2022-2023學年安徽省亳州市重點中學高二（下）期末數學試卷（A卷）（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若集合，，則()

A.B.C.D.

2.設，，則“”是“”的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.已知定義域為的函數在上單調遞減，且是偶函數，不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍是()

A.B.C.D.

4.某單位制作了一個熱氣球用于廣告宣傳已知熱氣球在第一分鐘內能上升米，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到米至少要經過()

A.分鐘B.分鐘C.分鐘D.分鐘

5.已知奇函數滿足，則()

A.B.C.D.

6.已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如圖所示，則該函數的圖象是()

A.

B.

C.

D.

7.已知數列滿足，則數列的前項和是()

A.B.C.D.

8.已知函數，，，使為常數成立，則常數的取值范圍為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.若，，則下列結論正確的是()

A.B.

C.D.

10.已知函數下列敘述正確的是()

A.

B.的零點有個

C.的解集為或

D.若，，互不相等，且，則的取值范圍是

11.已知是定義域為的函數，滿足，，當時，，則下列說法正確的是()

A.函數在的解析式為

B.函數的圖象關于直線對稱

C.當時，的最大值為

D.當時，的最小值為

12.歷史上著名的伯努利錯排問題指的是：一個人有封不同的信，投入個對應的不同的信箱，他把每封信都投錯了信箱，投錯的方法數為例如兩封信都投錯有種方法，三封信都投錯有種方法，通過推理可得：高等數學給出了泰勒公式：，則下列說法正確的是()

A.

B.為等比數列

C.

D.信封均被投錯的概率大于

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知正實數，滿足，則的最小值為______．

14.已知定義域為的減函數滿足，且，則不等式的解集為______．

15.正項等比數列滿足，且，，成等差數列，則取得最小值時的值為______．

16.已知函數，則不等式的解集為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知集合，．

若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍；

若，成立，求的取值范圍．

18.本小題分

已知函數．

求不等式的解集；

已知，，均為正實數，若函數的最小值為，且滿足，求證：．

19.本小題分

為數列的前項和，已知，．

求證：數列為等差數列；

設，求數列的前項和．

20.本小題分

已知函數為奇函數．

求的值；

若方程在上有解，求實數的取值范圍；

當時，恒成立，求實數的取值范圍．

21.本小題分

已知數列中，，．

Ⅰ求證：是等比數列，并求的通項公式；

Ⅱ數列滿足，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍．

22.本小題分

已知函數．

討論函數的導函數的單調性；

若對，，都有，求的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，

集合，

，

．

故選：．

將集合表示出來，再根據補集，交集的定義計算即可．

本題考查集合的運算，屬于基礎題．

2.【答案】

【解析】解：由可得，

或，“”是“”的充分不必要條件．

故選：．

可得，由此可判斷．

本題考查充分必要條件，屬于基礎題．

3.【答案】

【解析】解：因為是偶函數，所以關于對稱，

又在上單調遞減，

所以在上單調遞增，

畫出的草圖如下所示，

因為，所以，

又不等式對任意的恒成立，

由圖可知，，

所以，解得，

所以實數的取值范圍是．

故選：．

由題意知關于對稱，且在上單調遞增，作出的草圖，結合圖形分析，可將原問題轉化為，解該不等式，即可．

本題考查函數的單調性與奇偶性的綜合應用，熟練運用函數的單調性與奇偶性的性質是解題的關鍵，考查數形結合思想，運算求解能力，屬于中檔題．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了等比數列的實際應用，同時考查了學生的計算能力，是中檔題．

