小學(xué)奧數(shù)16數(shù)陣圖

1.10.5數(shù)陣圖1.10.5.1基礎(chǔ)知識數(shù)陣是由幻方演化出來的另一種數(shù)字圖?；梅揭话憔鶠檎叫巍D中縱、橫、對角線數(shù)字和相等。數(shù)陣則不僅有正方形、長方形，還有三角形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形，甚至多種圖形的組合。變幻多姿，奇趣迷人。一般按數(shù)字的組合形式，將其分為三類，即輻射型數(shù)陣、封閉型數(shù)陣、復(fù)合型數(shù)陣。數(shù)陣的特點是：每一條直線段或由若干線段組成的封閉線上的數(shù)字和相等。它的表達形式多為給出一定數(shù)量的數(shù)字，要求填入指定的圖中，使其具備數(shù)陣的特點。解數(shù)陣問題的一般思路是：1.求出條件中若干已知數(shù)字的和。2.根據(jù)“和相等”，列出關(guān)系式，找出關(guān)鍵數(shù)——重復(fù)使用的數(shù)。3.確定重復(fù)用數(shù)后，對照“和相等”的條件，用嘗試的方法，求出其他各數(shù)。有時，因數(shù)字存在不同的組合方法，答案往往不是唯一的。1.10.5.2輻射型數(shù)陣?yán)?將1～5五個數(shù)字，分別填入下圖的五個○中，使橫、豎線上的三個數(shù)字和都是10。解：已給出的五個數(shù)字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15題中要求橫、豎每條線上數(shù)字和都是10，兩條線合起來便是20了。20－15＝5，怎樣才能增加5呢？因為中心的一個數(shù)是個重復(fù)使用數(shù)。只有5連加兩次才能使五個數(shù)字的和增加5，關(guān)鍵找到了，中心數(shù)必須填5。確定中心數(shù)后，按余下的1、2、3、4，分別填在橫、豎線的兩端，使每條線上數(shù)的和是10便可。例2將1～7七個數(shù)字，分別填入圖中的各個○內(nèi)，使每條線上的三個數(shù)和相等。解：圖中共有3條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為3的倍數(shù)。設(shè)中心數(shù)為a，則a被重復(fù)使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a應(yīng)能被3整除。（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3應(yīng)余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三數(shù)。當(dāng)a＝1時，28＋2a＝3030÷3＝10，其他兩數(shù)的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和為9分成三組填入兩端即可。同理可求得a＝4、a＝7兩端應(yīng)填入的數(shù)。例3將從1開始的連續(xù)自然數(shù)填入各○中，使每條線上的數(shù)字和相等。解：圖中共有三條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為3的倍數(shù)。設(shè)中心數(shù)為a，a被重復(fù)使用了兩次，即：1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a應(yīng)能被3整除。（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3應(yīng)余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑選。在a＝1時，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心數(shù)若填1，各條線上的數(shù)字和應(yīng)為19。但是除掉中心數(shù)1，在其余九個數(shù)字中，只有兩組可滿足這一條件，即：9＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，7＋5＋3＝15所以，a不能填1。經(jīng)試驗，a＝7時，余下的數(shù)組合為12（19－7＝12），也不能滿足條件。因此，確定a只能填4。例4將1～9九個數(shù)字，填入下圖各○中，使縱、橫兩條線上的數(shù)字和相等。解：1～9九個數(shù)字和是：1＋2＋3＋……＋9＝5×9＝45，把45平分成兩份：45÷2＝22余1。這就是說，若使每行數(shù)字和為23，則需把1重復(fù)加一次，即中心數(shù)填1；若使數(shù)字和為24，中心數(shù)應(yīng)填3……?？傊?，因45÷2余數(shù)是1，只能使1、3、5、7、9各個奇數(shù)重復(fù)使用，才有可能使橫、豎行的數(shù)字和相等。因而，此題可有多種解法。但中心數(shù)必須是9以內(nèi)的奇數(shù)。例5將1～11十一個數(shù)字，填入下圖各○中，使每條線段上的數(shù)字和相等。解：圖中共有五條線段，全部數(shù)字的總和必須是5的倍數(shù)，每條線上的數(shù)字和才能相等。1～11十一個數(shù)字和為66，66÷5＝13余1，必須再增加4，可使各線上數(shù)字和為14。共五條線，中心數(shù)重復(fù)使用4次，填1恰符合條件。此題的基本解法是：中心數(shù)重復(fù)使用次數(shù)與中心數(shù)的積，加上原余數(shù)1，所得的和必須是5的倍數(shù)。據(jù)此，中心數(shù)填6、11均可得解。1.10.5.3封閉型數(shù)陣?yán)?把2、3、4、5、6、7六個數(shù)字，分別填入○中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12。解：要使三角形每邊上的數(shù)字和都是12，則三條邊的數(shù)字和便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36與27相差9。