2023年上海市春考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2023年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試

數(shù)學(xué)試卷

一、填空題(54分)

1、不等式國>1的解集為:

3〃一1

2、計(jì)算：=___________；

mgn+2

3、設(shè)集合A={X0<x<2},8={4-1<%<1},那么AC1B=；

2

4、假設(shè)復(fù)數(shù)z=l+i(i是虛數(shù)單位)，那么z+-=；

z

5、{4“}是等差數(shù)列，假設(shè)生+。8=10,那么“3+%+%=；

6、平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)(1,0)和(-1,0)的距離之和等于4,那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

7、如圖，在長方體ABCO—A4GA中，AB=3,8c=4,A4,=5,。是4G的中點(diǎn)，那么三棱錐

4一4。耳的體積為

12題圖

8、某校組隊(duì)參加辯論賽，從6名學(xué)生

四辯，假設(shè)其中學(xué)生甲必須參賽且不擔(dān)

為(結(jié)果用數(shù)值表示)。

9、設(shè)aeH,假設(shè)/+a與二的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)相等，那么a=________

kx)Vx-)

10、設(shè)機(jī)eR,假設(shè)z是關(guān)于x的方程/+如+川一1=0的一個(gè)虛根，那么。的取值范圍是,

11、設(shè)a>0,函數(shù)/(x)=x+2(l-x)sin(or),xe(0,l),假設(shè)函數(shù)y=2x-l與y=/(x)的圖像有且僅有

兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，那么a的取值范圍是；

12、如圖，在正方形ABCD的邊長為20米，圓。的半徑為1米，圓心是正方形的中心，點(diǎn)尸、。分別在

線段40、C8上，假設(shè)線段尸。馬圓。有公共點(diǎn)，那么稱點(diǎn)。在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中，點(diǎn)尸以1.5米/秒的

速度從A出發(fā)向。移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。以1米/秒的速度從C出發(fā)向8移動(dòng)，那么在點(diǎn)P從A移動(dòng)到。的過

程中，點(diǎn)。在點(diǎn)P的盲區(qū)中的時(shí)長均為秒(精確到0.1).

二.選擇題(20分)

13.以下函數(shù)中，為偶函數(shù)的是()

Ay=x_2By=x3Cy-x2Dy=x3

14.如圖，在直三棱柱ABC-AqG的棱所在的直線中，與直線異面的直線的條數(shù)為(

A1B2C3D4

15.假設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，“｛/｝是遞增數(shù)列”是“｛SJ是遞增數(shù)列”的()

A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D即不充分也不必要條件

16、A、8是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且藍(lán)=2,該平面上的動(dòng)線段尸。的兩個(gè)端點(diǎn)P、。滿足：AP<5,

->—>—>—>

APAB=6,AQ=-2AP,那么動(dòng)線段PQ所圍成的面積為()

A、50B、60C、72D、108

三、解答題(14+14+14+16+18=76分)

17>/(x)=cosx

171

(1).假設(shè)/(a)=§，且ae[0,淚，求了(a—《)的值；

(2).求函數(shù)y=/(2x)—2/(x)的最小值；

2

18、aGR,雙曲線「：一z—y~=1

a

（1）.假設(shè)點(diǎn)（2,1）在「上，求r的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）.假設(shè)。=1,直線y與「相交于A3兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求女的值；

19.利用“平行與圓錐母線的平面截圓錐面，所得截線是拋物線"的幾何原理；某公司用兩個(gè)射燈（射出的

光錐視為圓錐）在廣告牌上投影出其標(biāo)識(shí)，如圖1所示，圖2投影出的拋物線的平面圖，圖3是一個(gè)射燈

投影的直觀圖，在圖2與圖3中，點(diǎn)0、A、8在拋物線上，0C是拋物線的對稱軸，OC，A5于C,=3

米，OC=4.5米.

（1）求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：

（2）在圖3中，OC平行于圓錐的母線SO,AB,是圓錐底面的直徑，求圓錐的母線與軸的夾角的

大?。ň_到o.or）.

