2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)無理函數(shù)值域的常見求法

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)無理函數(shù)值域的

常見求法

在解無理函數(shù)的值域問題時(shí)，如果采用的是“判別式法”，但由

于無理函數(shù)的定義域一般不為R,所以在解題過程中容易擴(kuò)大自

變量的取值范圍，使用“判別式法”失效。下面對(duì)常見的無理函

數(shù)類型及解法作一歸納，使得在求無理函數(shù)的值域時(shí)避開“判別

式法”，盡快求出正確答案。

一、形如“丁=■+1士而+小”的函數(shù)

例1.求函數(shù)y=2x-3+J13-4x的值域。

,------x=-(13-?)y=--ii+z+-=--(z-l)2

解：令Z=J13-4x,貝|卜20且4'，則’222k

+4o當(dāng)￡=1,即x=3時(shí)，為洶=4,當(dāng)z-用時(shí)-，y--8。故函數(shù)值

域?yàn)?-8,4]0

說明：此法適用于根號(hào)內(nèi)外自變量的次數(shù)相同的無理函數(shù)，一般令

z=而拓，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，當(dāng)然也適用于

y=mx2+?±-Jax2+b"的函數(shù)。

二、形如((y=mx+n^-Jax2+bx+c(a<0,L=b2-Aac>0)的函數(shù)

例2.求函數(shù)y=x+2+J*+l°x-23的值域。

解：由-，+1°，-23*0,得5-應(yīng)SxW5+、僅。令x=7^sina+5且ae

--,—y-sina+7+-/2cosa=2sin(ad—)+7

[22],貝14,0

天」燈,3不

--<a+—<——----<sin(a+—)<1

由444,得2o

,刀\4

sin(a+—)=1門

當(dāng)4時(shí)，為雙=9；

./天72

當(dāng)sm3+w)=-〒時(shí)，加=7-笈。

故函數(shù)值域?yàn)椤?、洛9]。

說明：這類函數(shù)根號(hào)內(nèi)外自變量的次數(shù)不同，不適合第一類型的解法。

又“<0且△>()的函數(shù)定義域一定為閉區(qū)間，如與],則可作三角

-X

X=---sma

代換為

町+々

a€[--,

且2萬(wàn),即可化為y=5sm3+同+k型函數(shù)。至于a>0

且A>0及其他類型，同學(xué)們可自己分析一下。

三、形如ay=淞』ax+/±w&x+d(ac<0)”的函數(shù)

例3.求函數(shù)V=，歸+右中的值域。

3x4-6>0

解：由18—xN°，得-2&xW8。

2ae[0,—]

令x=10sm%-2且2,

y=^/Wcosa+V30sina=2^/fOsin(^+—)

則60

—<a+—<--<sin(a+—)<1

由663,得2,

則而故函數(shù)的值域?yàn)椋鄱?7W］o

說明：此法適用于兩根號(hào)內(nèi)自變量都是一次，且囪<0,此時(shí)函數(shù)的

定義域?yàn)殚]區(qū)間，如［小心］，則可作代換工=5-xi)s/a+xi,且

2」，即可化為丁=&m(a+0)型的函數(shù)，無理函數(shù)類型有多種，

有興趣的可以探討一下。

試題解析

(2018貴州競(jìng)賽)

已知國(guó)數(shù)y=3x+-,求該函數(shù)的值域.

這類函數(shù)由于含有無理式，關(guān)鍵是如何去掉根號(hào).

先作簡(jiǎn)單變形y=3x+-2無=3x+］x-12-1.

令w=A-1,則有y=3〃+3+\lu2-1.

令z=3〃+A/M2-1,只要能求出z的值域即可.

解法1（絕對(duì)值換元）由題意知

1----------1(1

設(shè)J"2-1=u\-tNO,則0</<同.扁=1，且|"|=—'+-

21t

當(dāng)“>0時(shí),

2

當(dāng)0</式1,函數(shù)z=/+在0,1上單調(diào)遞減，可得NZ3.

t

當(dāng)〃<0時(shí)，z=-2/--<-242.當(dāng)且僅當(dāng)/=立時(shí)取等號(hào).

t2

所以函數(shù)的值域?yàn)?8,3-2\/^］U6,+8.