三個角頂?shù)臄?shù)字都重復(fù)使用兩次，只有這三個數(shù)字的和是9，才能符合條件。確定了角頂?shù)臄?shù)字，其他各數(shù)通過嘗試便容易求得了！這題還可有許多解法，上圖只是其中一種。例2把1～9九個數(shù)字，分別填入下圖○中，使每邊上四個數(shù)的和都是21。解：要使三角形每條邊上的數(shù)字和是21，則三條邊的數(shù)字和便是：21×3＝63。而1～9九個數(shù)字的和只有45。45比63少18，只有使三角形三個頂角的數(shù)字和為18，重復(fù)使用兩次，才能使總和增加18。所以應(yīng)確定頂點的三個數(shù)。下面是填法中的一種。確定了頂角的數(shù)后，其他各數(shù)便容易了。例3下圖是四個互相聯(lián)系的三角形。把1～9九個數(shù)字，填入○中，使每個三角形中數(shù)字的和都是15。解：每個三角形數(shù)字和都是15，四個三角形的數(shù)字和便是：15×4＝60，而1～9九個數(shù)字和只有45。45比60少15。怎樣才能使它增加15呢？靠數(shù)字重復(fù)使用才能解決。中間的一個三角形，每個頂角都聯(lián)著其他三角形，每個數(shù)字都被重復(fù)使用兩次。因此，只要使中間的一個三角形數(shù)字和為15，便可以符合條件。因此，它的三個頂角數(shù)字，可以分別為：1、9、52、8、52、7、64、6、5及2、9、43、8、43、7、58、6、1。把中間的三角形各頂角數(shù)字先填出，其他各個三角形便容易解決了。前頁下圖是其中的一種。例4把2～10九個數(shù)字，分別填入下圖○中，使每條直線上的三個數(shù)和為15。解：2～10九個數(shù)字的和為：2＋3＋4＋……＋10＝6×9＝54若排成每個三角形每邊的數(shù)字和都是15，圖中含有每邊都三個數(shù)字的三角形有兩個，共六條邊，數(shù)字總和應(yīng)是15×6＝90。54比90少36。在外圍的六個數(shù)都被重復(fù)使用了兩次，它們又分屬于兩個三角形。所以，每個三角形三個頂角的數(shù)和應(yīng)為：36÷2＝18。這樣，便可以先填外三角形三個頂角的數(shù)。三個數(shù)和為18的有很多組，可以通過試驗篩選出適宜的一組。填好了外圍三角形各個數(shù)后，里面的三角形，因為頂角的數(shù)已知，其他各數(shù)便容易填寫了。上面是填法中的一種。例5把1～10十個數(shù)字，分別填入下圖○中，使每個三角形三個頂角的三個數(shù)字和相等。解：圖中有三個三角形，頂角數(shù)字互不聯(lián)系，中心的一個數(shù)獨立于各個三角形之外。因此，要使各三角形頂角的數(shù)字和相等。去掉中心數(shù)后，數(shù)字總和應(yīng)是3的倍數(shù)，而且三角形頂角的數(shù)字三組中不能出現(xiàn)重復(fù)。如：以10為中心數(shù)，可填為如上圖樣。例6將1～12分別填入下圖○中，使圖中每個三角形周邊上的六個數(shù)的和都相等。解：圖中共有四個三角形，共有六個邊。1～12的數(shù)字和是78。每條邊上的數(shù)字和應(yīng)為：78÷6＝13。這樣，我們可以推想：因為內(nèi)部的三條邊都被重復(fù)計算兩次，只要每個數(shù)增加1，十二個數(shù)的總和便增加6，它們同樣可以填出來，因而，本題的解法是很多的。7、把九個數(shù)分別填入下圖○中，使每條直線上的三個數(shù)的和都相等。解：九個分?jǐn)?shù)排成方陣，使縱、橫、對角線的三個數(shù)和相等，這已經(jīng)符合幻方的要求了，因此，可以按幻方的制作方法求解。這十二個分?jǐn)?shù)，按從小到大的順序排列是：把它們按序排列為斜方形：將上、下兩數(shù)，左、右兩數(shù)對調(diào)，再把中間四數(shù)向外拉出，這樣重新組成的數(shù)陣，便是求得的解了。例8將1～8八個數(shù)字，分別填入下圖○中，使每個小三角形頂點上三數(shù)之和為12。解：圖中共有四個小三角形，每個三角形頂點數(shù)字的和若都是12，數(shù)字總和便是12×4＝48，可是1～8八個數(shù)字總和只有36。36比48少12。只有靠共用頂角上數(shù)的重復(fù)使用，才能解決。因此，必須把四個公用頂角的數(shù)字和填成12。把1～8八個數(shù)四個一組，和為12的有：6＋3＋2＋15＋4＋2＋1上述兩組中，經(jīng)驗證，只有6＋3＋2＋1可以作公用頂點的數(shù)字。例9在下圖五個○內(nèi)，各填入一個自然數(shù)，使圖中八個三角形中頂點的數(shù)字和各不相同。求能滿足這個條件的自然數(shù)中最小的五個數(shù)。解：能滿足使八個三角形頂點數(shù)字和各不相同的任意自然數(shù)有很多組，但自然數(shù)中能滿足這個條件的最小自然數(shù)卻只有一組。最小的一組自然數(shù)中的五個數(shù)，若有兩個相同的，其中三個數(shù)的和可以多到有7個不同值，因此，五個數(shù)互不相同。如果這五個數(shù)是1，2，3，4，5，則其中三個數(shù)的和有如下組合方式：1＋2＋3＝62＋3＋4＝93＋4＋5＝121＋2＋4＝71＋3＋4＝82＋3＋5＝102＋4＋5＝11這樣，總共只有七種不同的和，而圖中共八個三角形，可知1，2，3，4，5五個自然數(shù)不能滿足條件。例10在下列圖中三個正方形中，每個正方形的四個頂點上，只填入1，2，3，4四數(shù)，使圖中八個三角形頂點數(shù)字和互不相同。解：圖中，頂角在大正方形邊上的四個三角形，頂角都分別為兩個三角形共用，只有正方形的四個角分別只屬于一個三角形，所以，四個三角形頂點數(shù)字的和應(yīng)等于：（1＋2＋3＋4）×3＝3030不是4的倍數(shù)，因而，外面的四個三角形頂點數(shù)字和不可能相等。同理，里面的四個三角形頂點數(shù)字和也不可能相等。題中要求，每個三角形頂點數(shù)字和不相同，1～4四個數(shù)之和最小值是1＋1＋2＝4，最大值是4＋4＋3＝11，這樣共可組成八組數(shù)