2022年四川省遂寧市磨溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022年四川省遂寧市磨溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合A={－1，0，1，2，3}，，則A∩B=A．{3} B．{2,3} C．{－1,3}

D．{0，1，2}參考答案：解：由中不等式變形得：，解得：或，即或，，0，1，2，，，，故選：．2.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是A．

B．

C．[3，11]

D．[1，11]

參考答案：B試題分析:①畫可行域②明確目標(biāo)函數(shù)幾何意義，目標(biāo)函數(shù)=1+2?，表示動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)M（﹣1，﹣1）連線斜率k的2倍③過M做直線與可行域相交可計(jì)算出直線PM斜率，從而得出所求目標(biāo)函數(shù)范圍．詳解：目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函目標(biāo)函數(shù)=1+2?，表示動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)M（﹣1，﹣1）連線斜率k的兩倍加1，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在A（0，4）點(diǎn)處時(shí)，k最大，最大值為：11；當(dāng)點(diǎn)P在B（3，0）點(diǎn)處時(shí)，k最小，最小值為：；從而的取值范圍是[，11]．故選：B．

3.已知,則（

）A． B． C． D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的求值.C5【答案解析】C

解析：因?yàn)?，所以，故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)，把所求用已知函數(shù)值的三角函數(shù)式表示即可.4.已知的終邊在第一象限，則“”是“” （

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分與不必要條件參考答案：D5.設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.函數(shù)圖象如右圖,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

A．

B.

C.

D.參考答案：C略7.《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽(yáng)線，表示一根陰線），從八卦中任取一卦，這一卦的三根線中恰有2根陽(yáng)線和1根陰線的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先算任取一卦的所有等可能結(jié)果，再算事件恰有2根陽(yáng)線和1根陰線的基本事件，從而利用古典概型的概率求解計(jì)算.【詳解】先算任取一卦的所有等可能結(jié)果共8卦，其中恰有2根陽(yáng)線和1根陰線的基本事件有3卦，∴概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為問題背景，考查古典概型，考查閱讀理解能力.8.若P：2x＞1，Q：lgx＞0，則P是Q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)條件求出A，B，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：關(guān)于p：由2x＞1，解得：x＞0，關(guān)于q：由lgx＞0，解得：x＞1，令A(yù)={x}x＞0}，B={x|x＞1}，則B?A，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的關(guān)系的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角與角均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,若,則(

)A.1或

B.－1或

C.

D.參考答案：C10.祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．它是中國(guó)古代一個(gè)設(shè)計(jì)幾何體體積的問題．意思是如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處處截得兩幾何體的截面面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．設(shè)A，B為兩個(gè)等高的幾何體，p：A，B的體積不相等，q：A，B在同高處的截面面積不恒相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由p?q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p?q，反之不成立．∴p是q的充分不必要條件．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

(2012·青島模擬)已知函數(shù)y＝lg(4－x)的定義域?yàn)锳，集合B＝{x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍________．參考答案：(4，＋∞)12.若曲線表示雙曲線，則的取值范圍是

。參考答案：13.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)和中位數(shù)都是，且標(biāo)準(zhǔn)差等于，則這組數(shù)據(jù)為

.（從小到大排列）參考答案：不妨設(shè)，，依題意得，，即，所以則只能，，則這組數(shù)據(jù)為。14.若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是參考答案：解：因?yàn)椋瑢?duì)任意恒成立，所以有15.某調(diào)查機(jī)構(gòu)就某單位一千多名職工的月收入進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名，已知抽到的職工的月收入都在元之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出職工的月收入情況殘缺的頻率分布直方圖如下圖（圖左）所示，則該單位職工的月收入的平均數(shù)大約是

元。參考答案：290016.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為___________．參考答案：4略17.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且a1=2，an+1=3Sn+2(n∈N*)，則a5=

．參考答案：512【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】根據(jù)來推知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a5=512．【解答】解：∵an+1=3Sn+2∴an=3Sn﹣1+2（n≥2），兩式相減可得an+1﹣an=3an，∴=4（n≥2），由a1=2，a2=3a1+2=8，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：an=2?4n﹣1．則a5=2?44=512．故答案是：512．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

