線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性

線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性1第1頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1可控性和可觀測性的定義

3.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)（※）3.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)（※）3.4對偶原理第三章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性2第2頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1可控性和可觀測性的定義一．可控性與可觀測性的物理概念

系統(tǒng)的可控性和可觀性，就是指系統(tǒng)內的所有狀態(tài)是否可以由輸入影響和是否可由輸出反映。如果系統(tǒng)內部的所有狀態(tài)的運動都可由輸入來影響和控制而由任意的初始狀態(tài)達到原點，則稱系統(tǒng)是可控的，或者更確切的說是狀態(tài)可控的，否則就稱系統(tǒng)為不完全可控的，或簡稱為系統(tǒng)不可控。如果系統(tǒng)內部所有狀態(tài)變量的任意形式的運動均可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測的，否則就稱系統(tǒng)為不完全可觀測的，或簡稱為系統(tǒng)不可觀測。3第3頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-1：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為結構圖表明：通過控制量u可以控制狀態(tài)x1和x2，所以系統(tǒng)完全能控；但輸出y只能反映狀態(tài)變量x2，不能反映狀態(tài)變量x1，所以系統(tǒng)不完全能觀測。圖3-1系統(tǒng)結構圖4第4頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月二．可控性定義1．狀態(tài)可控考慮n維線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程如果對取定初始時刻

的一個非零初始狀態(tài)x(t0)=x0，存在一個時刻和一個無約束的容許控制u(t)，，使狀態(tài)由x(t0)=x0轉移到t1時的x(t1)=0

，則稱此x0是在時刻t0可控的.5第5頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2．系統(tǒng)可控如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在t0（）時刻可控的，則稱系統(tǒng)在時刻t0是完全可控的，簡稱系統(tǒng)在時刻t0可控。若系統(tǒng)在所有時刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。考慮n維線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程6第6頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3．系統(tǒng)不完全可控

對于線性時變系統(tǒng)取定初始時刻，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻t0是不可控的，則稱系統(tǒng)在時刻t0是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。7第7頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月4．狀態(tài)可達與系統(tǒng)可達對于線性時變系統(tǒng)若存在能將狀態(tài)x(t0)=0轉移到x(tf)=xf的控制作用，則稱狀態(tài)xf是t0時刻可達的。若xf對所有時刻都是可達的，則稱狀態(tài)xf為完全可達到或一致可達。若系統(tǒng)對于狀態(tài)空間中的每一個狀態(tài)都是時刻t0可達的，則稱該系統(tǒng)是t0時刻完全可達的，或簡稱系統(tǒng)是t0時刻可達的。8第8頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月三．可觀測性定義1．系統(tǒng)完全可觀測

對于線性時變系統(tǒng)如果取定初始時刻，存在一個有限時刻,對于所有，系統(tǒng)的輸出y(t)能唯一確定狀態(tài)向量的初值x(t0)，則稱系統(tǒng)在[t0,t1]內是完全可觀測的，簡稱可觀測。如果對于一切t1>t0系統(tǒng)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)在[t0,∞)內是完全可觀測的。9第9頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2．系統(tǒng)不可觀測

對于線性時變系統(tǒng)如果取定初始時刻，存在一個有限時刻,對于所有，系統(tǒng)的輸出y(t)不能唯一確定所有狀態(tài)的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一個狀態(tài)的初值不能被y(t)確定，則稱系統(tǒng)在[t0,t1]內是不完全可觀測的，簡稱不可觀測。

10第10頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)(※)一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)（※）1．格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是：存在一個有限時刻t1>0，使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。注意：在應用該判據(jù)時需計算eAt，這在A的維數(shù)較高時并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。11第11頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月證：充分性：已知W(0,t1)為非奇異，欲證系統(tǒng)為完全可控，采用構造法來證明。對任一非零初始狀態(tài)x0可構造控制u(t)為：

則u(t)作用下系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在t1時刻的結果:這表明：對任一取定的初始狀態(tài)x0≠0

，都存在有限時刻t1>0和控制u(t)，使狀態(tài)由x0轉移到t1時刻的狀態(tài)x(t1)=0

，根據(jù)定義可知系統(tǒng)為完全可控。12第12頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證W(0,t1)非奇異。反設W(0,t1)為奇異，即存在某個非零向量，使其中||·||為范數(shù)，故其必為非負。欲使上式成立，必有13第13頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對此非零向量應有0此結果與假設相矛盾，即W(0,t1)為奇異的反設不成立。因此，若系統(tǒng)完全可控，W(0,t1)必為非奇異。

