2023年上海市奉賢區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2023年上海市奉賢區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題(本大題共6小題，共24分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小的是()

A.y=]B.y=C.y=|D.y=-|

2.已知拋物線y=/-3,如果點(diǎn)4(1,-2)與點(diǎn)8關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，那么點(diǎn)B的坐

標(biāo)是()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(-1,-2)

3.在A4BC中，點(diǎn)。、E分別在邊4B、4c上，下列條件不能判定DE〃BC的是()

AAD_AEnAD_AEDE_ADc_CE

~BD=CEAB=AC~BC=ABAB=AC

4.如果C是線段的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論中正確的是()

\.AC=BCB.AC//BCC.AC+BC=0D.AB=2BC

5.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)4(3,1),設(shè)OA與x軸正半軸的夾角為a,那么下列各式正確的是

()

A.sina=gB.cosa=gC.tana=gD.cota=1

6.如圖，以SB為斜邊作等腰直角三角形ABC,再以A為圓心，AC

長為半徑作弧，交線段4B于點(diǎn)P,那么4P：4B等于()

A.1.-V2

B.1；V3

C.V2.*V3

D.2：3

二、填空題(本大題共12小題，共48分)

7.已知線段a=4,b=16,如果線段c是a、b的比例中項(xiàng)，那么c的值是

8.已知f(x)=言，那么/(一1)的值是一.

9.一次函數(shù)y=3x+1的圖象不經(jīng)過的象限是一.

10.如果兩個(gè)等邊三角形的邊長的比是1：4,那么它們的周長比是一.

11.如圖，已知AB“CD〃EF,它們依次交直線小。于點(diǎn)4、C、E和點(diǎn)B、

D.F.如果AC=2,AE=6,DF=3,那么BD=—.

12.在△ABC中，如果AB=AC=7,BC=10,那么cosB的值是

13.在AABC中，力。是BC邊上的中線，G是重心.如果4。=6,那么線段DG的長是

14.如圖，在AABC中，點(diǎn)。、E、F分另ij在邊4B、AC、BC上,

DE//BC,EF//4B.如果DE：BC=2：5,那么EF：的值是—.

15.如圖，在梯形ABC。中，AO〃BC,AC與B。相交于點(diǎn)。，如果BC：

>40=3：2,那么SMDC：S-BC的值為一.

16.已知一斜坡的坡度i=1：3,高度為20米，那么這一斜坡的坡長約一米.

17.如圖，在44BC中，/-ABC=90°,乙4=60°,直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交4B,

4c于點(diǎn)D,E.點(diǎn)B,C,D,E處的讀數(shù)分別為15,12,0,1,則直尺寬B0的長為.

18.我們知道四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形（給定四邊形各邊的長，其形狀和大小不確定）.

如圖，一個(gè)矩形發(fā)生變形后成為一個(gè)平行四邊形，設(shè)這個(gè)平行四邊形中較小的內(nèi)角為a,我

們把sina的值叫做這個(gè)平行四邊形的“變形系數(shù)”，如果矩形的面積為5,其變形后的平行四

邊形的面積為4,那么這個(gè)平行四邊形的“變形系數(shù)”是

三、解答題(本大題共7小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(本小題分)

計(jì)算：4cos30。-sin60°+——~

2tan45-cot30

20.(本小題分)

己知拋物線y=-X2+2X+3,將這條拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位.

(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式和它的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，并說明它的變化情況;

(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出平移后的拋物線.

21.(本小題分)

如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊8c上，BD=AB=^BC,E是BO的中點(diǎn).

(1)求證：4BAE=4C；

(2)設(shè)48=五,AD=/?＞用向量4、b表水向量24c.

A

22.(本小題分)

九(1)班同學(xué)在學(xué)習(xí)了“解直角三角形”的知識(shí)后，開展了“測量學(xué)校教學(xué)大樓高度”的活動(dòng)

23.(本小題分)

己知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,點(diǎn)E在對角線8。上，/.EAD=ABDC.

(1)求證：AEBD=AD?DC；

(2)如果點(diǎn)F在邊DC上，且第=需，求證：EF//BC.

24.(本小題分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a/+bx+3的對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)為A,

與x軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)C(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊)，與y軸交于點(diǎn)D,其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點(diǎn)記為E,聯(lián)結(jié)DE.

①如果DE〃AC,求四邊形4CDE的面積；

②如果點(diǎn)E在直線DC上，點(diǎn)Q在平移后拋物線的對稱軸上，當(dāng)4DQE=NCDQ時(shí)，求點(diǎn)Q的坐

標(biāo).

y八

5-

4-

J__I_L_>

-5-4-3-2-10345x

——I-

25.(本小題分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊4。上，CE交對角線BC于點(diǎn)尸，乙DCE=BDB.

