物理臨界與極值法

物理臨界與極值法第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月臨界與極值問題下列情況會(huì)出現(xiàn)臨界問題1、某些物理現(xiàn)象在一定條件下才會(huì)發(fā)生。如全反射、光電效應(yīng)、超導(dǎo)現(xiàn)象等。2、某些物理量在漸變過程中會(huì)發(fā)生突變，在即將發(fā)生突變時(shí)就出現(xiàn)臨界問題。求解極值的方法可歸納為兩種1、用物理規(guī)律求極值。如臨界條件、邊界條件等等。2、用數(shù)學(xué)方法求極值。如不等式、二次函數(shù)、三角函數(shù)和解三角形等等。第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題一水平向右的勻強(qiáng)電場場強(qiáng)未知，懸點(diǎn)O有一長為l的細(xì)線下端系質(zhì)量為m、電量為+q小球。把小球拉到水平位置A由靜止釋放，小球擺到C點(diǎn)，即由C點(diǎn)重新擺回。如圖所示，已知OC與豎直方向成30°角，求小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度。第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解析小球從A到C的運(yùn)動(dòng)，可以類比為單擺，單擺小球在平衡位置有最大速度，那么這個(gè)小球應(yīng)該在B點(diǎn)位置為平衡位置，有最大速度，這時(shí)角φ=30°。或小球從A到C的運(yùn)動(dòng)，是在重力場和電場疊加的復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)，那么重力和電場力，即復(fù)合場力與細(xì)繩共線位置為平衡位置（如圖所示），有最大速度。

GEqFEq/mg=tg30°mgl

sin60°

-qEl(1-cos60°)=mvb2/2Vb=第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題二一根對稱的A形玻璃管，置于豎直平面內(nèi)，管所在的空間有場強(qiáng)E=1000V/m、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場，重力G=1.0×10-3N，帶電量為-2×10-6C的小物體，在管內(nèi)從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，小物體與管壁間的動(dòng)摩擦因素為0.5，管長AB=BC=l=2m，管的B處為一極短的光滑圓弧，管AB和BC與水平方向所夾的銳角皆為37°，如圖所示。求：（1）小物體最終靜止在何處？（2）從A開始運(yùn)動(dòng)到靜止，小物體運(yùn)動(dòng)的總路程是多少？

第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解析如果我們把F合類比作重力，把A型玻璃管倒過來看，那么小物體運(yùn)動(dòng)就類比為在粗糙的斜面上下滑。

NfF合=qE-mg=10-3NN=F合cos37°=0.0008Nf=0.5N=0.0004NS總=3m球最終停在何處？第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題三如圖所示的容器是高為H的立方體，它靜止在水平面時(shí)內(nèi)部裝水的高度為H/2，當(dāng)容器向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，為使容器內(nèi)的水不外溢，求加速度為a的最大值？分析與解答：容器向右加速則左側(cè)液面上升當(dāng)左側(cè)液面高為H時(shí)加速度達(dá)到最大值。GNF合=maθ=45°最大加速度a=g由圖易見F合=mg=ma因液體的體積不變，液面的傾角為45°在液面上取一個(gè)液滴作為研究對象第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題四如圖所示，光滑絕緣水平面上放有一個(gè)電量為q的正電荷，電荷處于豎直放置的A、B板的中點(diǎn)。已知AB間的距離為L，開始電荷處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)兩板之間加上一個(gè)圖示的矩形交變電壓時(shí)，已知交流電壓的絕對值為U，為使電荷在運(yùn)動(dòng)過程中恰不與A和B板接觸，求交流電的最大周期。分析與解答電荷的運(yùn)動(dòng)情況如下：0到T/4勻加速，T/4到T/2勻減速T/2時(shí)刻速度為零，位移小于等于L/2，電荷在A點(diǎn)或B點(diǎn)T/2到3T/4電荷向中點(diǎn)勻加速，3T/4時(shí)刻速度最大3T/4到T電荷向中點(diǎn)作勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)中點(diǎn)時(shí)速度為零。電荷是向A還是T向B運(yùn)動(dòng)由A、B兩點(diǎn)的電勢高低決定。以后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，畫V-t圖象可加深理解。tV0T/4T/23T/4TL/2L/2V1-V1第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題五如圖的矩形水平光滑導(dǎo)電軌道，其中ab邊和cd邊長為L，電阻為5R0（電阻分布均勻），ad邊和bc邊長為d，ad邊電阻為4R0，bc邊電阻為2R0。整個(gè)軌道處于垂直軌道平面的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一根電阻為R0的金屬桿放在軌道上，在平行軌道平面的拉力作用下，從靠近ad邊處沿軌道以速度v向右勻速滑行，滑行中金屬桿始終與ab邊和cd邊保持垂直，而且與軌道接觸良好，求滑行中拉力牽引金屬桿的最小功率是多少？