由題意，知熱氣球在每分鐘上升的高度構成等比數列，根據等比數列的前項和公式即可求解．

【解答】

解：由題意，知熱氣球在每分鐘上升的高度構成等比數列，

則表示熱氣球在第分鐘上升的高度單位：米，且，公比，

經過分鐘，熱氣球上升的總高度，

，，

該氣球至少要經過分鐘才能上升到米，

故選：．

5.【答案】

【解析】解：是奇函數且，

．

故選：．

根據奇函數和導數的定義即可求出答案．

本題考查了導數和奇函數的定義，極限的運算，考查了計算能力，屬于基礎題．

6.【答案】

【解析】解：由導數的圖象可得，導函數的值在上的逐漸增大，

故函數在上增長速度逐漸變大，故函數的圖象是下凹型的．

導函數的值在上的逐漸減小，

故函數在上增長速度逐漸變小，圖象是上凸型的，

故選B．

根據導數的圖象，利用函數的單調性和導數的關系，得出所選的選項．

本題主要考查函數的單調性和導數的關系，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】解：數列滿足，

，

，

整理得：，

，

時也成立，

，

，

數列的前項和是：，

故選：．

根據數列的遞推關系，構造新等式，求出數列的通項公式，然后利用裂項求和法進行計算即可．

本題主要考查數列通項公式和前項和之間的關系，考查計算能力以及裂項求和，屬于中檔題．

8.【答案】

【解析】解：在上為增函數，

由知，，

令，則，

當時，，

即在上單調遞增，

所以，即，

所以在上單調遞增，即在上單調遞增，

不妨設，則，，

可化為，

即，

令，

則，

，，使能成立，

在上能成立，

即在上能成立，

，，

令，，

則，令，

則，當時，，

故在上單調遞增，所以，

故G，在上單調遞增，

，

．

故選：．

存在性問題轉化為在上能成立，利用導數求的最大值即可得解．

本題主要考查利用導數研究函數的最值，函數恒成立問題，考查運算求解能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于選項，因為，，則，，所以，，錯；

對于選項，因為，所以，

因為，所以，所以，則，，

所以，，對；

對于選項，因為，則，因為，則，對；

對于選項，因為，，所以，，對．

故選：．

利用不等式的基本性質逐項判斷，可得出合適的選項．

本題主要考查等式與不等式的性質，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：對于，，故A正確．

對于，當時，方程的，

無實數根；

當時，由解得，

所以的零點有個，故B錯誤．

對于，當時，由得，解得；

當時，由得，

所以的解集為或，故C正確．

對于，畫出的圖象如下圖所示，

不妨設，則，，由解得，

所以，所以，故D正確．

故選：．

根據分段函數值、零點、不等式、圖象等知識確定正確答案．

本題主要考查分段函數及其應用，函數的零點與方程根的關系，考查數形結合思想與運算求解能力，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：是周期為的周期函數，

的對稱軸為，B正確．

，

則，為偶函數．

時，，，

，A正確．

由此畫出在區(qū)間的圖象如下圖所示，

當時，．

結合圖象可知C正確，D錯誤．

故選：．

判斷出周期性、對稱性、奇偶性，根據解析式的求法判斷選項，結合圖象判斷選項．

本題主要考查了抽象函數的性質，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：設封信分別為，，，，當在第二個信箱時，

