平面向量的實際背景及基本概念課件

2.1平面向量的實際背景及基本概念第二章平面向量2.1.1向量的物理背景與概念2.1.2向量的幾何表示2.1.3相等向量與共線向量

2.1平面向量的實際背景及基本概念第二章平面向量2.1.問題1:一千噸的大米和一千噸的鐵誰更重?問題提出速度是既有大小又有方向的量.問題2:老鼠由A向東北方向以每秒6米的速度逃竄,而貓由A向東南方向每秒10米的速度追.問貓能否抓到老鼠?質量是只有大小沒有方向的量.問題1:一千噸的大米和一千噸的鐵誰更重?問題提出速度是既有大OBA湖面上有三個景點O,A,B,一游艇將游客從景點O送至景點A,半小時后,游艇再將游客送至景點B.1.在物理中，位移與路程是同一個概念嗎？為什么？1.向量的物理背景與概念2.物體受到的重力、物體在液體中受到的浮力,被拉長或壓縮的彈簧的彈力…力是常見的物理量，也是既有大小又有方向的量.GFFOBA湖面上有三個景點O,A,B,一游艇將游客從景點O送至景（1）向量與數(shù)量既有大小，又有方向的量叫做向量(物理學中稱為矢量);只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量(物理學中稱為標量).注意：

數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、能比較大??；

向量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量不能比較大小.練習下列物理量不是向量的是（）①質量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功辨析：溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量.（

）直角坐標平面內的x軸，y軸是向量.（）××（1）向量與數(shù)量注意：

數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行一個實數(shù)，可用數(shù)軸上的點表示；

一個二次函數(shù)，可用一條拋物線表示；

一個角的正弦、余弦和正切，可用三角函數(shù)線(有向線段)表示…

數(shù)學中有許多量都可以用幾何方式表示.2.向量的幾何表示由于實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，所以數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個點表示，如3，2，-1…0123-1（1）數(shù)量的表示而且不同的點表示不同的數(shù)量.一個實數(shù)，可用數(shù)軸上的點表示；

一個二次函數(shù)，可用一條拋物線有向線段定義在線段AB的兩個端點中，規(guī)定一個順序，假設A為起點，B為終點，就說線段AB具有方向，具有方向的線段叫做有向線段.A（起點）B（終點）如圖，以A為起點、B為終點的有向線段記作.線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作.思考：一條有向線段由哪幾個基本要素所確定？箭頭所指的方向表示有向線段的方向.有向線段的三個要素：起點、方向、長度.有向線段使向量的“方向”得到了表示，而線段的長度可表示向量的大小，這樣我們就可用有向線段表示向量.有向線段定義在線段AB的兩個端點中，規(guī)定一個順序，假設A為起（2）向量的幾何表示（3）向量的表示方法：AB一般可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如若表示向量的有向線段沒有標注起點和終點字母，向量也可用黑體字母a，b，c，…（書寫時用注意用表示），如上圖.——用有向線段表示.畫圖時，我們常用有向線段來表示向量，線段按一定比例（標度）畫出.其中有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.在建立了坐標系后，還可以用坐標表示向量（以后將學到）.（2）向量的幾何表示（3）向量的表示方法：AB一般可用表示向向量的大小，就是向量的長度（或模）,記作，或者記作.（4）向量的模思考：向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負數(shù)嗎？零向量：長度為0的向量，記作.單位向量：長度等于1個單位的向量.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.

故零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.注意：向量是不能比較大小的,但向量的模（是正數(shù)或零）是可以進行大小比較的.有意義沒有意義向量的大小，就是向量的長度（或模）,記作比例1：800000解：AB表示A地至B地的位移；AC表示A地至C地的位移.例1如圖，試根據(jù)圖中比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示A地至B、C兩地的位移，并求出實際距離（精確到1km）.例題分析比例1：800000解：AB表示A地至B地的位移；例1例2某人從A點出發(fā)向西走了200m到達B點，然后改變方向向西偏北60°走了450m到達C點,最后又改變方向,向東走了200m到達D點.(1)作出向AB、BC、CD(1cm表示200m).(2)求DA的模.例2某人從A點出發(fā)向西走了200m到達B點，然后改變方向向練習已知飛機從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達B地，再從B地按南偏東30°方向飛行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛行1000km到達D地.(1)畫圖表示向量；(2)求飛機從A地到達D地的位移所對應的向量的模和方向.BA東北CD練習已知飛機從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達B模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；思考1：向量由其模和方向所確定.對于兩個向量，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？3.相等向量與共線向量

模相等，方向相同；模相等，方向不相同；思考1：向量（1）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量

與相等，記作.（1）兩個向量不能比較大小，只有“相等”與“不相等”的區(qū)別.ABCDABCD注意：（2）零向量與零向量相等；（3）對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動的.因此任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點的選取無關；（1）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.（1向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.ABCD即向量和有向線段是兩個不同的概念.由于有向線段具有長度和方向雙重特征，所以向量可以用有向線段表示，但不能說向量就是有向線段，二者只是一種對應關系.向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩DCBABA思考2：如果非零向量與是相反向量，通過平移使起點A與C重合，那么終點B與D的位置關系如何？（2）相反向量：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量相反的向量記作.零向量的相反向量仍是零向量.規(guī)定:DCBABA思考2：如果非零向量與是相反向量，辨析：1)如果兩個向量所在的直線互相平行，那么這兩個向量是平行向量.規(guī)定：零向量與任一向量平行（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量.