(1)求證：ABBC=BF?CE；

(2)如果4。=3DE=6.

①求CF的長；

②如果BD=10,求?os乙4BC值.

答案和解析

1.【答案】B

解：力、函數(shù)y=^y隨自變量x的值增大而增大，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、函數(shù)y=-],y隨自變量x的值增大而減小，故此選項(xiàng)符合題意；

C、函數(shù)y=g久>0時(shí)，y隨自變量x的值增大而減小，x<0時(shí)，y隨自變量x的值增大而減小,

故此選項(xiàng)不符合題意；

。、函數(shù)y=-|，x>0時(shí)y隨自變量K的值增大而增大，x<0時(shí)y隨自變量x的值增大而增大，故

此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

根據(jù)反比例函數(shù)及一次函數(shù)的增減性即可得答案.

本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì).

2.【答案】D

解：...y=X2—3的對稱軸為X=0,

.?.點(diǎn)/(1,-2)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-2),

故選：D.

首先確定拋物線的對稱軸，然后根據(jù)對稱點(diǎn)的性質(zhì)解題即可.

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是了解對稱點(diǎn)的性質(zhì).

3.【答案】C

解...些=竺，

腑?*BDCE'

■■DE//BC,選項(xiàng)4不符合題意；

ADAE

VAB=AC'

DE//BC,選項(xiàng)B不符合題意；

由叫=弟，不能判定DE〃BC,選項(xiàng)C符合題意；

DCAD

BDCE

?'~AB=ACf

???DEIIBC,選項(xiàng)O不符合題意.

故選：C.

根據(jù)平行線分線段成比例定理對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】B

解：由題意得：|而|=|能|,且它們的方向相反,

■?■AC+CB=0^AC//BC<

故選：B.

根據(jù)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，可以判斷|就|=|配但它們的方向相反，繼而即可得出答案.

本題考查了平面向量的知識(shí)，注意向量包括長度及方向，及0與6的不同.

5.【答案】C

解：過4作AB1x軸于B,則乙48。=90°,

的坐標(biāo)是(3,1),

AB=1,0B=3,

v0A=y/AB2+OB2=Vl2+32=VTO，

AB1V10OB33V10.AB1+OB0

COSa=tana°。以=而=

Slna=OA=^To-'OA=Vi5=^=OBr3,

故選：c.

過4作軸于-B,由點(diǎn)4的坐標(biāo)求出AB和。8的長，由勾股定理求出04的長，再由銳角三角函

數(shù)的定義，即可得到答案.

本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形和勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)

鍵.

6.【答案】A

解：是等腰直角三角形，44cB=90。，

AC=BC,AC2+BC2=AB2,

二AC=當(dāng)力B，

由題意可知：AC=AP,

AP：AB——AC：AB==1：V2>

故選：A.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，可以得到4c和4B的關(guān)系，然后再根據(jù)題意可知4C=4P,從

而可以得到AP：48的值.

本題考查等腰直角三角形、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

7.【答案】8

解：???線段c是a、b的比例中項(xiàng)，

2

Ac=ab=64.

解得：c-±8,

又???線段是正數(shù)，

c=8.

故答案為：8.

根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念a：c=c：b,可得c2=ab=64,即可求出c的值.

此題考查了比例中項(xiàng)，掌握比例中項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵.注意線段不能是負(fù)數(shù).

8.【答案】一1

解：將久=-1代入/（x）=等，

得/（T）=+=-1，

故答案為：—1.

將X=-1代入/（X）=言求解即可.

本題考查了函數(shù)值，熟練掌握代入法是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】第四象限

解：,一次函數(shù)y=3%+1中，/c=3>0,b=1>0,

.?.此函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限.

故答案為：第四象限.

根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系解答即可.

本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】1：4

解：???兩個(gè)三角形都是等邊三角形，

這兩個(gè)等邊三角形的角都是60。，

這兩個(gè)等邊三角形相似，相似比為1：4,

?.?兩個(gè)等邊三角形的邊長的比是1：4,

它們的周長比是1：4.

故答案為：1：4.

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定得出這兩個(gè)等邊三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)得出答案即可.

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能熟記等邊三角形的性質(zhì)和相似三角

形的性質(zhì)和判定是解此題的關(guān)鍵.

11.【答案w

解：VAB//CD//EF,

—AC=—BD.

AEBF

-AC=2,AE=6,DF=3,

.2_BD

’6=BD+3'

解得80=|,

故答案為：

根據(jù)平行線分線段成比例定理，可以求得B0的長.