20.設(shè)a>o,函數(shù)/（幻=—1—

l+a-2'

（1）.假設(shè)a=l,求/（x）的反函數(shù)/T（X）

（2）求函數(shù)y=/（x）"（—x）的最大值，（用。表示）

（3）設(shè)g（x）=/（x）—/（x—1）,假設(shè)對任意。€（-8,0］遙（力之目（0）恒成立,求a的取值范圍？

21.假設(shè)｛c.｝是遞增數(shù)列，數(shù)列｛4｝滿足：對任意〃eR曰機(jī)eN*,使得%二4-W0,那么稱｛““｝是｛c.｝

冊一c“+i

的“分隔數(shù)列”

（1）設(shè)％=2〃,a“=〃+l,證明：數(shù)列｛%｝是｛g｝的分隔數(shù)列;

（2）設(shè)c.=〃—4,S“是｛%｝的前〃項(xiàng)和，dn=c3n_2,判斷數(shù)列｛S,J是否是數(shù)列?“｝的分隔數(shù)列，并說明

理由；

（3）設(shè)是｛%｝的前〃項(xiàng)和，假設(shè)數(shù)列｛5｝是｛C,,｝的分隔數(shù)列，求實(shí)數(shù)。國的取值范圍？

3

2023年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試

數(shù)學(xué)試卷

參考答案

一、填空題：

22

1、(―℃,—l)U(l,+℃);2、3：3、(0,1)；4、2;5、15;6、=1；7、5；8、180；

…(百J(1U19萬］”，

9、4;10>---,+8；；12、4.4；

13JI——6，——6」

二、選擇題：

13、A；14、C；15>D；16、B；

三、解答題：

,、1+276,、3

17、(1)-------；(2)--；

62

18、⑴的,0)(一百,0)-2)/-I

2；

19、(1)-；(2)9.59°；

4

=logQ-1J=>r'(x)=log2c-1卜e(0,1))；

20、解析：(1)2Xx2

y

,、112A'

⑵y=,二------J-------設(shè)2->0,

■\+a-2x\+a-2-x7(2"+4l+a2)P

—1------，因?yàn)椤?gt;0,所以3+旦22。，當(dāng)且僅當(dāng)f=l時(shí)取等號(hào)，所

那Ay—_2―r~2―rt―

a廣+(a-+l,+a1

Qt+—a+Q2+lt

t

a即yJo,「二；

以atH---F+12Q2+2。+1

t

4

12—a?2'

g(x)設(shè)2*=t,因?yàn)閤e(-8,0),

l+a-2A2+a-2xerr+3a?2*+2

所以fe(0,l),那么g(r)=------1------,假設(shè)a==2=>f='，

—+2+3at0

t

1°當(dāng)一乙21時(shí)，即0<44直，y=a2f+2+3a單調(diào)遞減，所以y+3a+2,+oo),

at

那么g(a)e一,0,且g?)=r^一,故滿足g(x)Ng(0),符合題意;

[a+3a+2)a"+3a+2

2"當(dāng)0<—<1時(shí)，即a>,那么y=a~fd----1-3a22------F3a=+3a,

ata

(石、

那么g(a)e(2后一3,0),因?yàn)間(x)mjn=glog2—wg(0),故不符合題意，舍去;

綜上：ae(0,V2]o

21、解析(1)依題意得,

因?yàn)閙wN*,于是，可得，m=2n,故存在這樣的加，使得品一和K0,所以數(shù)列｛氏,｝是｛%｝的分隔

am-C?+1

數(shù)列，得證；

(2)4,=。3,一2=3〃-6,又因?yàn)镾“是｛%｝的前〃項(xiàng)和，所以S“=(-3上尸4k=5一9,

假設(shè)數(shù)列｛s“｝是否是數(shù)列｛4,｝的分隔數(shù)列，那么必定存在meN*,使得上匚&<0,

SM-4+I

代入不并化簡得：

所以，6n—12<w2—Im<6n—6,

5

又因?yàn)楦?根-7)=2&(&eZ),所以m(m-7)={6〃-12,6〃一10,6〃-8},

m2-7m=6n-12....①

對于任意的〃eN*,三個(gè)方程?m2-lm=6n-\0…???②都不能確保加一直偶整數(shù)解,

m2-7m=6n-8....③

故不符合定義，所以數(shù)列｛S,,｝不是數(shù)列｛4“｝的分隔數(shù)列;

另解：舉出反例即可!

-6<m(m-7)<0

r當(dāng)〃=1時(shí)，<n〃z=6,存在;

meN*

0<7?z(m-7)<6

2°當(dāng)〃=2時(shí)，!=>m=7,存在;

mGN*

6<m(m-7)<12

3°當(dāng)〃=3時(shí)，4=>m=8,存在；

meN*

12<m(m-7)<18

4°當(dāng)〃=4時(shí),=>m=0,不存在;

msN*

綜上，數(shù)列｛s“｝不是數(shù)列｛”“｝的分隔數(shù)列;

(3)因?yàn)椋鹓｝是遞增數(shù)列，所以，,或

。>0[0<^<1

rj-1

①當(dāng)令=1時(shí)，c,,=a^Tn=na,