有，，共種錯投方式，

同理可得在第與第個信箱時，也分別有種錯投方式，

故共有種錯投方式，

所以，故A正確；

所以，

所以，

因為，

所以時，，故C正確；

因為，

所以，

又，

所以為等比數列，首項為，公比為，故B正確；

裝錯信封的概率為，

，

則，

當為奇數時，，

當為偶數時，，

綜上所述：當為奇數時，，

當為偶數時，，故D錯誤．

故選：．

根據分類加法原理求，由此判斷，根據等比數列定義判斷，利用累加法求，判斷，由泰勒定理求，結合比差法判斷．

本題考查數列的遞推式，考查運算求解能力，屬中檔題．

13.【答案】

【解析】解：依題意，，

當且僅當時取等號．

故答案為：

將展開，出現，注意到乘積為，是定值，故直接利用基本不等式求解即可．

本題考查利用基本不等式求最值，屬基本題型的考查．

14.【答案】

【解析】解：因為，，

所以，

，

又因為是的減函數，

所以由，

所以，

即，

解得，

所以不等式的解集為：．

故答案為：．

由題意可得，所以不等式等價于，求解即可．

本題考查了根據抽象函數的單調性解不等式，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】

【分析】

正項等比數列的公比設為，運用等比數列的通項公式和等差數列的中項性質，解方程可得首項和公比，進而得到，再由指數的運算性質和二次函數的最值求法，可得所求值．

本題考查等比數列的通項公式和等差數列的中項性質，以及求和公式，考查二次函數的最值求法，考查運算能力，屬于基礎題．

【解答】

解：正項等比數列的公比設為，，且，，成等差數列，

可得，，即，解得，，

則，，

則

，

當時，取得最小值，

故答案為：．

16.【答案】

【解析】解：由，得，

，，等號不會同時取得，

，

函數為增函數．

，

函數為奇函數；

故，即，

，可得，

令，則，

且，

當時，，單調遞增，此時時，，

當時，，單調遞減，此時時，，

所以不等式的解集為．

故答案為：．

首先判斷函數的單調性及奇偶性，將脫掉“”，得到，然后構造函數，利用導數研究函數的單調性即可得解．

本題主要考查了函數的奇偶性及單調性在不等式求解中的應用，屬于中檔題．

17.【答案】解：若“”是“”的充分不必要條件，

則，而不為空集，

則等號不同時成立，解得，

即的取值范圍是；

設，

則，

，

，

由題意得，即，

即的取值范圍為．

【解析】根據充分不必要條件得出集合，的包含關系，根據包含關系可求答案；

根據二次函數區(qū)間最值，及二次不等式恒成立可求答案．

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，考查了二次函數的性質，屬于基礎題．

18.【答案】解：，

當時，，

當時，，

當時，，

綜上所述，的解集為；

證明：由可知當時，，時取得最小值，

當時，，當時，，時取得最小值，

綜上，故，

函數的最小值為，且滿足，

則，

故，

，，均為正實數，

，

當且僅當時取得等號，

即，

故．

【解析】轉化為分段函數解不等式即可；

由知，運用基本不等式證明即可．

本題主要考查不等式的證明，考查轉化能力，屬于中檔題．

19.【答案】證明：由，可知，

兩式相減得，

即，

，，

當時，，舍或，

則是首項為，公差的等差數列，

的通項公式；

解：，

，

數列的前項和

．

【解析】利用，作差得到是首項為，公差的等差數列，從而求出其通項公式；

由可得，利用裂項相消法計算可得．

本題主要考查數列的求和，屬于中檔題．

20.【答案】解：因為為奇函數，

所以，

所以，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

所以是奇函數，

所以．

由可知，，

因為方程在上有解，

所以方程在上有解，

所以在上有解，

所以在上有解，

令，，

函數在上單調遞增，

所以，，

所以的值域為，

所以，

所以的取值范圍為．

因為當時，恒成立，

所以當時，恒成立，

所以當時，恒成立，

所以當時，恒成立，

令，，

令，，

在上單調遞減，

所以當時，，

所以，

所以的取值范圍為

【解析】由奇函數的定義可得，解得，再由奇函數的定義檢驗，即可得出答案．

由可知，，問題轉化為方程在上有解，即在上有解，即可得出答案．

根據題意可得當時，恒成立，即當時，恒成立，只需，即可得出答案．

本題考查函數的奇偶性，恒成立問題，解題中需要理清思路，屬于中檔題．

21.【答案】證明：Ⅰ數列中，，，

整理得：，

故數列是以為首項，為公比的等比數列；

所以首項符合通項，

故．

Ⅱ由Ⅰ得：，

所以，

，

得：，

整理得：．

所以，

當為偶數時，由于為增函數，故，

當為奇數時，故，故，

所以的取值范圍為．

【解析】Ⅰ直接利用關系式的恒等變換和等比數列的定義的應用求出數列的通項公式；

Ⅱ利用Ⅰ的結論，進一步利用乘公比錯位相減法在數列求和中的應用和函數的單調性的應用和分類討論思想的應用求出參數的取值范圍．

本題考查的知識要點：數列的遞推關系式，數列的通項公式的求法及應用，數列的求和，乘公比錯位相減法在數列求和中的應用，函數的單調性，參數的取值范圍的確定，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題．