14第14頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2．秩判據(jù)（※）1）凱萊-哈密爾頓定理：設n階矩陣A的特征多項式為則矩陣A滿足其特征方程，即2）推論1：矩陣A的k(k≥n)次冪可表示為A的(n-1)階多項式注：此推論可用以簡化矩陣冪的計算。15第15頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3）推論2：矩陣指數(shù)函數(shù)可表示為A的(n-1)階多項式例3-4：已知，計算A100=?解：A的特征多項式為：由凱萊-哈密頓定理，得到16第16頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月故根據(jù)數(shù)學歸納法有所以：

17第17頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月4）秩判據(jù)（※）線性定常系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是

其中:n為矩陣A的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。注：秩判據(jù)是一種比較方便的判別方法。18第18頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：充分性：已知rankS=n，欲證系統(tǒng)完全可控，采用反證法。反設系統(tǒng)為不完全可控，則有：

為奇異，這意味著存在某個非零n維常向量α使將上式求導直到(n-1)次，再在所得結果中令t=0，則可得到:19第19頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月由于α≠0，所以上式意味著S為行線性相關的，即rankS<n。這顯然與已知rankS=n相矛盾。因而反設不成立，系統(tǒng)應為完全可控，充分性得證。必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證rankS=n，采用反證法。反設rankS<n，這意味著S為行線性相關，因此必存在一個非零n維常向量α

使成立。20第20頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月（由凱萊—哈密爾頓定理）21第21頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月因為已知α≠0

，若上式成立，則格拉姆矩陣W(0,t1)為奇異，即系統(tǒng)為不完全可控，和已知條件相矛盾，所以反設不成立。于是有rankS=n，必要性得證。22第22頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-6：已知判斷其能控性。解：系統(tǒng)階次，確定出可控判別陣，所以系統(tǒng)為完全可控。

23第23頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-7：判斷下列系統(tǒng)的可控性解：矩陣S的第二行與第三行線性相關，故rankS=2＜3，系統(tǒng)不可控。24第24頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月補充：可控性判別矩陣（※）：線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中：x為n維狀態(tài)向量；u為p維輸入向量；A和B分別為(n×n)和(n×p)常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件是：其中：注：該方法是秩判據(jù)的改進，特別適用于多輸入系統(tǒng)，可減少不必要的計算。25第25頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-8：用可控性判別矩陣判別例3-7所示系統(tǒng)的可控性。

解：n=3,

系統(tǒng)輸入向量是2維的列向量，即p=2。顯見矩陣S3-2的第二行與第三行線性相關，故，系統(tǒng)不可控。26第26頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3．PBH秩判據(jù)（※）線性定常系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是：對矩陣A的所有特征值，

均成立，或等價地表示為注：當系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)較高時，應用秩判據(jù)可能不太方便，此時可考慮用PBH判據(jù)試一下。27第27頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：，為多項式矩陣，且對復數(shù)域上除λi以外的所有s都有det(sI-A)≠0，即rank[sI-A]=n，進而有rank[sI-AB]=n，所以只要證明即可。必要性：系統(tǒng)完全可控，欲證上式成立，采用反證法。反設對某個λi

有rank[λiI–AB]<n，則意味著

[λiI–AB]為行線性相關。由此，必存在一個非零常向量α，使成立?？紤]到問題的一般性，由上式可得到：28第28頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月進而可得:于是有因已知α≠0，所以欲使上式成立，必有這意味著系統(tǒng)不完全可控，顯然與已知條件相矛盾。因此，反設不成立，即rank[λiI–AB]=n成立。充分性：已知式rank[λiI–AB]=n成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法：利用和上述相反的思路，即可證得充分性。29第29頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-9：已知線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為判斷系統(tǒng)的可控性。解：根據(jù)狀態(tài)方程可寫出30第30頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月特征方程：

解得A的特征值為：

1）當時，有31第31頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2）當時，有3）當時，有所以系統(tǒng)是完全可控的。32第32頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月4．PBH特征向量判據(jù)線性定常系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是：A不能有與B的所有列相正交的非零左特征向量。即對A的任一特征值λi，使同時滿足的特征向量。注：一般的說，PHB特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性系統(tǒng)的復頻域分析中。33第33頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：必要性：已知系統(tǒng)完全可控，反設存在一個向量α≠0，使式成立，則有由于α≠0