本題考查平行線分線段成比例，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

12.【答案】1

解：過/作401BC于。,

-AB=ACfAD1BC,BC=10,

???BD==5,

?：AB=7,

0BD5

■-COSB=AB=7-

故答案為：,

過4作4018C于D,由等腰三角形的性質(zhì)得出8。的長，由銳角的余弦即可求解.

本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握銳角的余弦定義，構(gòu)造直角三角形是解此題的

關(guān)鍵.

13.【答案】3

解：?.?三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對邊中點(diǎn)的距離的2倍，

DG=\AG=3.

故答案為：3.

根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點(diǎn)的距離等于到對邊中點(diǎn)距離的2倍，直接求得結(jié)果.

本題考查的是三角形的重心，熟知心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的

關(guān)鍵.

14.【答案】3：5

解：???DE//BC,

ABC,

.AD_AE_D￡_2

AB~AC~~BC~5f

CA5

???EF//AB,

CEFCAB,

EF__CE__3

~AB~CA~5f

故答案為：3：5.

根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以得到EF：4B的值.

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

15.【答案】2：3

解：???四邊形4BC。是梯形，AD//BC,

4DC的邊BC上的高和aADC的邊4。上的高相等，

S—oc：SfBC=而，

vBC：AD=3：2,

:.AD：BC=2：3,

**,SfDC：^LABC=麗=2：3,

故答案為：2：3.

根據(jù)題意和圖形,可知SMDC：S“BC=^，再根據(jù)BC：AD=3：2,即可得到$“℃：SMBC的值.

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解

答.

16.【答案】20V10

解：設(shè)斜坡的坡長為x米，

vi=1：3,

?,?斜坡占41+32=M百份，

???X：20=V10：1,

解得：x=20>/10?

故答案為：20V10.

先根據(jù)勾股定理求出斜坡與高的比，再列方程求解.

本題考查了解直角三角形，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】苧

解：由題意得，0E=1,BC=3,

在RtAABC中，〃=60°,

則4B==-i=V3.

tanAV3

???DEIIBC,

*'.△ADE^LABC,

DEADnnl43-BD

-,-BC=AB'即5=^-'

解得：8。=竿，

故答案為：竽.

根據(jù)正切的定義求出48,證明△AOESAHBC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)

代入計(jì)算即可.

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)

鍵.

18.【答案】I

解：設(shè)矩形的長和寬分別為a,b,變形后的平行四邊形的高為心

vS矩形=ab=5,S平行四邊形=ah=4,

,5,4

:?b=-,h=一，

aa

.h4a4

-,-Slna=b=aX5=5-

故答案為：

設(shè)矩形的長和寬分別為a,b,變形后的平行四邊形的高為八，根據(jù)平行四邊形和矩形的面積公式

即可得到結(jié)論.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，正確的理解“變形系數(shù)”

的定義是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：原式=4x噂

Z，2X1—V3

=3+——

-(2-V3)(2+V3)

=3+2+國

=5+V3-

【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)y=-x2+2x+3=-(x-I)2+4,

.??將拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得新拋物線解析時(shí)為y=-(X-1+3)2+4-2,

即y=—(x+2)2+2,

二拋物線開口方向向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2),對稱軸為直線x=-2,

當(dāng)%>-2時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x<-2時(shí)，y隨％的增大而增大；

(2)?.?拋物線的頂點(diǎn)為(一2,2),對稱軸為x=-2,

當(dāng)x=-1或—3時(shí)，y=1,當(dāng)x=0或—4時(shí)，y=—2,

.??用五點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，如圖所示：

yA

【解析】(i)先把拋物線化為頂點(diǎn)式，再

根據(jù)平移的性質(zhì)“左加右減，上加下減”

得到平移后的解析式，從而得出結(jié)論；

(2)根據(jù)平移后解析式，找打頂點(diǎn)坐標(biāo)，/、

/b

對稱軸以及根據(jù)對稱性求出X,y的對應(yīng)/\1

值，用五點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象.\

本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，二1

次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是用平移的性質(zhì)解

題.

21.【答案】⑴證明：???BD=4B=匆(?，E是BO的中點(diǎn)，

BE/BD,

.空二BEISO1

BC2AB-AB-2

又「Z-ABE="B4

???△ABE~>CBA,

:.乙BAE=Z.C；

(2)解：???AB=G，AD=b，

BD=AD-AB=b-af

BD=AB=：BC,

??.BD—DCf

.-.DC=BD=b-a，

.-.AC=AD+DC=b+b-a=2b-a-

【解析】(1)根據(jù)三角形相似的判定和性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)由三角形法則求得而，然后根據(jù)BD=AB=，BC可求出箕，再由三角形法則求得前.