向量與

平行，記作2)平行向量所在的直線一定互相平行.（平行或者重合）①②③④辨析：規(guī)定：零向量與任一向量平行（3）平行向量：方向相同或相ABCOlabc思考3：將向量平移，不會改變其長度和方向.如圖，設

是一組平行向量，任作一條與向量所在直線平行的直線l，在l上任取一點O，分別作，那么點A、B、C的位置關系如何？任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量.（即二者是同一個概念?。〢BCOlabc思考3：將向量平移，不會改變其長度和方向.如不是.向量的平行、共線與平面幾何中線段的平行、共線是不同的概念，平行向量（共線向量）對應的有向線段既可以平行也可以共線.思考4：如果非零向量與是共線向量，那么點A、B、C、D是否一定共線？平行（共線）向量與平行線段、共線線段的區(qū)別：①平行向量可以在同一直線上，但兩平行線肯定不在同一直線上；②共線向量可以相互平行，在同一直線上的線段肯定不相互平行.不是.向量的平行、共線與平面幾何中線段的平行、共線是不同的思考5：若向量與

平行（或共線），則向量

與

相等或相反嗎？反之，若向量與

相等或相反，則向量與平行（或共線）嗎？向量相等或相反向量平行注意：相等向量與相反向量是并列概念，

平行向量與共線向量是同一概念，

相等向量（相反向量）與平行向量是包含概念.思考5：若向量與平行（或共線），則向量與結論：平行向量不具有傳遞性，但非零平行向量和相等向量都具有傳遞性.思考7：對于向量，若

，

，那么

嗎？思考6：對于向量，若

，

，那么嗎？注意：規(guī)定零向量與任一向量平行（共線），故在向量問題中，

注意考慮零向量的特殊性！小結結論：平行向量不具有傳遞性，但非零平行向量和相等向量都具有傳練習：1、口答題：(1)平行向量是否一定方向相同？（）(2)不相等的向量是否一定不平行？（）(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？（）(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？（）(5)若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（）(6)兩個非零向量相等的充分必要條件是什么？（）(7)共線向量一定在同一直線上嗎？（）不一定不一定不一定零向量零向量平行向量長度相等且方向相同練習：1、口答題：不一定不一定不一定零向量零向量平行向量長度例3如圖，設O為正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出與相等的向量.11個變式一：與向量長度相等的向量有多少個？變式二：是否存在與向量長度相等，方向相反的向量？O變式三：與向量共線的向量有哪些？例題分析例3如圖，設O為正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出與練習如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形.以圖中各點為起點和終點,寫出：ABCDE與向量模相等的向量：與向量共線的向量：與向量相等的向量：與向量相等的向量：練習如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形相等的有7個長度相等的有15個練習在4×5排列方格中有一個向量以圖中的格點為起點和終點，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個？相等的有7個練習在4×5排列方格中有一個向量以圖中練習如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的點，已知 求證：.ABCDEF練習如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊例4判斷下列結論是否正確.（5）任一向量與它的相反向量不相等．

（2）不相等的向量一定不平行．

×××

（1）單位向量都相等．

（3）若非零向量,則．

（4）四邊形ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形．

×例4判斷下列結論是否正確.（5）任一向量與它的相反向量不下面幾個命題：（2）若|a|=0，則a=0（5）若a=b，b=c，則a=c.

A．0B.1C.2D.3

其中正確的個數(shù)是()B（1）兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；（4）若,則四邊形ABCD是平行四邊形；

（6）若a//b，b//c，則a//c.（3）若|a|=|b|，則a=b或a=-b；下面幾個命題：（2）若|a|=0，則a=0（5）若a例5對于下列各種情況，各向量的終點的集合分別是什么圖形？(2)把所有單位向量的起點平行移動到同一點P；(1)把平行于直線L的所有單位向量的起點平移到L上的點P;解:(1)是直線L上與點P的距離為1的兩個點；(2)是以P點為圓心，以1個單位長為半徑的圓；(3)把平行于直線L的一切向量的起點平移到L上的點P.(3)直線L(4)把所有相等向量平移到同一個起點上.(4)一個點例5對于下列各種情況，各向量的終點的集合分別是什么圖形？(1.向量的定義及表示2.向量的模3.向量小結:定義表示幾何表示字母表示大小方向大小方向零向量、單位向量平行向量(共線向量)相等向量、相反向量作業(yè)