上海啟秀實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

上海啟秀實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn)，，若過的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：由題意，，則，所以，解得．故選A．考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)．2.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am（0＜a＜12）、4m，不考慮樹的粗細(xì)．現(xiàn)在想用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形的花圃ABCD．設(shè)此矩形花圃的最大面積為S，若將這棵樹圍在花圃內(nèi)，則函數(shù)S=f（a）（單位m2）的圖象大致是(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】為求矩形ABCD面積的最大值S，可先將其面積表達(dá)出來，又要注意P點(diǎn)在長方形ABCD內(nèi)，所以要注意分析自變量的取值范圍，并以自變量的限制條件為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論．【解答】解：設(shè)AD長為x，則CD長為16﹣x又因?yàn)橐獙點(diǎn)圍在矩形ABCD內(nèi)，∴a≤x≤12則矩形ABCD的面積為x（16﹣x），當(dāng)0＜a≤8時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=8時(shí)，S=64當(dāng)8＜a＜12時(shí)，S=a（16﹣a）S=分段畫出函數(shù)圖形可得其形狀與C接近故選C．【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是將S的表達(dá)式求出來，結(jié)合自變量的取值范圍，分類討論后求出S的解析式．3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與最值因?yàn)?A)在區(qū)間上為增函數(shù)，(B)

，(C)

，

(D)

在區(qū)間上均為減函數(shù)

故答案為：A4.將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再向上平移個單位后得到的函數(shù)對應(yīng)的表達(dá)式為，則函數(shù)的表達(dá)式可以是………（

）.

.

.

.參考答案：C略5.

把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側(cè)視圖的面積為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D6.在△ABC中，=，=．若點(diǎn)D滿足=（）A．+B．C．D．參考答案：A【分析】由向量的運(yùn)算法則，結(jié)合題意可得═=，代入已知化簡可得．【解答】解：由題意可得=====故選A【點(diǎn)評】本題考查向量加減的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．7.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B解：設(shè)復(fù)數(shù)，，；，；復(fù)數(shù)，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：．8.函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)，則函數(shù)g（x）＝f［f（x）］的圖象

（

）A.關(guān)于y軸對稱Ｂ.關(guān)于x軸對稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對稱

D.關(guān)于直線y＝x對稱參考答案：A略9.在內(nèi)，使的的取值范圍是A．

B．C．

D．參考答案：答案：A10.對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)M(16,4)，則此對數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log4x

B．y＝logxC．y＝logx

D．y＝log2x參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)滿足約束條件，記的最大值為，則

參考答案：12.方程的兩根為，且，則

。參考答案：略13.若函數(shù)在其定義域上只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：

，因?yàn)檫f增，且，，，故在（-1,0）有唯一零點(diǎn)。所以無零點(diǎn)。因?yàn)?，，，所以極小值，14.已知平面向量，滿足：，則的夾角為

參考答案：因?yàn)?，所以，所以的夾角為。15.在等比數(shù)列中，，，則

▲

．參考答案：16.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，若，則的取值范圍 .參考答案：略17.已知函數(shù)y=3?2x+3的定義域?yàn)閇﹣1，2]，則值域?yàn)?/p>

．參考答案：[，15]【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性直接求出即可．【解答】解：函數(shù)y=3?2x+3為增函數(shù)，∵x∈[﹣1，2]，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=+3=，當(dāng)x=2時(shí)，y=12+3=15，故函數(shù)的值域?yàn)閇，15]，故答案為：[，15]【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）過極點(diǎn)O作直線與圓C交于點(diǎn)A，求OA的中點(diǎn)所在曲線的極坐標(biāo)方程.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；（2）設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，代入（1）中的結(jié)論即可得結(jié)果.【詳解】（1）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為：.（2）過極點(diǎn)作直線與圓C交于點(diǎn)A，設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，即，所以中點(diǎn)所在的曲線的極坐標(biāo)方程為．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型19.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．已知函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式，并寫出定義域；(2)(理科)設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像是不間斷的光滑曲線，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)(假設(shè)為)，且．(文科)(2)設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明你的理由．參考答案：(1)，.又，.

.

由，可解得.

，.

(理)證明

(2)由(1)可知，.

可求得函數(shù)的定義域?yàn)?

對任意，有，

所以，函數(shù)是奇函數(shù).

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，

于是，在上單調(diào)遞減.

因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的圖像也是不間斷的光滑曲線.

又,

所以，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有唯一零點(diǎn)，且.

(文)(2)答：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.理由：由(1)可知，.

可求得函數(shù)的定義域?yàn)?

對任意，有，

所以，函數(shù)是奇函數(shù).

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，

于是，在上單調(diào)遞減.

因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

20.已知f(x)=是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，試判斷它的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.參考答案：解：∵f(x)=是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，∴f(0)=0，即a=0.∴f(x)=.函數(shù)f(x)在［-1，1］上為增函數(shù).證明如下：任?。肌?,∴＜0,-1＜＜1,∴＞0.∴-===＜0,∴∴f(x)在［-1，1］上為增函數(shù).

略21.已知的角所對的邊分別是，設(shè)向量，，.（1）若//，求證：為等腰三角形；(2)若⊥，邊長，，求的面積.參考答案：解:（1）即，其中R是三角形ABC外接圓半徑，…………5分為等腰三角形

……………6分（2）由題意可知，……8分由余弦定理可知，

…………10分………12分

略22.(本小題滿分14分)(文科)已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值;(2)求函數(shù)的極值;(3)當(dāng)?shù)闹禃r(shí),若直線與曲線沒有公共點(diǎn),求的最大值.參考答案：(Ⅰ)由,得

.又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,得,即,解得.(Ⅱ),①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值.②當(dāng)時(shí),令,得,.,;,.所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故在處取得極小值,且極小值為,無極大值.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極小值;當(dāng),在處取得極小值,無極大值.(Ⅲ)當(dāng)時(shí),令,則直線:與曲線沒有公共點(diǎn),等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解.假設(shè),此時(shí),,又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故