放回，求第二人取得黃球的概率。

解：設事件A={第二人取得黃球}。

因為兩人依次隨機地從袋中各取一球，取后不放回的取法有

而第一人取得白球，第二人取得黃球得取法共有：；

第一人取得黃球，第二人也取得黃球得取法共有：。

故例3：從五雙不同的鞋子中任取四只，求這四只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率。

解法一：從五雙(10只)中任取四只的取法有10*9*8*7種取法。

設事件A={四只鞋子中至少有兩只成雙}，則A的對立事件