第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題五分析與解答金屬桿切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢E=LVB本題中電源電動(dòng)勢不變但外電阻在變化設(shè)金屬桿運(yùn)動(dòng)到與的距離為X，則外電阻由兩部分并聯(lián)組成R左=4R0+2×5R0X/L，R右=2R0+2×5R0（L-X）/LR外=R左R右/（R左+R右）當(dāng)X=2L/5時(shí)總電阻最大，電功率最小，Pi=E2/5R0拉力的功率等于電功率，最小功率為用極值定理可避免復(fù)雜的運(yùn)算因?yàn)镽左+R右=16R0，當(dāng)R左=R右=8R0時(shí)R外最大，R外最大=4R0第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題六一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電的帶電粒子，從A點(diǎn)射入寬度為d磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，MN、PQ為該磁場的邊緣，磁感線垂直于紙面向里。帶電粒子射入時(shí)的初速度與PQ成450，且它恰好沒有從MN射出。(1)求該帶電粒子的初速度V0.(2)求該帶電粒子從PQ邊射出的射出點(diǎn)到A點(diǎn)的距離S.

第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題六分析與解答先畫粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，關(guān)鍵是查找圓心位置450R1R1（1+cos450

）=d,R1=mV01/qB粒子的運(yùn)動(dòng)還有另一種可能450R2第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題七如圖所示，固定在豎直面內(nèi)的半徑為R的1/4光滑圓弧軌道AB底端的切線水平，并和水平光滑軌道BC連接．一根輕桿兩端和中點(diǎn)分別固定有相同的小鐵球（鐵球可看作質(zhì)點(diǎn)），靜止時(shí)兩端的小鐵球恰好位于A、B兩點(diǎn)．求：釋放后桿和小球的最大速度。分析與解答把三小球組成的系統(tǒng)作為研究對象系統(tǒng)的機(jī)械能守恒以BC面的重力勢能為零靜止時(shí)為初態(tài)，初態(tài)機(jī)械能E1=mgR+mgR/2三個(gè)球全部到水平面時(shí)為終態(tài)，終態(tài)機(jī)械能為E2=3mV2/2E1=E2,3mgR/2=3mV2/2最大速度為第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題八下圖是打秋千的示意圖。最初人直立站在踏板上（A點(diǎn)所示），繩與豎直方向成θ角，人的重心到懸點(diǎn)O的距離為L1；從A點(diǎn)向最低點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，人由直立狀態(tài)自然下蹲，在B點(diǎn)人的重心到懸點(diǎn)O的距離為L2；在最低點(diǎn)處，人突然由下蹲狀態(tài)變成直立狀態(tài)(人的重心到懸點(diǎn)O的距離恢復(fù)為L1)且保持該狀態(tài)到最高點(diǎn)C。設(shè)人的質(zhì)量為m，踏板和繩的質(zhì)量不計(jì)，空氣阻力不計(jì)。求：（1）人剛到最低點(diǎn)B還處于下蹲狀態(tài)時(shí)，兩根繩中的總拉力F為多大？（2）人到達(dá)左端最高點(diǎn)C時(shí)，繩與豎直方向的夾角α為多大？（用反三角函數(shù)表示）

第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例題八分析與解答以人為研究對象，自然下蹲是重力做功從A到B只有重力做功故機(jī)械能守恒減少的勢能等于增加的動(dòng)能mV2/2=mgL2-mgL1cosθ在最低點(diǎn)F-mg=mV2/L2

F=3mg-2mgL1cosθ/L2

從B到C，人在站立過程中克服重力作功機(jī)械能不守恒W人=mg(L2-L1)從A到C由動(dòng)能定理

W人+W重力=0-0，W重力=mg[L1(1-cosθ)–L1（1-cosα)]cosθ-cosα=(L2-L1)/L1,cosα=cosθ-(L2-L1)/L1可見α大于θ，秋千擺得比A點(diǎn)高了。第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題1、豎直向上射出的子彈，到達(dá)最高點(diǎn)又豎直下落，設(shè)空氣阻力與速度成正比，并設(shè)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中子彈沿一直線作變速運(yùn)動(dòng)，求子彈加速度最大和最小的時(shí)刻。W\分析與解答上升階段加速度向下∵mg+f=ma∴a=g+f/m∵射出時(shí)速度最大，f最小∴上升階段，子彈剛射出的時(shí)加速離最大。下落階段mg>f′，加速度向下∵mg-f′=ma′a′=g-f′/m∵落地時(shí)瞬時(shí)速度最大，f′最大，a′最小∴從整個(gè)過程看，加速度最大時(shí)刻是射出瞬間，加速度最小時(shí)刻是落地瞬間。