［評(píng)注］這是命題組提供的解法,這種代數(shù)換元很難想到.換元

后，在求t的范圍時(shí)，直接得到0</二|〃|.=1.感覺是利用

Iiniin

恒成立的思想求出的，欠嚴(yán)謹(jǐn).事實(shí)上，可以這樣求：

1

t=|//|-Jir-1-1，由/J工1，

結(jié)合單調(diào)性，可得0<rW1.

解法2（三角換元）令〃=sec?.

則z=3sec^1|tan^|-3sec^+tan6??0e

3sin。sin。-3

z=-------+---------------------

cos。cos。cosG-0

其幾何意義為圓/+）,2=］上的點(diǎn)co$8,sin8與點(diǎn)、B0,-3

所在直線斜率的取值范圍.如圖1所示.=3,kBC=-2V2.

解法3（導(dǎo)數(shù)法）當(dāng)〃21時(shí)，函數(shù)z=3〃+，J-i在i,+8

上單調(diào)遞增，可得z23.當(dāng)時(shí)，z'=3+.J.

令z'>0,得〃〈一.令/<0,得一<//<-!?

44

所以當(dāng)〃-————,z取得最大值為—25/2.

4

所以此時(shí)Z&-20.可得值域?yàn)?8,3-2夜卜6,+oo.

解法4（實(shí)根分布）由z-3〃=4/-1原問題等價(jià)于

8〃2-6口/+：2+1=0當(dāng)曙工三時(shí)有解.

3

記gw=8H2-6zu+z2+1.

/八Rnr「

解法5（幾何意義）3M=\/u?-1,令y=-3〃+z，

y=\lu2-1.問題等價(jià)于直線y=-3〃+z與曲線y=-1

有交點(diǎn).如圖2所示.

當(dāng)直線y=-3〃+z過A10時(shí)，得z=3.當(dāng)直線y=-3〃+z

與雙曲線y=一1上半部分相切于B點(diǎn)時(shí),得z=-2&.

所以Z23或zW-2vL可得值域?yàn)?8,3-2正卜6,+8

評(píng)注以上幾種方法是處理這類無理函數(shù)值域的常用方法.如果調(diào)

整相關(guān)系數(shù)或結(jié)構(gòu)，也有其它相關(guān)解法.

變式1：求函數(shù)y=A+-3戈+2的值域.

解：由），=x+J_?-3x+2,平方化簡(jiǎn)得產(chǎn)一2=2.y-3x,

33V2-2

當(dāng)y=一時(shí).，此式顯然不成立.當(dāng)v#士時(shí)，得一

222y-3

V2-23

由v2x,得----，解得或vN2.

2y-3'2

所以值域?yàn)閘，g）u2,+8.

評(píng)注除了上述五種常規(guī)方法外，由于本題平方后能消去X?項(xiàng)，很

容易得到X關(guān)于y的表達(dá)式.利用y>=x建立關(guān)于y的不等式，解

不等式即可.

變式2:求函數(shù)/x=21+/2-i的值域.

解：定義域?yàn)椴方?當(dāng)—時(shí).，函數(shù)y=/x單

調(diào)遞增，/xG［-2V2,V2.

當(dāng)時(shí)，fx=2x/x2+V2-A：2>Vx2+>/2-x2

2Jf+Z-fJVL當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)等號(hào)成立.

又/x<^22+12X2+2-X2=V1O.

當(dāng)242-』=E,即/=￡時(shí),等號(hào)成立.

綜上.值域?yàn)?2及,>/歷］

［評(píng)注］當(dāng)0cWa時(shí)，主要利用不等式6+人2萬(wàn)亍

（當(dāng)x-0或y-O時(shí)等號(hào)成立）求出最小值.再利壓柯西不等

式求出最大值.這種解法是利用重要不等式直接進(jìn)行放縮，不

易想到.

