吉林省長春市高三下學期5月四模數(shù)學試題

長春市2023屆高三質(zhì)量監(jiān)測（四）

數(shù)學本試卷共4頁．考試結(jié)束后，將答題卡交回．注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效．4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀．

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，，則（）．A．1 B．2 C．3 D．4

2．函數(shù)的圖象可能是（）．A．B．C．D．

3．已知復數(shù)，則復數(shù)（）．A． B．10 C． D．2

4．某高中社會實踐小組為課題“高中生作業(yè)情況研究”進行周末作業(yè)時長調(diào)研，利用課間分別對高一、高二、高三年級進行隨機采訪，按年級人數(shù)比例進行抽樣，各年級分別有效采訪56人、62人、52人，經(jīng)計算各年級周末作業(yè)完成時間分別為（平均）3小時、3.5小時、4.5小時，則估計總體平均數(shù)是（）．A．3.54小時 B．3.64小時 C．3.67小時 D．3.72小時

5．設(shè)，曲線，則下列說法正確的為（）．A．曲線C表示雙曲線的概率為 B．曲線C表示橢圓的概率為C．曲線C表示圓的概率為 D．曲線C表示兩條直線的概率為6．我國古代數(shù)學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距的對應數(shù)表，這是世界數(shù)學史上最早的一整正切函數(shù)表．根據(jù)三角學知識可知，晷影長度l等于表高h與太陽天頂距正切值的乘積，即，對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為、，若第一次的“晷影長”是“表高”的3倍，且，則第二次“晷影長”是“表高”的（）倍．A．1 B． C． D．7．如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點，且，，連接，交于P點，若，，則（）A． B． C． D．8．已知正方體的棱長為1，點M，N分別為線段，上的動點，點T在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．1

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中有多個選項是符合題目要求的．9．若的展開式中第5項與第6項的二項式系數(shù)相等，則下列說法正確的是（）．A． B．展開式中各項系數(shù)和為C．展開式中常數(shù)項為 D．展開式中各二項式系數(shù)和為10．有兩批種子，甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80％，乙批種子10粒，能發(fā)芽的占70％，則下列說法正確的有（）．A．從甲批種子中任取兩粒，至少一粒能發(fā)芽的概率是B．從乙批種子中任取兩粒，至多一粒能發(fā)芽的概率是C．從甲乙兩批中各任取一粒，至少一粒能發(fā)芽的概率是D．如果將兩批種子混合后，隨機抽出一粒，能發(fā)芽的概率為11．下列命題中正確的是（）．A．已知隨機變量，且滿足，則B．已知一組數(shù)據(jù)：7，8，4，7，2，4，5，8，6，4，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是6C．已知隨機變量，則D．某學校有A，B兩家餐廳，某同學第1天午餐時間隨機地選擇一家餐廳用餐，如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8，如果第一天去B餐廳，那么第2天去B餐廳的概率為0.4，則該同學第2天去B餐廳的概率為0.3

12．已知正項數(shù)列的前n項和為，且有，則下列結(jié)論正確的是（）．A． B．數(shù)列為等差數(shù)列C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為__________．

14．若，，則的最小值為__________．

15．已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________．

16．已知圓C的圓心在拋物線上運動，且圓C過定點，圓C被x軸所截得的弦為，設(shè)，，則的取值范圍是__________．

四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知函數(shù)的最小值為．（1）求函數(shù)的最大值；（2）把函數(shù)的圖像向右平移個單位，可得函數(shù)的圖像，且函數(shù)在上為增函數(shù)，求的最大值．

18．（本小題滿分12分）已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且，．（1）求的通項公式；（2）求證：．19．（本小題滿分12分）現(xiàn)有兩個口袋，A口袋中有m個球，一部分是紅球，另一部分是白球，從中取出一個球恰好是白球的概率為，B口袋中有6個球，4個紅球，2個白球．若將兩個口袋混合在一起，從中取出一個球，恰好是白球的概率為．（1）若甲從B口袋中每次有放回地取一個球，直到取到白球停止，則恰好第三次后停止的概率；（2）甲乙兩人進行游戲，由第三人從兩個口袋中各取一個球，若同色甲勝，否則乙勝，通過計算說明這個游戲?qū)扇耸欠窆?；?）從B口袋中一次取3個球，取到一個白球得2分，取到一個紅球得1分，求得分的期望．

20．（本小題滿分12分）在三棱錐，底面是邊長為4的正三角形，平面平面，且．（1）若，求證：平面平面；（2）若底面，垂足為O，，求平面與平面夾角的余弦值．

21．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為．（1）求橢圓方程；（2）若直線交橢圓于，，且，求證為定值．

22．（本小題滿分12分）函數(shù)．（1）求證：；（2）若方程恰有兩個根，求證：．長春市2023屆高三質(zhì)量監(jiān)測（四）參考答案與評分標準數(shù)學一、單項選擇題：12345678BABBBACB二、多項選擇題：9101112ABCACDACDCD三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答卷紙的相應位置上）13． 14．815．16．四、解答題：17．（本小題滿分10分）（1），因為的最小值為，所以，∴，∴，從而得最大值為2．（2），∵在上為增函數(shù)，∴，∴，∴的最大值為4．18．（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)的公差為，∴，∴，∵，∴解得或（舍），∴，∴．（2）∵，∴∴，即證．19．（本小題滿分12分）（1）設(shè)A口袋中有n個白球，則，解得，，設(shè)事件表示從B口袋中第i次取出的是紅球，有，設(shè)事件C表示從B口袋中有放回的各取1球恰好第3次后停止，則．（2）設(shè)事件表示從A口袋中取出一個球是紅球，，表示從B口袋中取出一個球是紅球，，事件E表示第三人從兩個口袋中各取一球是同色球，有，所以游戲不公平．（3）設(shè)X表示從B口袋中一次取3個球的得分，則X的可取值為3，4，5，有，，，從而．20．（本小題滿分12分）解：（1）在中做于D，則，中，，則，，則，即，中，，即二面角的大小為，故平面平面．（2）過點P做于H，由平面平面，且平面平面可知，平面，又平面，則點H即為點O．以O(shè)為原點，方向為x軸，方向為y軸，方向為z軸，建立空間坐標系，則，，，,平面中，，，，平面中，，，，，即平面與平面夾角的余弦值為．21．（本小題滿分12分）解：（1）由橢圓的離心率為，可設(shè)，，則．四個頂點構(gòu)成的四邊形為菱形，其面積為，即，即