第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題2懸在O點(diǎn)的長為l的絕緣細(xì)線上掛著質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球在水平向右的勻強(qiáng)電場的作用下，向右偏到45°角的位置平衡，如圖所示，求：（1）電場強(qiáng)度；（2）小球在平衡位置做小角度擺動(dòng)的周期；（3）若要小球能在豎直平面上完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)給小球施加的最小的切線方向的初速度為多少？

第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題2思路點(diǎn)撥分析小球的受力情況即可解（1）E=mg/qmgEqF合BACD在D點(diǎn)小球的速度至少是多大？（3）、到了圓周上哪一點(diǎn)就可作完整的圓周運(yùn)動(dòng)？第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)3如圖所示，A、B為相距為d的兩平行金屬板，A、B上電壓為U，且A板電勢高于B板。在A板上放一放射性鈷60，它可不斷地向右側(cè)空間發(fā)射質(zhì)量為m、電量為q的α粒子，發(fā)射的最大速度為v，B板內(nèi)側(cè)涂熒光粉，當(dāng)α粒子轟擊時(shí)發(fā)光。若α粒子不被B板反射，則B板上最大發(fā)光面積有多大？

須知粒子的速度方向是任意的。R第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)4如圖所示，粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有某種液體，已知l=10cm，h=8cm。當(dāng)此U形管在水平地面上以4m/s2的加速度向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，A、B兩管中液柱的高度分別是多大？

在液面上任取一液滴作為研究對象GN它的合外力產(chǎn)生加速度a由圖可知可把U形管類比為方形容器第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解法二研究水平管內(nèi)的液體，水平方向其受力圖如下。ha=10cm,hb=6cm第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)5小球從h=4m高處由靜止開始自由下落到地面上。假設(shè)每次碰撞后彈起的高度為碰撞前落下高度的1/3，求直到小球停止彈跳時(shí)它通過的總路程？設(shè)碰撞中無能量損耗。

……S=（h1+2h2+2h3+2h4……）=8m第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)6如圖所示，金屬棒a從高為h的光滑弧形導(dǎo)軌上自由滑下進(jìn)入水平光滑且足夠長的導(dǎo)軌，導(dǎo)軌電阻不計(jì)。水平導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場中。水平導(dǎo)軌另一端放有金屬棒b。設(shè)a、b兩棒的質(zhì)量和電阻分別為m和R，運(yùn)動(dòng)過程中兩棒沒有相碰。求b棒的最終速度和兩棒在運(yùn)動(dòng)過程中所消耗電能的最大值？

棒a在弧形導(dǎo)軌上自由滑下其機(jī)械能守恒棒a進(jìn)入磁場后兩棒的動(dòng)量守恒第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題7、人和冰車的總質(zhì)量為M，另有一木球，質(zhì)量為m，M/m=31/2，人坐在靜止于水平冰面的冰車上，以速度V（相對地面）將原來靜止的木球沿冰面推向正前方的固定擋板，球與冰面、車與冰面的摩擦均可不計(jì)，空氣阻力也忽略不計(jì)．設(shè)球與擋板碰撞后，球被反向彈回，速率與碰前相等，人接住球后再以同樣的速度V（相對地面）將球沿冰面向正前方推向擋板。問（1）人推球多少次后不能再接到球？（2）全過程中人做了多少功？分析與解答（1）取人、車和小球的整體作為系統(tǒng)此系統(tǒng)的動(dòng)量在增加，其原因是墻壁對小球的沖量引起的小球每次與墻壁碰撞的過程中墻壁對小球的沖量等于2mV方向與冰車運(yùn)動(dòng)方向相同設(shè)經(jīng)過第n次推球后小球經(jīng)歷與墻壁碰撞n次后向冰車運(yùn)動(dòng)全過程對系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量定理，ΔP=2nmV=MV1+mV人接不到球的條件是V1≥V，代入數(shù)據(jù)得n=8.25，應(yīng)取n=9（2）取n=9，全過程中系統(tǒng)增加的動(dòng)能等于人做的功

第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)8如圖所示，邊長為a的正方形線框放在均勻分布的磁場的空間中，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向與導(dǎo)線框平面垂直，其大小為B=Bmsinωt（T），則線框內(nèi)的最大感應(yīng)電動(dòng)勢Em為多大？