本題主要考查了平面向量，掌握三角形法則即可解答該題，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】解：方案一，

在Rt△4CD中，由三角函數(shù)的定義可得：tanp

：.CD=tan40°x20?0.84X20=17（米）；

RtABDE^,由三角函數(shù)的定義可得：tana

???DE=AC=20米，

???BE=tan35°x20?0.70x20=14.0（米）,

???AE=CD=17米，

AB=BE+AE=31米；

故甲樓和乙樓的高度分別為31米和17米.

【解析】我們不妨證明方案一，首先根據(jù)已知條件并結(jié)合三角函數(shù)的定義表示出DC與BE,再結(jié)

合線段之間的關(guān)系不難求出AB的長.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題仰角等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的

關(guān)鍵是熟練掌握仰角俯角定義.

23.【答案】證明：⑴

???Z.ADB=乙DBC,

又??,Z,EAD=乙BDC,

???△ADE^^DBC,

AAE：AD=DC：BD,

??,AE-BD=AD-DC；

(2)-AE：AD=DC：BD,且需=條

.￡￡_竺

'~BD=~DE'

而乙E7)F=(BDC,

*'?△DEF~ADBC,

:.乙DEF=乙DBC,

/.EF//BC.

【解析】(1)利用平行線的性質(zhì)證明乙4DB=WBC,然后利用已知條件可以證明△ADEyDBC,

由此即可解決問題；

(2)利用(1)的結(jié)論和已知條件可以證明△DEfDBC,接著利用相似三角形的在即可求解.

此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，同時(shí)也利用了平行線的性質(zhì)，比例的基本性質(zhì)，有一

定的綜合性.

24.【答案】解：(1)?.?拋物線y=ax2+bx+3的對稱軸為直線％=2,經(jīng)過點(diǎn)C(3,0),

{--=2

???j2a,

19a+3b+3=0

解得：E=

3=-4

???拋物線的表達(dá)式為y=/-4x+3；

(2)①???y=%2-4x+3=(x-2)2-1,

>4(2,-1).

設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)G,

.-.AG=1.

令久=0,則y=3,

???D(0,3),

:.OD=3.

令y=0,則/—4%+3=0,

解得：x=1或％=3,

???8(1,0).

如果DE〃/1C,需將拋物線向左平移，設(shè)DE交x軸于點(diǎn)尸，平移后的拋物線對稱軸交匯軸于點(diǎn)H,如

圖，

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,0),

:.OC=3.

由題意：Z-ACB=45°,

???DE//AC,

???乙DFC=4ACB=45°.

:.OF=OD=3,

???F(-3,0),

由題意：EH=1,

:.FH=EH=1,

E(—4,—1).

???/E〃x軸，DE"AC,

???四邊形EFCA為平行四邊形,

???4￡=2—(-4)=6,

???S平行四邊形EFCA=6x1=6

11

???S&DFC=2XFC0D=2X6X3=9,

，四邊形4CDE的面積=S平行四邊形EFCA+S〉DFC=6+9=15；

QF=EF+EQ=4>/2+1,

（2（4,-472-1）;

當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，此時(shí)為點(diǎn)。，

???乙DQ'E=Z.CDQ',

：.EQ'=DE=4VL

Q'F=EQ'-EF=4V2-1-

???Q，（4,4或-l）.

綜上，當(dāng)NDQE=NCCQ時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4,一4立一1）或（4,4夜一1）.

【解析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；

（2）①依據(jù)題意畫出圖形，利用4C,。的坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求

得點(diǎn)E,F坐標(biāo)，再利用四邊形4C0E的面積=S/行四切組FS+SADFC解答即可；

②依據(jù)題意畫出圖形，利用4C,D的坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理求得點(diǎn)E坐

標(biāo)和線段DE,再利用等腰三角形的判定與性質(zhì)求得線段FQ,則結(jié)論可求.

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形面積，直角三角形性

質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解

決問題.

25.【答案】（1）證明：如圖1,???四邊形4BC0是平行四邊形,

:,AB=CD,AD//BC,

???Z.CED=乙BCF,Z.ADB=乙CBF,

???Z-DCE=Z.ADB1

???Z,DCE=乙CBF,

圖1

DCE~>CBF,

?C*E.-=-C-D-,

BCBF

tCE__AB_

??前二麗’

???AB?BC=BF,CE.

(2)解：①如圖2,???//)=3DE=6,

???AD=BC=6,DE=2,

???DE//BC.

DEF~ABCF,

.FF_￡￡_2_1

A===?

CFFC63圖2

EF=jcF,

???CE=EF+CF=21+CF=4

DCE^ACBF,

tCE_D￡

'~BC=~CFf

\CF2

-——=——?

6CF

解得CF=3或CF=—3(不符合題意，舍去),

CF的長是3.

②如圖2,作OG〃CE交BC的延長線于點(diǎn)G,作。H1BG交8G的延長線于點(diǎn)H,

???DE