如果覺得這類問題形式較單一直接，也可作以下相關(guān)變式.

變式3：已知單位向量4,小的夾角為彳，設(shè)”=2q+/le2，

則當(dāng)4<0時(shí)，求4+同的取值范圍.（答案：-1,2）

變式4:若尸為邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn),

求|AP|+怛P|+|CP|的最小值.（答案:'半2）

r星百日1+N知Jx2+l古4'T

【翅目】求函數(shù)y=----------的值域。

X—1

解法1（用導(dǎo)數(shù)和極限求解）

函數(shù)V=立R的定義域?yàn)閧.小W1}.

X—1

/3\業(yè)、1n-+/??、Jx+1I入~+1

（I）當(dāng)x>i時(shí)，y=f（x）=——--T

x-lV（X-I）

設(shè)g（x）=,x>i,則g'（x）=；"'：【）<0,

r（x-2\y（x-i）

所以g（.r）單調(diào)遞減,從而/（五）單調(diào)遞減。

當(dāng)X-?+CC時(shí)，y='+1->1；

x-1

業(yè)1+gVx2+1

當(dāng)X—>1時(shí)，V=------------>+CO.

X-1

故當(dāng)x>1時(shí)，ye（l,+<?）。

（2）當(dāng)E時(shí)—所經(jīng)?冏

設(shè)‘"加高",則‘叱卻’

易知，當(dāng)F<XV-1時(shí)，g\x)>0;

當(dāng)一1<X<1時(shí),g'(x)<0,

V2

所以“<1日寸，g(x)Wg(-l)=

2

又當(dāng)A一廣時(shí)，y=、+1—>-8.

x-1

故當(dāng)X<I時(shí)，ye(-oo,-^-]o

綜上，函數(shù)的值域?yàn)?TO,-走]U(l,”)。

2

點(diǎn)評(píng)本解法以導(dǎo)數(shù)為工具將無理函數(shù)f(x)的值域問題轉(zhuǎn)化為有理

函數(shù)g(x)的值域問題求解，這樣在用導(dǎo)數(shù)時(shí)可以減少運(yùn)算量。另

外，本解法用到了分類討論思想和極限思想。

解法2(換元后用二次函數(shù)求解)

令工一1=；，則y=/?)=[(；+D"=["+-+2,70.

(1)當(dāng)"0時(shí)，")=，2/+21+1單調(diào)遞增,

所以/（，）＞."0）=1。

（2）當(dāng)，＜0時(shí)，「⑺=-也『+21+1=

易知加）在（一一5）上單調(diào)遞增，在（一天。）上單調(diào)遞減,

1B

所以/?)￡/(—:)=——

2L

綜上知）w-與或），＞1。

故函數(shù)的值域?yàn)椋?00,-爭(zhēng)U（1,,

解法3（三角換元用三角函數(shù)求解）

由函數(shù)V='三的定義域?yàn)閧小工1},

X—1

rrTT冗

設(shè)x=tanO,Jw(——,一)且夕工一，貝!Jcos0>(),

224

_______1

所以v=&an.+l=Icosi￡=!

tan-1tan0-1cos^(tan0-\)

_11

sin”.。夜sin。一")°

4

由且。工工，得一包2<o或()<0-2<￥,

2244444

由y=sin(^--)的圖象知-1<sin0—)〈?；?<疝(。,

4442

則一&W0sin（。一工）＜0或Ovsini。一巴）＜1,

44

所以------!------<或------1-2*4------->1,

J^sin(0---)-J^sin(O---)

44

即y<----或y>1.

故函數(shù)的值域E-.uam。

解法4（用不等式放縮求解）

函數(shù)y二*片的定義域?yàn)椴房冢?).

(1)當(dāng)x>l時(shí)，

_Vx2+I_+lx>/(-￥—I)-_

v=------