，所以上式意味著S為行線性相關的，即rankS<n，即系統(tǒng)為不完全可控。與已知條件相矛盾，因而反設不成立，必要性得證。充分性：對充分性的證明也用反證法，可按與以上相反的思路來進行，具體推證過程略去。34第34頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月5．約當規(guī)范型判據(jù)1）對角規(guī)范型系統(tǒng)(無重特征值)可控性判別（※）當矩陣A的特征值為兩兩相異時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型中，不包含元素全為零的行。35第35頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-12：已知線性定常系統(tǒng)的對角線規(guī)范型為判斷系統(tǒng)的可控性。解：由于此規(guī)范型中不包含元素全為零的行，故系統(tǒng)完全可控。36第36頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2）約當規(guī)范型系統(tǒng)（有重特征值）可控性判別當系統(tǒng)矩陣A有重特征值時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：由其導出的約當規(guī)范型中，中與同一特征值的各約當塊對應的各子塊的最后一行組成的矩陣是行線性無關的。37第37頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-13：已知約當規(guī)范型系統(tǒng)如下：試判斷其可控性。解：，，均行線性無關，所以：系統(tǒng)完全可控。38第38頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-14：證明如下系統(tǒng)總是完全可控的。證明：，故完全可控。

該題說明：可控標準型系統(tǒng)完全可控。39第39頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月二、輸出可控性1．輸出可控性定義若在有限時間間隔[t0,t1]內，存在無約束分段連續(xù)控制函數(shù)u(t)，，能使任意初始輸出y(t0)轉移到任意最終輸出y(t1)

，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡稱輸出可控。

40第40頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2．輸出可控性判據(jù)設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：則輸出可控的充要條件是：輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)q，即注意：狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個不同的概念，二者沒有什么必然聯(lián)系。41第41頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。例3-15：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為解：1）系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為，狀態(tài)不完全可控

2）系統(tǒng)的輸出可控性矩陣為,系統(tǒng)輸出可控。42第42頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月三線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù)1格拉姆矩陣判據(jù)線性時變系統(tǒng)在時刻為完全能控的充要條件是，存在一個有限時刻，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。43第43頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2秩判據(jù)線性時變系統(tǒng)在時刻為完全能控的充分條件是，存在一個有限時刻，使下式成立44第44頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)(※)一．線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)1.格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是，存在有限時刻t1＞0，使如下定義的格拉姆矩陣為非奇異。注意：在應用該判據(jù)時需計算eAt，這在A的維數(shù)較高時并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。45第45頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2.秩判據(jù)（※）

線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是:或其中：n是系統(tǒng)的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可觀測性判別陣，簡稱可觀測性陣。46第46頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-16：判斷下列系統(tǒng)的可觀性：(1)

解：(1)

系統(tǒng)不完全可觀測(2)

(2)系統(tǒng)完全可觀測47第47頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-17：證明如下系統(tǒng)總是完全可觀測的。證明：系統(tǒng)是完全可觀測的。

該題說明：可觀測標準型系統(tǒng)是完全可觀測的。48第48頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月補充：可觀測性判別矩陣（※）線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中：x為n維狀態(tài)向量；y為q維輸出向量；A和C分別為(n×n)和(q×n)常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充要條件是：其中：

適用于多輸出系統(tǒng)49第49頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-18：判斷例3-16所示系統(tǒng)2）的可觀性。解：系統(tǒng)輸出向量是2維的列向量，即q=2。故，系統(tǒng)完全可觀測。50第50頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3.PBH秩判據(jù)（※）線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是：對矩陣A的所有特征值，均有成立。或等價地表示為51第51頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月4.PBH特征向量判據(jù)線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是：A沒有與C的所有行相正交的非零右特征向量。即對A的任一特征值，使同時滿足的特征向量。注：PHB特征向量判據(jù)主要用于理論分析中。52第52頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月5.約當規(guī)范型判據(jù)1）對角規(guī)范型系統(tǒng)(無重特征值)可觀測性判別（※）當矩陣A的特征值為兩兩相異時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型中，不包含元素全為零的列。53第53頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-19：已知線性定常系統(tǒng)的對角線規(guī)范型為判斷系統(tǒng)的可觀測性。解：由于此規(guī)范型中不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)完全可觀測。54第54頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2）約當規(guī)范型系統(tǒng)(有重特征值)可觀測性判別當系統(tǒng)矩陣A有重特征值時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是：由其導出的約當規(guī)范型中，中與同一特征值的各約當塊對應的各子塊的第一列組成的矩陣是列線性無關的。55第55頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-20：約當標準型系統(tǒng)如下：試判斷其可觀測性。解：

所以：系統(tǒng)完全可觀測。是列線性無關的；是列線性無關的；56第56頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月二．子系統(tǒng)組合的可控性和可觀測性（補充）

完全可控且完全可觀測的子系統(tǒng)組合后不一定保持原有的可控性或可觀測性。例3-21：設完全可控且完全可觀測的子系統(tǒng)為求出并聯(lián)組合