如圖，已知圓，點(diǎn)，是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q。（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與（1）中軌跡相交于A、B兩點(diǎn)，直線OA，，OB的斜率分別為（其中），的面積為，以O(shè)A、OB為直徑的圓的面積分別為，若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍。參考答案：（1）（2）【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；直線和圓的方程的應(yīng)用．H4H8解析：（Ⅰ）連接QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．設(shè)其方程為，可知a=2，，則b=1，∴點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為為．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立，化為（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴△=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=．∵k1，k，k2構(gòu)成等比數(shù)列，∴k2=k1k2=，化為：km（x1+x2）+m2=0，∴+m2=0，解得k2=．∵k＞0，∴k=．此時(shí)△=16（2﹣m2）＞0，解得．又由A、O、B三點(diǎn)不共線得m≠0，從而．故S==|x1﹣x2|=|m|=，又，則S1+S2===+=為定值．∴=×，當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)等號(hào)成立．綜上：．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）連接QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，可|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．解出即可．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其k1，k，k2構(gòu)成等比數(shù)列，可得km（x1+x2）+m2=0，解得k2=，k=．利用△＞0，解得，且m≠0．利用S==|x1﹣x2|=，又，可得S1+S2==為定值．代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出的取值范圍．19.（本題滿分14分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離相等.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記點(diǎn)，若，求△的面積.參考答案：【解】（1）由題意可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為設(shè)方程為，其中，即……2分所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為……2分（2）過作，垂足為,根據(jù)拋物線定義，可得……2分

由于，所以是等腰直角三角形………2分

其中…………2分所以…………2分20.（本小題滿分16分）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10cm，容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線EG，E1G1的長(zhǎng)分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長(zhǎng)度為40cm.（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長(zhǎng)度；（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長(zhǎng)度.

參考答案：解:（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，.記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處.因?yàn)?，所以，從?，記與水面的焦點(diǎn)為,過作P1Q1⊥AC,Q1為垂足，則P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，從而AP1=.答：玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為16cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm) （2）如圖，O，O1是正棱臺(tái)的兩底面中心.由正棱臺(tái)的定義，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處.過G作GK⊥E1G，K為垂足，則GK=OO1=32.因?yàn)镋G=14，E1G1=62，所以KG1=，從而.設(shè)則.因?yàn)?，所?在中，由正弦定理可得，解得.因?yàn)椋?于是.記EN與水面的交點(diǎn)為P2，過P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12，從而EP2=.答:玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)21.已知：直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于A、F（不與B重合），直線l與⊙O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC．（1）求證：∠BAC=∠CAG；（2）求證：AC2=AE?AF．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】證明題；立體幾何．分析：（1）連接BC，根據(jù)AB為⊙O的直徑得到∠ECB與∠ACG互余，根據(jù)弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC與∠ACG互余，再根據(jù)∠CAG與∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；（2）連接CF，利用弦切角結(jié)合（1）的結(jié)論，可得∠GCF=∠ECB，再用外角進(jìn)行等量代換，得到∠AFC=∠ACE，結(jié)合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，從而得到AC是AE、AF的比例中項(xiàng)，從而得到AC2=AE?AF．證明：（1）連接BC，∵AB為⊙O的直徑…∴∠ACB=90°?∠ECB+∠ACG=90°…∵GC與⊙O相切于C，∴∠ECB=∠BAC∴∠BAC+∠ACG=90°…又∵AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90°∴∠BAC=∠CAG…（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，連接CF∵GE與⊙O相切于C，∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°∴∠AFC=∠ACE…∵∠FAC=∠CAE∴△FAC∽△CAE…∴∴AC2=AE?AF…【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．解題時(shí)要注意充分利用互余的角和弦切角進(jìn)行等量代換，方可得到相似三角形．22.已知數(shù)列{an}中，a1=a，a2=t（常數(shù)t＞0），Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn=．（I）試確定數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，若是，求出其通項(xiàng)公式；若不是，說明理由；（Ⅱ）令bn=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（I）由Sn=，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=0，可得a=0，，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1化為（n﹣2）an=（n﹣1）an﹣1，當(dāng)n≥3時(shí)，利用“累乘求積”an=?…?=?…??t．可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an=（n﹣1）t．（II）由（I）可得Sn=，可得bn=+=2+