線框的磁通量其磁通量的變化規(guī)律與線框繞垂直于磁場的軸在勻強(qiáng)磁場中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)磁通量的變化規(guī)律相同。故第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題9、如圖所示，勁度系數(shù)為K的輕質(zhì)彈簧一端與墻固定，另一端與傾角為α的斜面體小車連接，小車置于光滑水平面上，在小車上疊放一個(gè)物體，已知小車的質(zhì)量為M，物體的質(zhì)量為m，小車處于O點(diǎn)時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)將小車從O點(diǎn)拉到B處，令OB=b，無初速度釋放后，小車即在水平面上來回運(yùn)動(dòng)，而物體m和小車M之間始終沒有相對運(yùn)動(dòng)，求：(1)小車運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)加速度大小和物體m所受到的摩擦力的大?。?2)b的大小必須滿足什么條件，才能使得小車和物體在一起運(yùn)動(dòng)的過程中，在某一位置時(shí)，物體和小車之間的摩擦力為零．

第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題9分析與解答（1）M與m組成的系統(tǒng)作簡諧運(yùn)動(dòng)，Kx=（M+m）a在B點(diǎn)Kb=（M+m）ab,ab=Kb/（M+m）為求m的摩擦力必須研究m,m的受力圖如下摩擦力的方向如何？mgNafα（2）摩擦力為零時(shí)，重力和支持力的合力作為回復(fù)力，此位置在O的左邊畫摩擦力為零時(shí)m的受力圖如下mgNaxF合第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例4如圖所示，光滑絕緣水平面上放有一個(gè)正電荷，電荷處于豎直放置的A、B板之間。開始電荷處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)兩板之間加上一個(gè)正弦交變電壓時(shí)，電荷將做什么樣的運(yùn)動(dòng)？

第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解析欲知電荷作什么運(yùn)動(dòng)應(yīng)分析電荷的受力情況。水平方向僅受電場力作用。0—T/4內(nèi)加速向前、加速度變大；T/4—T/2內(nèi)加速向前、加速度變小。T/2時(shí)速度最大。T/2—3T/4內(nèi)加速度反向，開始減速；3T/4—T內(nèi)減速為零。T時(shí)刻速度為零。一直在前進(jìn)。以后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)。第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月[考題回顧][例1]（2000年上海）據(jù)報(bào)道，1992年7月，美國“阿特蘭蒂斯”號航天飛機(jī)進(jìn)行了一項(xiàng)衛(wèi)星懸繩發(fā)電實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)取得了部分成功、航天飛機(jī)在地球赤道上空離地面約3000km處由東向西飛行，相對地面速度大約6.5×103m/s，從航天飛機(jī)上向地心方向發(fā)射一顆衛(wèi)星，攜帶一根長20km，電阻為800Ω的金屬懸繩，使這根懸繩與地磁場垂直，做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，假定這一范圍內(nèi)的地磁場是均勻的，磁感強(qiáng)度為4×10-5T，且認(rèn)為懸繩上各點(diǎn)的切割速度和航天飛機(jī)的速度相同，根據(jù)理論設(shè)計(jì)，通過電離層（由等離子體組成）的作用，懸繩可產(chǎn)生約3A的感應(yīng)電流，試求：（1）金屬懸繩中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢；（2）懸繩兩端的電壓；（3）航天飛機(jī)經(jīng)地球運(yùn)行一周懸繩輸出的電能（已知地球半徑為6400km）。

E=BLV=5200VU=E-Ir=2800VW=Uitt=2π(R+h)/vW=7.6×107J第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月[考題回顧][例2]（2001年上海）如圖所示的一升降機(jī)箱底裝有若干個(gè)彈簧，設(shè)在某次事故中，升降機(jī)吊索在空中斷裂，忽略摩擦力，則升降機(jī)在彈簧下端觸地后直到最低點(diǎn)的一段運(yùn)動(dòng)過程中（設(shè)彈簧被壓縮過程中處于彈性限度內(nèi)）： （ ）A、升降機(jī)的速度不斷減小B、升降機(jī)的加速度不斷變大C、先是彈力做負(fù)功小于重力做的正功，然后是彈力做負(fù)功大于重力做的正功D、到最低點(diǎn)時(shí)，升降機(jī)加速度的值一定大于重力加速度的值第32頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月類比技巧可把升降機(jī)類比為一豎直方向的彈簧振子。圖A是剛接觸彈簧時(shí)mA圖B是速度最大時(shí)mBmC平衡位置最大位移最大加速度剛接觸彈簧時(shí)a=g圖C是最低點(diǎn)可見最大加速度大于g正確選項(xiàng)是C、D第33頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月[考題回顧][